Почему радианы?

[miflin]

miflin в сообщении #1225271 писал(а):

Почему?

Сейчас дошло, что задавая вопрос, я ещё спал...

[wrest]

arseniiv в сообщении #1225438 писал(а):

Это всё, можно сказать, взгляды на одно и то же с разных сторон.

Конечно, одно вытекает из другого и втекает в третье.
Я ради интереса посмотрел, а что такое синус по определению. Как обычно, в Википедии.
Помимо геометрических определений, там есть "матаническое", через решение системы функциональных уравнений, где по факту выбор угловой меры (а также верхней и нижней границы, т.е. амплитуды) происходит через выбор дополнительных условий.

Есть еще "матаническое" определение что синус (или косинус, в зависимости от начальных условий) это решение дифура $R''(\varphi)=-R(\varphi)$ с граничными условиями $R(0)=1$ (косинус) или $R'(0)=1$ (синус), и тут хотя напрямую выбор угловой меры и не просматривается (а только амплитуды), но где-то дальше он с необходимостью должен возникнуть.

[ewert]

x-code в сообщении #1225087 писал(а):

Но чем радиан лучше оборота?
Радиан - это угол, при котором радиус равен длине дуги. Но где и когда радиус и длина дуги могут быть взаимозаменяемы?

Они не взаимозаменяемы. Так же как сторона квадрата не взаимозаменяема с его диагональю и с радиусом чего-то вписанного/описанного. Но у всех них есть нечто общее -- одинаковая размерность.

Вот ровно этим радиан и лучше. Тем, что он (в отличие от градуса) есть величина безразмерная.

[wrest]

ewert в сообщении #1225490 писал(а):

Вот ровно этим радиан и лучше. Тем, что он (в отличие от градуса) есть величина безразмерная.

... размерностью "радиан" (если в СИ).

[arseniiv]

Ну это уже ерунда, градус безразмерен в той же мере степени, что и радиан и оборот. Притом их все можно так же понимать и как размерные величины. Кажется, об этом была тема или три.

Если определять угол поворота как класс гомотопически эквивалентных путей в $\mathrm{SO}(2)$, это будет величина не безразмерная — множество её значений $A$ будет одномерным вещественным векторным пространством без канонического изоморфизма с $\mathbb R$. Если определить тригонометрические функции как функции именно такой величины, у нас пропадёт вопрос о том, в чём измерять углы и переместится в выбор какого-то изоморфизма $\mathbb R\to A$ из всевозможных, композиция которого с такими «чистыми» тригонометрическими функциями даст обычные (или градусные и ещё какие).

-- Ср июн 14, 2017 23:09:17 --

wrest в сообщении #1225496 писал(а):

размерностью "радиан" (если в СИ)

Нет в СИ никакой размерности «радиан». Углы там безразмерны. И это, см. выше, не единственно возможный выбор.

[wrest]

arseniiv в сообщении #1225497 писал(а):

Нет в СИ никакой размерности «радиан». Углы там безразмерны.

Цитата:

В качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ) радиан был принят XI Генеральной конференцией по мерам и весам в 1960 году одновременно с принятием системы СИ в целом.

[Xaositect]

А теперь прочитайте про различие понятий "единица измерения" и "размерность".

Из той же википедии писал(а):

В настоящее время в системе СИ радиан квалифицируется как когерентная безразмерная производная единица СИ, имеющая специальные наименование и обозначение.

[wrest]

Xaositect
Да, вы и arseniiv правы, а я нет.
Размерность отменили в 80-х, а я проспал.

(Оффтоп)

В ГОСТ-е написано что размерность метров на метр = 1, а стерадиан квадратных метров на квадратный метр = 1.

[Aritaborian]

wrest в сообщении #1225333 писал(а):

К чему прелюдии? Переходите прямо к апофеозу.

Из опыта мне известно, что между прелюдией и апофеозом, как правило, имеет место, собственно, сам процесс, который порою может быть достаточно долгим, и некоторым это нравится. Впрочем, я не призываю вас заниматься тантрическим матаном, перейдём к сути.
Почему я счёл ваши выводы неверными. Переводя $x$ из радианов в лапти градусы, мы умножаем его на некий коэффициент, в данном случае равный $\frac{180}{\pi}$. Но умножаем как под синусом в числителе, так и в знаменателе и всё равно получаем $\lim \limits _{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1$.
Таковы были мои соображения... А где я налажал, пусть мне скажут

[wrest]

Aritaborian в сообщении #1226023 писал(а):

А где я налажал, пусть мне скажут

Вот здесь:

Aritaborian в сообщении #1226023 писал(а):

Переводя $x$ из радианов в лапти градусы,

Беря за эталон скажем развернутый угол и сопоставив ему численное значение 180 градусов, забыв о существовании радианов, мы просто вычисляем синус от $x$ градусов.

И здесь:

Aritaborian в сообщении #1226023 писал(а):

так и в знаменателе

Опять же, ничего не умножаем, подставляем численное значение угла и в синус и в знаменатель, как я и писал про калькулятор.

Период синуса в $2 \pi$ получается только когда угловая мера в радианах. Если угловая мера в градусах, то период у синуса равен $360$. У синуса несколько определений, и в одном из них (я писал об этом выше) синус определяется как решение системы функциональных уравнений, а период синуса равный $2\pi$ задается явно как дополнительное условие к этой системе.

Синус, на мой скромный взгляд, это такая функция которая меняет размерность, принимая на входе величину "угол" и давая на выходе безразмерную величину "отношение длины противолежащего от этого угла катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике".

Но, как уже выяснено выше, в 80-х годах решили все-таки считать угловую меру безразмерной, отсюда и некоторый конфуз.

(Оффтоп)

На мой личный опять же скромный взгляд, безразмерные физические величины (например моли) это плохо и является источником проблем.

[arseniiv]

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1226071 писал(а):

На мой личный опять же скромный взгляд, безразмерные физические величины (например моли) это плохо и является источником проблем.

Моли размерны. Ну в самом же деле.