Пусть

- бесконечный кардинал. Пусть

для некоторого ординала

. Ординал

представляется в виде конечной суммы

, где

. Это аналог разложения натуральных чисел по степеням двойки. Cм. Хаусдорф Теория множеств

Действия с порядковыми числами, там все просто. Если заменить

на

, то от этого мощность не изменится, т.к. в сумме это наибольшее слагаемое (считаем известным свойство

). Поэтому сразу считаем, что

. Любой ординал

однозначно представляется в виде конечной суммы

, где

. Поэтому множество всех таких

эквивалентно множеству всех конечных подмножеств множества мощности

. Итак,

эквивалентно множеству всех конечных подмножеств некоторого множества

. Дальше уже все просто. Рассматриваем еще одно множество

, эквивалентное

и с ним не пересекающееся. Тогда с одной стороны

эквиалентно

, а с другой стороны

эквивалентно множеству всех конечных подмножеств множества
