SSB модуляция

[EUgeneUS]

Вопрос навеян а) этой темой и б) радивогубительской юностью.

Если есть несущий сигнал $f(t)=A \sin(\omega t + \varphi)$ и модулирующий сигнал $u(t)$, то параметры несущего сигнала ($A$,$\omega$,$\varphi$) могут быть функцией модулирующего сигнала. И получаем, соответственно амплитудную модуляцию, частотную модуляцию, фазовую модуляцию.
Для каждого из этих видов модуляции можно написать в явном виде функцию результирующего сигнала от времени.
Но для SSB с этим возникают (у меня) проблемы...

Что происходит со спектром сигнала - совершенно понятно. Но пусть, опять же $f(t)=A \sin(\omega t + \varphi)$ - несущий сигнал, модулирующий сигнал $u(t)$. Какой будет результирующий сигнал? В книгах для радиогубителей пишут (AFAIR), что "SSB - это некоторая помесь амплитудной и частотной (фазовой модуляции)", но в явном виде не записывают.

В качестве собственных попыток решения рассмотрим частный случай. Если несущий сигнал $f(t)=A_c \sin(\omega_c t)$, а модулирующий сигнал тоже гармонический: $u(t)=A_m \sin(\omega_m t)$, то результирующий сигнал будет тоже гармоническим: $v(t)=A_r \sin(\omega_r t)$.
При этом
$\omega_r = \omega_m + \omega_c$ (для случая USB, верхней боковой полосы)
$A_r = A_m A_c$

Но как записать для любого модулирующего сигнала $u(t)$?

-- 15.06.2017, 20:23 --

Кстати, в этой теме строится график для DSB (двухполосная модуляция с подавленной несущей), а не для AM, как может показаться. И выражение для результирующего сигнала довольно простое. Но SSB....

[profrotter]

Предлагаю начать с описания модулирующего сигнала. Взять для примера его периодическим. Затем описать соответствующий многотональный амплитудно-модулированный сигнал в развёрнутом виде. Удалить из выражения слагаемые, соответствующие несущему колебанию и верхней (или нижней по выбору) боковой полосе. Потом ещё пару шагов и будет математическое описание однополосного сигнала.

Если модулирующий просто гармонический, то однополосный тоже просто гармонический. Это не интересно.

[arseniiv]

Дилетантские советы:

EUgeneUS в сообщении #1225817 писал(а):

Но как записать для любого модулирующего сигнала $u(t)$?

Разве можно будет пройти мимо преобразования Фурье? Умножаем в частотной области, чтобы отфильтровать — сворачиваем во временной с прообразом. Умножать, видимо, нужно на прямоугольник, надвинутый немного на несущую (в положительных и отрицательных частотах, и центр его в нуле) (придётся предположить, что в спектре $u$ нет достаточно низких частот), так что сигнал сворачивается с $\mathrm{sinc}$, соответствующе суженным.

[amon]

(2arseniiv)

Хорошо сделанный прямоугольный фильтр предсказывает будущее гораздо лучше хрустального шара. Некаузальный он.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Мне показалось, что если взять что-то менее идеальное, результат будет ещё непонятнее.

[Cos(x-pi/2)]

EUgeneUS

На всякий случай, если вдруг будет интересно самостоятельно (в какой-нибудь математической программе) извлечь модулирующий аудио-сигнал из SSB-сигнала, то вот примерчик SSB-сигнальчика, с "несущей" частотой $12 \, \text{кГц}:$

(примерчик)

VoA_1979_a-High_Fs=12000__48000-16.wav
https://yadi.sk/d/YIXBVcfE3KAs3L
Файл маленький, чуть более 500 килобайт, длительность сигнала чуть более 5 сек,
частота дискретизации $48 \, \text{кГц},$ разрядность $16$ бит.

Вот картинка спектра этого сигнала (модуль фурье-амплитуд дискретного преобразования Фурье):
https://yadi.sk/i/HByYVRFg3KAsFT
voa_1979.jpg

Извлечь из этого сигнала модулирующий сигнал (и послушать там фразу, звучавшую в одной очень давней радиопередаче) - лёгкое упражнение по ЦОС)).

[Cos(x-pi/2)]

До кучи (а то зря валяются файлы, которые когда-то понаделал для забавы )

(поинтереснее примерчик, с частотным уплотнением 3 сигналов)

fc0_dsb_12khz_h.wav
https://yadi.sk/d/mfC6GfNF3KAyBp
Около $400$ килобайт, длительность около $8 \, \text{сек},$ частота дискретизации $12\, \text{кГц},$ разрядность $16$ бит, $2$ канала.

Спектр:
https://yadi.sk/i/7ViuiBVt3KAyCh
iq_3.jpg

Это комплексный сигнал: в одном канале wav-файла действительная часть сигнала, в другом канале - мнимая часть.

В нём $3$ разных модулированных сигнала: 1) на "несущей" $-6000 \, \text{Гц}$ - SSB-сигнал с верхней боковой полосой, 2) на "несущей" $0\, \text{Гц}$ - DSB-сигнал, т. е. двухполосный сигнал с подавленной несущей, 3) на "несущей" $+6000 \, \text{Гц}$ - SSB-сигнал с нижней боковой полосой.

По частоте сигналы тесно прижаты друг к другу, поэтому при выделении модулирующего аудио-сигнала здесь приходится выбирать узкополосный ФНЧ: с частотой среза $3 \, \text{кГц}.$ Разборчивость при этом ещё есть, хотя в звуке явно ощущается недостаток высоких частот.

