Формула угла при вращательном движении с угловым ускорением.

[arseniiv]

Ну, возможно, ТС просто пока не смотрел, как набирать жирные буквы для векторов. Вот так: \mathbf v, \mathbf a $\mathbf v, \mathbf a$.

[Metford]

Что ж, возможно. Если да, то тогда самое время написать, как связаны модули угловой и линейной скорости при движении по окружности.

[Solaris86]

Metford в сообщении #1226643 писал(а):

То есть у Вас одно и то же записано? Ускорение - векторная величина, между прочим.

Меня тоже запись смущала в плане "одно и тоже", но я не знал, как по-разному записать.
Исправляю на векторы:
$\vec a = \frac {d\vec V}{dt}$
$\vec a_\tau = \frac {d\vec V}{dt}$

[Metford]

Solaris86
Вторую запись поправьте, пока это возможно. Вы же сами сказали, что тангенциальное ускорение характеризует изменение модуля скорости. А потом переходите к связи линейной и угловой скорости при движении по окружности.

[Solaris86]

Да, пока не забыл, вопрос, не дающий покоя аж со школы с момента знакомств аж центростремительным ускорением.
Там стандартно рисуют при выводе формулы картинку, где рассматривают подобные треугольники.
Типа как тут: http://sernam.ru/book_phis_t1.php?id=30
Что меня смущает: хорду окружности считают приблизительно равной дуге окружности в виду малого перемещения, т.е. $AB = \cup AB$.
Если же всё же посчитать их без пренебрежений, то получается так:
Дуга окружности: $\cup AB = \alpha \cdot R$
Хорда окружности с помощью теоремы синусов: $AB = 2 \cdot R \cdot \sin\frac {\alpha}{2}$
Хорда окружности с помощью теоремы косинусов: $AB = \sqrt{R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos\alpha} = R \cdot \sqrt{2 \cdot (1- \cos\alpha)}$
$\cup AB = \alpha \cdot R \Rightarrow R = \frac {\cup AB}{\alpha}$
$AB = 2 \cdot R \cdot \sin\frac {\alpha}{2} \Rightarrow R = \frac {AB}{ 2 \cdot \sin\frac {\alpha}{2}}$
$AB = R \cdot \sqrt{2 \cdot (1 - \cos\alpha)} \Rightarrow R = \frac {AB}{\sqrt{2 \cdot (1 - \cos\alpha)}}$
$\frac {\cup AB}{\alpha} = \frac {AB}{2 \cdot \sin\frac {\alpha}{2}} \Rightarrow AB = \frac {\cup AB \cdot 2 \cdot \sin\frac {\alpha}{2}}{\alpha}$
$\frac {\cup AB}{\alpha} = \frac {AB}{\sqrt{2 \cdot (1 - \cos\alpha)}} \Rightarrow AB = \frac {\cup AB \cdot \sqrt{2 \cdot (1 - \cos\alpha)}}{\alpha}$
$\cup AB = V \cdot t$
Соответственно, чтобы $\cup AB$ стала равна $AB$ и вывелась далее формула центростремительного ускорения $a_n = \frac {V^2}{R}$, надо, чтобы
$ \frac {2 \cdot \sin\frac {\alpha}{2}} {\alpha} = 1$ или $\frac {\sqrt{2 \cdot (1 - \cos\alpha)}}{\alpha} = 1$
$\lim_{\alpha\to 0} \frac {\sin \frac {\alpha}{2}}{\alpha}=1$
$\lim_{\alpha\to 0} \frac {\sqrt{2 \cdot (1 - \cos\alpha)}}{\alpha}=1$
Но тогда и сами $\cup AB$ и $AB$ станут равны 0, да и $t$ тоже будет 0.
Я запутался, как дальше вести логическую цепочку...

-- 17.06.2017, 23:57 --

Metford в сообщении #1226654 писал(а):

Solaris86
Вторую запись поправьте, пока это возможно. Вы же сами сказали, что тангенциальное ускорение характеризует изменение модуля скорости. А потом переходите к связи линейной и угловой скорости при движении по окружности.

