2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6
 
 Re: Почему радианы?
Сообщение14.06.2017, 18:31 
Аватара пользователя


27/02/12
3883
miflin в сообщении #1225271 писал(а):
Почему?

Сейчас дошло, что задавая вопрос, я ещё спал...

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему радианы?
Сообщение14.06.2017, 18:51 


05/09/16
12038
arseniiv в сообщении #1225438 писал(а):
Это всё, можно сказать, взгляды на одно и то же с разных сторон.

Конечно, одно вытекает из другого и втекает в третье.
Я ради интереса посмотрел, а что такое синус по определению. Как обычно, в Википедии.
Помимо геометрических определений, там есть "матаническое", через решение системы функциональных уравнений, где по факту выбор угловой меры (а также верхней и нижней границы, т.е. амплитуды) происходит через выбор дополнительных условий.

Есть еще "матаническое" определение что синус (или косинус, в зависимости от начальных условий) это решение дифура $R''(\varphi)=-R(\varphi)$ с граничными условиями $R(0)=1$ (косинус) или $R'(0)=1$ (синус), и тут хотя напрямую выбор угловой меры и не просматривается (а только амплитуды), но где-то дальше он с необходимостью должен возникнуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему радианы?
Сообщение14.06.2017, 20:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
x-code в сообщении #1225087 писал(а):
Но чем радиан лучше оборота?
Радиан - это угол, при котором радиус равен длине дуги. Но где и когда радиус и длина дуги могут быть взаимозаменяемы?


Они не взаимозаменяемы. Так же как сторона квадрата не взаимозаменяема с его диагональю и с радиусом чего-то вписанного/описанного. Но у всех них есть нечто общее -- одинаковая размерность.

Вот ровно этим радиан и лучше. Тем, что он (в отличие от градуса) есть величина безразмерная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему радианы?
Сообщение14.06.2017, 21:06 


05/09/16
12038
ewert в сообщении #1225490 писал(а):
Вот ровно этим радиан и лучше. Тем, что он (в отличие от градуса) есть величина безразмерная.

... размерностью "радиан" (если в СИ).

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему радианы?
Сообщение14.06.2017, 21:08 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ну это уже ерунда, градус безразмерен в той же мере степени, что и радиан и оборот. Притом их все можно так же понимать и как размерные величины. Кажется, об этом была тема или три.

Если определять угол поворота как класс гомотопически эквивалентных путей в $\mathrm{SO}(2)$, это будет величина не безразмерная — множество её значений $A$ будет одномерным вещественным векторным пространством без канонического изоморфизма с $\mathbb R$. Если определить тригонометрические функции как функции именно такой величины, у нас пропадёт вопрос о том, в чём измерять углы и переместится в выбор какого-то изоморфизма $\mathbb R\to A$ из всевозможных, композиция которого с такими «чистыми» тригонометрическими функциями даст обычные (или градусные и ещё какие).

-- Ср июн 14, 2017 23:09:17 --

wrest в сообщении #1225496 писал(а):
размерностью "радиан" (если в СИ)
Нет в СИ никакой размерности «радиан». Углы там безразмерны. И это, см. выше, не единственно возможный выбор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему радианы?
Сообщение14.06.2017, 21:18 


05/09/16
12038
arseniiv в сообщении #1225497 писал(а):
Нет в СИ никакой размерности «радиан». Углы там безразмерны.

:facepalm:
Цитата:
В качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ) радиан был принят XI Генеральной конференцией по мерам и весам в 1960 году одновременно с принятием системы СИ в целом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему радианы?
Сообщение14.06.2017, 21:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
А теперь прочитайте про различие понятий "единица измерения" и "размерность".

Из той же википедии писал(а):
В настоящее время в системе СИ радиан квалифицируется как когерентная безразмерная производная единица СИ, имеющая специальные наименование и обозначение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему радианы?
Сообщение14.06.2017, 21:28 


05/09/16
12038
Xaositect
Да, вы и arseniiv правы, а я нет.
Размерность отменили в 80-х, а я проспал.

(Оффтоп)

В ГОСТ-е написано что размерность метров на метр = 1, а стерадиан квадратных метров на квадратный метр = 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему радианы?
Сообщение16.06.2017, 11:04 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
wrest в сообщении #1225333 писал(а):
К чему прелюдии? Переходите прямо к апофеозу.
Из опыта мне известно, что между прелюдией и апофеозом, как правило, имеет место, собственно, сам процесс, который порою может быть достаточно долгим, и некоторым это нравится. Впрочем, я не призываю вас заниматься тантрическим матаном, перейдём к сути.
Почему я счёл ваши выводы неверными. Переводя $x$ из радианов в лапти градусы, мы умножаем его на некий коэффициент, в данном случае равный $\frac{180}{\pi}$. Но умножаем как под синусом в числителе, так и в знаменателе и всё равно получаем $\lim \limits _{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1$.
Таковы были мои соображения... А где я налажал, пусть мне скажут :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему радианы?
Сообщение16.06.2017, 12:14 


05/09/16
12038
Aritaborian в сообщении #1226023 писал(а):
А где я налажал, пусть мне скажут

Вот здесь:
Aritaborian в сообщении #1226023 писал(а):
Переводя $x$ из радианов в лапти градусы,

Беря за эталон скажем развернутый угол и сопоставив ему численное значение 180 градусов, забыв о существовании радианов, мы просто вычисляем синус от $x$ градусов.

И здесь:
Aritaborian в сообщении #1226023 писал(а):
так и в знаменателе

Опять же, ничего не умножаем, подставляем численное значение угла и в синус и в знаменатель, как я и писал про калькулятор.

Период синуса в $2 \pi$ получается только когда угловая мера в радианах. Если угловая мера в градусах, то период у синуса равен $360$. У синуса несколько определений, и в одном из них (я писал об этом выше) синус определяется как решение системы функциональных уравнений, а период синуса равный $2\pi$ задается явно как дополнительное условие к этой системе.

Синус, на мой скромный взгляд, это такая функция которая меняет размерность, принимая на входе величину "угол" и давая на выходе безразмерную величину "отношение длины противолежащего от этого угла катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике".

Но, как уже выяснено выше, в 80-х годах решили все-таки считать угловую меру безразмерной, отсюда и некоторый конфуз.

(Оффтоп)

На мой личный опять же скромный взгляд, безразмерные физические величины (например моли) это плохо и является источником проблем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему радианы?
Сообщение17.06.2017, 00:21 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1226071 писал(а):
На мой личный опять же скромный взгляд, безразмерные физические величины (например моли) это плохо и является источником проблем.
Моли размерны. Ну в самом же деле.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 86 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group