2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказательство, что мощность a^2=a
Сообщение16.06.2017, 17:19 
Заслуженный участник


13/12/05
3747
Пусть $\mathfrak a$ - бесконечный кардинал. Пусть $\mathfrak a=\operatorname{card}\alpha$ для некоторого ординала $\alpha$. Ординал $\alpha$ представляется в виде конечной суммы $\alpha=2^{\beta}+2^{\beta_1}+\ldots+{2^{\beta_n}}$, где $\beta >\beta_1>\ldots >\beta_n$. Это аналог разложения натуральных чисел по степеням двойки. Cм. Хаусдорф Теория множеств $\S14$ Действия с порядковыми числами, там все просто. Если заменить $\alpha$ на $2^\beta$, то от этого мощность не изменится, т.к. в сумме это наибольшее слагаемое (считаем известным свойство $\mathfrak a+\mathfrak a=\mathfrak a$). Поэтому сразу считаем, что $\alpha=2^\beta$. Любой ординал $\alpha'<\alpha$ однозначно представляется в виде конечной суммы $\alpha'=2^{\gamma_1}+2^{\gamma_2}+\ldots+2^{\gamma_n}$, где $\beta> \gamma_1>\gamma_2>\ldots>\gamma_n$. Поэтому множество всех таких $\alpha'<\alpha$ эквивалентно множеству всех конечных подмножеств множества мощности $\operatorname{card}\beta$. Итак, $\mathfrak a$ эквивалентно множеству всех конечных подмножеств некоторого множества $B$. Дальше уже все просто. Рассматриваем еще одно множество $B'$, эквивалентное $B$ и с ним не пересекающееся. Тогда с одной стороны $B\cup B'$ эквиалентно $B$, а с другой стороны $\mathfrak a^2$ эквивалентно множеству всех конечных подмножеств множества $B\cup B'$ $\Rightarrow \mathfrak a^2=\mathfrak a$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство, что мощность a^2=a
Сообщение16.06.2017, 19:41 
Заслуженный участник


13/12/05
3747
И в книге Хаусдорфа и в книге Куратовского, Мостовского используется разложение по степеням $\omega$. Коэффициентами там будут натуральные числа. Далее отображают коэффициенты пары ординалов $(\xi,\eta)$ в коэффиценты одного ординала $\zeta$. В итоге получается отображение $W(\alpha)\times W(\alpha)$ в $W(\alpha)$ (множество всех ординалов $\alpha'<\alpha$). У Куратовского сразу биекция получается, а у Хаусдорфа функция, у которой прообраз каждого элемента конечен. Отсюда $W(\alpha)\times W(\alpha)\sim W(\alpha)$.
Мне кажется разложение по степеням двойки проще. Надеюсь не ошибся в доказательстве.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group