Тогда я уже не понимаю: ускорение - векторная величина, а модуль скорости - скалярная? Мне что надо будет правую часть еще всё на радиус-вектор или что-то подобное домножить, чтобы сохранить здравый смысл?
$\vec a_\tau = \frac {|d\vec V|}{dt} \cdot \vec r$
Так?

[Metford]

Solaris86 в сообщении #1226671 писал(а):

Соответственно, чтобы $\cup AB$ стала равна $AB$ и вывелась далее формула центростремительного ускорения $a_n = \frac {V^2}{R}$, надо, чтобы
$ \frac {2 \cdot \sin\frac {\alpha}{2}} {\alpha} = 1$

В математическом анализе это называется первым замечательным пределом Вы своими вычислениями доказали справедливость замены хорды окружности её дугой. Понимаете, основная идея дифференциального исчисления заключается в том, что Вы на малом промежутке заменяете функцию линейной - ну, когда это возможно. Т.е. по-хорошему

$$\sin\alpha=\alpha-\frac{1}{6}\alpha^3+...$$

Это начало разложения в т.н. ряд Тейлора. Когда Вы делите синус на $\alpha$, то остаётся в правой части единица и остальные слагаемые, стремящиеся к нулю при $\alpha\to 0$. Вот ими Вы пренебрегаете. Почему - потому что ускорение вычисляется как первая производная скорости. При этом отбрасываются высшие степени:

$$\Delta\vec{v}\approx\vec{w}\Delta t.$$

Тут отброшены слагаемые, содержащие высшие степени $\Delta t$. Удержите их - равенство станет точным.

[Solaris86]

Metford в сообщении #1226672 писал(а):

В математическом анализе это называется первым замечательным пределом Вы своими вычислениями доказали справедливость замены хорды окружности её дугой. Понимаете, основная идея дифференциального исчисления заключается в том, что Вы на малом промежутке заменяете функцию линейной - ну, когда это возможно. Т.е. по-хорошему

$$\sin\alpha=\alpha-\frac{1}{6}\alpha^3+...$$

Это начало разложения в т.н. ряд Тейлора. Когда Вы делите синус на $\alpha$, то остаётся в правой части единица и остальные слагаемые, стремящиеся к нулю при $\alpha\to 0$. Вот ими Вы пренебрегаете. Почему - потому что ускорение вычисляется как первая производная скорости. При этом отбрасываются высшие степени:

$$\Delta\vec{v}\approx\vec{w}\Delta t.$$

Тут отброшены слагаемые, содержащие высшие степени $\Delta t$. Удержите их - равенство станет точным.

Это пока сложно для меня, еще не проходили ряды Тейлора.
$\Delta\vec{v}\approx\vec{w}\Delta t.$ - с этой формулой тоже не знаком.
А что по поводу тангенциального и нормального ускорений, как их сделать векторами, если в правых частях их формул - скаляры?

[Metford]

Solaris86 в сообщении #1226675 писал(а):

Это пока сложно для меня, еще не проходили ряды Тейлора.

Вот посмотрите на ту формулу, которую я привёл. Чтобы лучше стало понятно, возьмите любую программу для построения графиков и постройте в одних осях графики функций: $y=\sin x$, $y=x$, $y=x-\frac{1}{6}x^3$, $y=x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5$. Вывод сможете сделать сами. А формула Тейлора позволяет такие функции-заменители писать с нужной точностью.

Solaris86 в сообщении #1226675 писал(а):

$\Delta\vec{v}\approx\vec{w}\Delta t.$ - с этой формулой тоже не знаком.

Знакомы... Точная формула

$$\vec{w}=\frac{d\vec{v}}{dt}.$$

Что такое производная? Это предел вот такой:

$$\frac{d\vec{v}}{dt}=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}.$$

Если Вы уберёте знак предела, то получите приближённое равенство. Графически это всё равно что взять и кусочек графика функции заменить касательной к нему, построенной в соответствующей точке. А физически убрать предел - значит перейти от мгновенного ускорения к среднему за промежуток времени $\Delta t$.