[Евгений Машеров]

Я бы предложил для прояснения рассматривать SSB как амплитудную модуляцию, после которой делается активное подавление второй полосы. Скажем, вторая полоса выделяется фильтром, инвертируется и прибавляется к сигналу. В результате получается сдвиг фазы, который, в отличие от ФМ, не несёт информации, а служит лишь для компенсации боковой полосы.

[EUgeneUS]

profrotter в сообщении #1225906 писал(а):

Предлагаю начать с описания модулирующего сигнала. Взять для примера его периодическим...

И после проведения выкладок придем к т.н. фазовому методу формирования SSB, который популярно, доступно для школьников описывается, например, в книге Полякова "Трансиверы прямого преобразования", по которой я и изучал тему в далекие школьные времена ;) То есть как это работает и как получается - немного в курсе. Вопрос был чуть в другом: как нарисовать график SSB сигнала, визуализировать его. Для любого модулирующего сигнала, или хотя бы для стандартных: пилы, треугольника, меандра..


Для DSB - это элементарно. Рисуем график сигнала, отражаем относительно оси времени, заполняем промежутки между огибающими несущей. А вот с SSB похоже подобный финт не проходит, надо честно Фурье преобразование проводить туда-обратно...

Cos(x-pi/2)
Спасибо за примеры.

[profrotter]

Извините, но мне казалось, что вопрос был в том, чтобы записать выражение, описывающее однополосный сигнал. Вот я читал ваше сообщение:

EUgeneUS в сообщении #1225817 писал(а):

Для каждого из этих видов модуляции можно написать в явном виде функцию результирующего сигнала от времени.
Но для SSB
с этим возникают (у меня) проблемы...

Ну коль скоро это теперь понятно школьникам, и нужен график, то осталось в выражение для однополосного сигнала подставить выражение для модулирующего сигнала и построить его на компьютере. Прямо вот-вот навскидку график построить не получится, поскольку, скажем огибающая определяется как корень квадратный из суммы квадратов модулирующего сигнала и сопряжённого ему по Гильберту. Оценить поведение такой штуки довольно не просто. Влияние изменения мгновенной фазы во времени отобразить не получится вообще, как впрочем, и в случае любого сигнала с угловой модуляцией. Графики мгновенной фазы и частоты можно наблюдать отдельно.

[EUgeneUS]

profrotter в сообщении #1225989 писал(а):

Оценить поведение такой штуки довольно не просто.

Ага, так получается. Вот для примера:

1. Собрал что-то похожее на пилу
2. DSB сигнал. Это легко нарисовать на бумаге без компьютера.
3. SSB сигнал Угадать, что такое получится, практически невозможно.

[wrest]

EUgeneUS
Не очень все-таки понятно чего вам непонятно.
Если у вас модулирующий сигнал это сумма синусов, то вы его умножаете на несущий синус а потом приравниваете к нулю компоненты где в получившейся сумме синусов в аргументах будут разности несущей и модулирующего сигнала, получая таким образом сигнал с однополосной модуляцией.
Если у вас частотная модуляция опять же известными синусами, то и тут аккуратно всё записав вы увидите те компоненты которые надо занулить, и получите выходной сигнал.
В случае вашей "пилы" и амплитудной модуляции, если пойти по такому прямому пути, получается:
Ваша пила:

$$\sin( 1 t) + 0.5 \sin( 2 t) + 0.25 \sin( 3 t) \eqno(1)$$

Ваш несущий синус:

$$\sin(20 t) \eqno(2)$$

DSB:

$$(\sin( 1 t) + 0.5 \sin( 2 t) + 0.25 \sin( 3 t))\sin(20 t) \eqno(3)$$

Раскрываем скобки, получаем выходной сигнал с амплитудной модуляцией (c точностью до множителя):

$$\cos(20t-3t) + 2 \cos(20t-2t) + 4 \cos(20t-1t) - 4 \cos(20t+1 t) - 2 \cos(20t+2 t) - \cos(20t+3 t) \eqno(4)$$

От $(4)$ отрезаем "нижние" синусы и получаем выходной сигнал с SSB модуляцией (с точностью до множителя):

$$ 4 \cos(21 t) + 2 \cos(22 t) + \cos(23 t) \eqno(5)$$

Если у вас модулирующий сигнал это непойми что, то и произведение его с несущим синусом может быть непойми чем, еще неизвестно кто кого промодулирует. Должны быть ограничения на модулирующий сигнал -- по спектру, амплитуде и т.п.
Если эти ограничения есть, то тогда есть прямой путь через преобразование (интеграл) Фурье, зануление боковой полосы и обратное преобразование в сигнал.

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1226098 писал(а):

Не очень все-таки понятно чего вам непонятно.

Да, видимо, очень неудачно сформулировал, что меня интересует.

Но на имевшийся у меня вопрос получил вот такой ответ:

profrotter в сообщении #1225989 писал(а):

Прямо вот-вот навскидку график построить не получится, поскольку, скажем огибающая определяется как корень квадратный из суммы квадратов модулирующего сигнала и сопряжённого ему по Гильберту. Оценить поведение такой штуки довольно не просто.

Вопрос исчерпан. Спасибо.

[profrotter]

wrest, замечание за публикацию решения простой учебной задачи.