Доказательство, что мощность a^2=a

[Padawan]

Пусть $\mathfrak a$ - бесконечный кардинал. Пусть $\mathfrak a=\operatorname{card}\alpha$ для некоторого ординала $\alpha$. Ординал $\alpha$ представляется в виде конечной суммы $\alpha=2^{\beta}+2^{\beta_1}+\ldots+{2^{\beta_n}}$, где $\beta >\beta_1>\ldots >\beta_n$. Это аналог разложения натуральных чисел по степеням двойки. Cм. Хаусдорф Теория множеств $\S14$ Действия с порядковыми числами, там все просто. Если заменить $\alpha$ на $2^\beta$, то от этого мощность не изменится, т.к. в сумме это наибольшее слагаемое (считаем известным свойство $\mathfrak a+\mathfrak a=\mathfrak a$). Поэтому сразу считаем, что $\alpha=2^\beta$. Любой ординал $\alpha'<\alpha$ однозначно представляется в виде конечной суммы $\alpha'=2^{\gamma_1}+2^{\gamma_2}+\ldots+2^{\gamma_n}$, где $\beta> \gamma_1>\gamma_2>\ldots>\gamma_n$. Поэтому множество всех таких $\alpha'<\alpha$ эквивалентно множеству всех конечных подмножеств множества мощности $\operatorname{card}\beta$. Итак, $\mathfrak a$ эквивалентно множеству всех конечных подмножеств некоторого множества $B$. Дальше уже все просто. Рассматриваем еще одно множество $B'$, эквивалентное $B$ и с ним не пересекающееся. Тогда с одной стороны $B\cup B'$ эквиалентно $B$, а с другой стороны $\mathfrak a^2$ эквивалентно множеству всех конечных подмножеств множества $B\cup B'$ $\Rightarrow \mathfrak a^2=\mathfrak a$

[Padawan]

И в книге Хаусдорфа и в книге Куратовского, Мостовского используется разложение по степеням $\omega$. Коэффициентами там будут натуральные числа. Далее отображают коэффициенты пары ординалов $(\xi,\eta)$ в коэффиценты одного ординала $\zeta$. В итоге получается отображение $W(\alpha)\times W(\alpha)$ в $W(\alpha)$ (множество всех ординалов $\alpha'<\alpha$). У Куратовского сразу биекция получается, а у Хаусдорфа функция, у которой прообраз каждого элемента конечен. Отсюда $W(\alpha)\times W(\alpha)\sim W(\alpha)$.
Мне кажется разложение по степеням двойки проще. Надеюсь не ошибся в доказательстве.