Solaris86 в сообщении #1226675 писал(а):

А что по поводу тангенциального и нормального ускорений, как их сделать векторами, если в правых частях их формул - скаляры?

Ну, их лучше не нужно как векторы рассматривать. Лучше так записать:

$$\vec{w}=w_{\tau}\vec{\tau}+w_n\vec{n},$$

где $\vec{\tau}$ - единичный касательный вектор к траектории в данной точке, $\vec{n}$ - единичный нормальный вектор в той же точке. А коэффициенты разложение - это тангенциальное ускорение $w_{\tau}=\frac{dv}{dt}$ и нормальное ускорение $w_n=\frac{v^2}{R}$. Обратите внимание: в тангенциальном ускорении производная берётся от модуля скорости, а в полном ускорении - от вектора скорости.

Так понятнее? Если да, то пойдём дальше.

[fred1996]

Solaris86 в сообщении #1226629 писал(а):

Спасибо) Вы имеете в виду преподов в смысле сотрудники кафедр тут сидят или просто люди, шарящие в физике, становятся как бы преподами тут?)
.

Да тут всех хватает. Многие, которые шарят, объяснить могут получше записных преподов.
Хотя, если честно, я не в курсе, какой процент народа тут реально преподает.
Можно было бы даже опросник устроить. У меня пока такой опции нет.

[Metford]

(Оффтоп)

fred1996 в сообщении #1226684 писал(а):

У меня пока такой опции нет.

Почему нет? Создайте тему. При этом Вы можете и опрос создать. Разве нет?..

Хотя по большому счёту, какая разница преподаёт человек или нет? Главное - понятно ли изъясняется. О правильности даже не говорю.

[fred1996]

Metford в сообщении #1226685 писал(а):

(Оффтоп)

fred1996 в сообщении #1226684 писал(а):

У меня пока такой опции нет.

Почему нет? Создайте тему. При этом Вы можете и опрос создать. Разве нет?..

Хотя по большому счёту, какая разница преподаёт человек или нет? Главное - понятно ли изъясняется. О правильности даже не говорю.

(Оффтоп)

А, теперь понял. Это внизу. А я все кнопочку наверху искал.
Надо подумать, как правильно вопросы подобрать к опроснику.

[Dragon27]

Solaris86 в сообщении #1226671 писал(а):

Тогда я уже не понимаю: ускорение - векторная величина, а модуль скорости - скалярная?

Если бы вас попросили записать горизонтальную и вертикальную компоненты ускорения, как бы вы это сделали?

[realeugene]

Solaris86 в сообщении #1226671 писал(а):

Тогда я уже не понимаю: ускорение - векторная величина, а модуль скорости - скалярная? Мне что надо будет правую часть еще всё на радиус-вектор или что-то подобное домножить, чтобы сохранить здравый смысл?
$\vec a_\tau = \frac {|d\vec V|}{dt} \cdot \vec r$
Так?

Ваша мысль правильная, реализация неправильная. Чтобы получить вектор тангенциального ускорения (как компонент полного ускорения) вам нужно величину тангенцального ускорения умножить на направляющий единичный вектор этого тангенциального ускорения, который, по определению, совпадает с направлением мгновенной скорости. Обратите внимание, что в вашей формуле две ошибки: использование неправильного вектора в качестве направления, и использование неединичного вектора в качестве вектора направления.

[Erleker]

Solaris86

Подумайте над разницей между величинами:
$\frac {|d\vec V|}{dt}$ и $\frac {d|\vec V|}{dt}$

[realeugene]

Erleker в сообщении #1226733 писал(а):

$\frac {|d\vec V|}{dt}$ и $\frac {d|\vec V|}{dt}$

Да, это была третья ошибка в формуле.