Формула угла при вращательном движении с угловым ускорением.

[Solaris86]

arseniiv в сообщении #1225956 писал(а):

Ага, а теперь подставьте туда

Solaris86 в сообщении #1225812 писал(а):

$\varphi = 3 - t + 0.1 t^3$

Честно скажу, я даже не представляю, как это туда подставить...
Напишу как предполагаю:
$\varepsilon = \frac {d^2(3 - t + 0.1 t^3)}{dt^2}$
Но как это посчитать?

[arseniiv]

Не спеша, по одному дифференцированию за раз. Сначала $\omega$, а $\varepsilon$ потом.

[Metford]

Solaris86 в сообщении #1225961 писал(а):

Честно скажу, я даже не представляю, как это туда подставить...

Производная суммы равна сумме производных. Плюс та формула, которую Вы смогли вспомнить. И да - последовательно. Один раз продифференцировали - угловую скорость получите. Другой раз - ускорение.

[rustot]

$\frac{d}{dt} n = 0$
$\frac{d}{dt} n t = n$
$\frac{d}{dt} n t^2 = 2 n t$
$\frac{d}{dt} n t^3 = 3 n t^2$
$\frac{d}{dt} n t^4 = 4 n t^3$
...

$\frac{d^2}{dt^2}(3\cdot t^5) = \frac{d}{dt}(15\cdot t ^4) = 60 \cdot t^3$

Но это надо не зазубрить как "загадочные манипуляции", а изучить и понять. Иначе в следующий раз там не $t^3$ а $\sin(w t)$ будет и вы опять в тупике.

[Solaris86]

Я понял:
$\omega = (3 - t + 0.1 \cdot t^3)' = -1 + 0.3t^2$
$\varepsilon = (-1 + 0.3t^2)' = 0.6t$

Всё-таки можно попросить помочь понять формулу $\varphi = \varphi_0 + \omega_0 \cdot t + \frac {\varepsilon_0 \cdot t^2}{2} + \frac {j \cdot t^3}{6}$?
Для начала случай, когда $\varepsilon= \operatorname{const}$ и $j = 0$
$\varphi = \varphi_0 + \omega_0 \cdot t + \frac {\varepsilon \cdot t^2}{2}$
Вывод её несложный.
$\varphi = \varphi_0 + \alpha$
$\alpha = \omega_\text{ср.} \cdot t$
$\omega_\text{ср.} = \frac {\omega + \omega_0}{2}$
$\omega = \omega_0 + \varepsilon \cdot t \Rightarrow \omega_\text{ср.} = \frac {\omega_0 + \varepsilon \cdot t + \omega_0}{2} = \omega_0 + \frac {\varepsilon \cdot t}{2} \Rightarrow \alpha = \omega_0 \cdot t + \frac {\varepsilon \cdot t^2}{2} \Rightarrow \varphi = \varphi_0 + \omega_0 \cdot t + \frac {\varepsilon \cdot t^2}{2}$
Если такую же логику применить для формулы с рывком ($\varepsilon \not= \operatorname{const}$ и $j \not= 0$), то получается ошибка в знаменателе слагаемого $\frac {j \cdot t^3}{6}$: вместо 6 там получается 4, что неверно.
Помогите найти ошибку в рассуждениях. Вот они.
$\varphi = \varphi_0 + \alpha$
$\alpha = \omega_\text{ср.} \cdot t$
$\omega_\text{ср.} = \frac {\omega + \omega_0}{2}$
$\omega = \omega_0 + \varepsilon_\text{ср.} \cdot t$
$\varepsilon_\text{ср.} = \frac {\varepsilon + \varepsilon_0}{2}$
$\varepsilon = \varepsilon_0 + j \cdot t \Rightarrow \varepsilon_\text{ср.} = \frac {\varepsilon_0 + j \cdot t + \varepsilon_0}{2} = \varepsilon_0 + \frac {j \cdot t}{2} \Rightarrow \omega = \omega_0 + \varepsilon_0 \cdot t + \frac {j \cdot t^2}{2} \Rightarrow \omega_\text{ср.} = \frac {\omega_0 + \varepsilon_0 \cdot t + \frac {j \cdot t^2}{2} + \omega_0}{2} = \omega_0 + \frac {\varepsilon_0 \cdot t}{2} + \frac {j \cdot t^2}{4} \Rightarrow \alpha = \omega_0 \cdot t + \frac {\varepsilon_0 \cdot t^2}{2} + \frac {j \cdot t^3}{4} \Rightarrow \varphi = \varphi_0 + \omega_0 \cdot t + \frac {\varepsilon_0 \cdot t^2}{2} + \frac {j \cdot t^3}{4}$

[Metford]

Solaris86 в сообщении #1226594 писал(а):

Всё-таки можно попросить помочь понять формулу $\varphi = \varphi_0 + \omega_0 \cdot t + \frac {\varepsilon_0 \cdot t^2}{2} + \frac {j \cdot t^3}{6}$?

Прежде всего, нужно отказаться от того подхода, которым Вы пользуетесь. Когда, зная зависимость угла поворота от времени, Вы находили угловые скорость и ускорение, то Вы вычисляли производные. Соответственно, теперь нужно пройти в обратном направлении. И для начала сообразите, производная какой функции равна $t^n$? Условие прежнее: никуда не подсматривать.

[Solaris86]

Metford в сообщении #1226599 писал(а):

Прежде всего, нужно отказаться от того подхода, которым Вы пользуетесь. Когда, зная зависимость угла поворота от времени, Вы находили угловые скорость и ускорение, то Вы вычисляли производные. Соответственно, теперь нужно пройти в обратном направлении. И для начала сообразите, производная какой функции равна $t^n$? Условие прежнее: никуда не подсматривать.

Я намёк понял, тут ищем последовательно первообразные.
$\varepsilon = 0.6t$
$\omega = C_1 + 0.3t^2$
$\varphi = C_2 + C_1 \cdot t + 0.1t^3$

А почему нужно отойти от моего подхода, что в нём неверно? В школе в кинематике именно так выводили формулу пути при равнопеременном движении без производных и первообразных...
$S = V_\text{ср.} \cdot t$
$V_\text{ср.} = \frac {V + V_0}{2}$
$V = V_0 + a \cdot t \Rightarrow V_\text{ср.} = \frac {V_0 + a \cdot t + V_0}{2} = V_0 + \frac {a \cdot t}{2} \Rightarrow S = V_0 \cdot t + \frac {a \cdot t^2}{2}$
Разве это неправильно?

[Metford]

Solaris86 в сообщении #1226605 писал(а):

Я намёк понял, тут ищем последовательно первообразные.

Правильно. Я на всякий случай не стал использовать эту терминологию.
Константы обычно определяются начальными условиями (положение, скорость в начальный момент времени).

Solaris86 в сообщении #1226605 писал(а):

Разве это неправильно?

Помимо "правильно-неправильно" есть ещё такая штука, как универсальность метода. Вот подход с дифференцированием и интегрированием при поиске таких зависимостей - он универсален. Ваш - нет. Вот откуда Вы, к примеру, взяли среднюю скорость? Только не говорите про среднее арифметическое!

[Solaris86]

Metford в сообщении #1226606 писал(а):

Помимо "правильно-неправильно" есть ещё такая штука, как универсальность метода. Вот подход с дифференцированием и интегрированием при поиске таких зависимостей - он универсален. Ваш - нет. Вот откуда Вы, к примеру, взяли среднюю скорость? Только не говорите про среднее арифметическое!

Спасибо, я понял свою ошибку. Надо отталкиваться от графика: при равнопеременном движении с постоянным ускорением путь - это площадь трапеции, поэтому и получилось случайное совпадение со средним арифметическим, а при неравнопеременном движении с равнопеременным ускорением - это площадь фигуры, где одна из границ - часть параболы, поэтому ни о каком среднем арифметическом тут и речи быть не может...

[fred1996]

(Немного педагогического занудства)

Где-то обсуждалась возможность самостоятельного изучения школьной физики.
Вот вам яркий пример того, как в самом начале можно уплыть не туда и роль преподавателя в корректировке.
А представьте, что человек и дальше бы упилил в самостоятельном изучении мехаики.
Куда бы его в конце концов занесло и сколько неверных штампов он бы наштамповал у себя в мозгах. А ведь механика, это еще боль-менее прозрачная часть общей физики с точки зрения здравого смысла человека, не знакомого с физикой. И то постоянно возникают непонятки, которые требуется оперативно ликвидировать.
А что говорить об остальных разделах, которые уже не связаны практически никак с повседневным опытом?
Даже человек, хорошо подкованный в математике, очень часто приходит в ступор даже на простейших задачках по физике. В математике он уже привык бездумно жонглировать математическими шаблонами, но путается в трех соснах физичесих формул.

-- 17.06.2017, 10:35 --

Solaris86
А вы молоток.
За пару дней неплохо продвинулись.
Так держать!
Правда у вас тут благодать.
Вам одному сразу несколько преподов ставят правильную технику.
Обычно то ситуация обратная.
Есть 30 балбесов и один препод.

[Metford]

Solaris86
Продвинемся дальше в направлении тангенциального ускорения? Снова начнём с определений?

[Solaris86]

fred1996 в сообщении #1226622 писал(а):

Solaris86
А вы молоток.
За пару дней неплохо продвинулись.
Так держать!
Правда у вас тут благодать.
Вам одному сразу несколько преподов ставят правильную технику.
Обычно то ситуация обратная.
Есть 30 балбесов и один препод.

Спасибо) Вы имеете в виду преподов в смысле сотрудники кафедр тут сидят или просто люди, шарящие в физике, становятся как бы преподами тут?)

Metford в сообщении #1226623 писал(а):

Продвинемся дальше в направлении тангенциального ускорения? Снова начнём с определений?

Да, я готов. Тангенциальное ускорение - это изменение модуля линейной скорости за единицу времени, насколько я понимаю.

[Metford]

Solaris86 в сообщении #1226629 писал(а):

Тангенциальное ускорение - это изменение модуля линейной скорости за единицу времени, насколько я понимаю.

Давайте привыкать выражать мысли "по-взрослому" Запишите ускорение (не угловое, а "обычное" - линейное) и тангенциальное ускорение в виде производной. И то, и другое, чтобы было понятно, что Вы понимаете разницу между ними.

[Solaris86]

$a = \frac {dV}{dt}$
$a_\tau = \frac {dV}{dt}$

[Metford]

То есть у Вас одно и то же записано? Ускорение - векторная величина, между прочим.