Почему радианы?

[nestoklon]

Евгеша
Меня википедия в этом смысле вполне устраивает. В данном конкретном примере разница между размерностью и единицами измерения несущественна (хотя мне эта терминология не нравится, я привык к тому что размерность у ангстрем в год и километров в секунду разная). В принципе, я готов согласиться что они имеют одну размерность, если вы настаиваете. Однако, согласится с тем что выражение $\frac{v}{c}$, которое тоже имеет физический смысл скорости имеет ту же размерность, я не могу.
Да и обсуждали недавно по делу.

[ewert]

nestoklon в сообщении #229085 писал(а):

Евгеша
Меня википедия в этом смысле вполне устраивает. В данном конкретном примере разница между размерностью и единицами измерения несущественна (хотя мне эта терминология не нравится, я привык к тому что размерность у ангстрем в секунду и километров в год разная).

Непоследовательно. Если устраивает, то должно устраивать и это:

википедия

Цитата:

Часто абстрагируются от конкретных единиц измерения и описывают размерности в терминах основных физических величин, таких, например, как длина, масса и время, которые обозначают символами L, M и T, соответственно.

[nestoklon]

ewert в сообщении #229089 писал(а):

Непоследовательно. Если устраивает, то должно устраивать и это:

"Вполне устраивает" и "нравится" это два разных отношения. Я готов принять, что когда мы переводим из электрон-вольт в эрги, это совсем не перевод из одной размерности в другую. Хотя привык называть этот процесс именно так.

[General]

У меня как-то случай был:
попросил построить курсанта в Экселе синусоиду. Тот сделал табличку: слева числа 0, 10, 20 и т.д., а справа вычисляется от них синус. Построил график - кривой какой-то он получился. Я ему показываю на строку, где стоит число 30 и говорю:
- Вот вы помните, в школе учили, чему равен синус тридцати?
- Одна вторая
- А почему же тут синус тридцати равен -0,98?
- Нуу... так компьютер посчитал...

[x-code]

Заинтересовала эта тема, даже зарегистрировался:)
Понятно что градусы это искусственная единица измерения. Но чем радиан лучше оборота?
Радиан - это угол, при котором радиус равен длине дуги. Но где и когда радиус и длина дуги могут быть взаимозаменяемы? В голову ничего не приходит. И то и другое длина, но это все что есть у них общего. Сравнивать их больше ассоциируется со сравнением "метров с килограммами".
Один оборот кажется более интуитивным и фундаментальным: угол, при повороте на который любой объект занимает прежнее положение. Половина оборота - половина целого (окружности). И т.д.
(а еще обороты в арифметике с фиксированной точкой удобнее для компьютеров: нормализовывать не надо, все происходит само за счет арифметического переполнения, но это уже не совсем по теме)
Может есть какие-то фундаментальные причины первичности именно радиана?

[Someone]

x-code в сообщении #1225087 писал(а):

Может есть какие-то фундаментальные причины первичности именно радиана?

Очень многие формулы сильно упрощаются, если углы измерять в радианах, а не в градусах. Например, длина дуги радиуса $R$ с центральным углом $\alpha$ (в радианах) равна $l=R\alpha$, площадь сектора — $S=\frac 12R^2\alpha$. То же самое, но $\alpha$ в градусах: $l=\frac{\pi R\alpha}{180^{\circ}}$, $S=\frac{\pi R^2\alpha}{360^{\circ}}$.

[arseniiv]

x-code в сообщении #1225087 писал(а):

Но чем радиан лучше оборота?

Радиан лучше тем, что $\frac d{dx}(\sin ax) = a\cos ax$, и только при $|a| = 1$ амплитуды синуса и его производной совпадают. Иными словами, в формуле Эйлера вместе с экспонентой участвуют именно «радианные» тригонометрические функции.

Оборот, конечно, тоже лучше радиана, но два разных синуса, выражающихся друг через друга всего-то линейной заменой, иметь неудобно. И традиция тут на стороне «радианного».

[wrest]

x-code в сообщении #1225087 писал(а):

Может есть какие-то фундаментальные причины первичности именно радиана?

Только в радианах $\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}=\lim \limits_{x \to 0}\dfrac{x}{\sin x}=$1

[miflin]

wrest в сообщении #1225181 писал(а):

Только в радианах

Почему?

[wrest]

miflin в сообщении #1225271 писал(а):

Почему?

Переключите ваш калькулятор в режим градусов, вычислите синус 0,01 градуса и поделите результат на 0,01. Сколько получилось?
Теперь переведите калькулятор в режим радиан и проделайте тоже самое.

[wrest]

miflin
Понятное дело, что первый замечательный предел говорит о том, что при малых углах длина дуги приближается к длине стягивающей её хорды, что геометрически довольно ясно и очевидно. Вот поэтому именно в радианах первый замечательный предел равен единице, а не другой константе. Я даже думаю, что радианная угловая мера удобна именно из-за единичности первого замечательного предела.

[Aritaborian]

wrest в сообщении #1225280 писал(а):

Переключите ваш калькулятор в режим градусов

Вот это я понимаю, строгое доказательство wrest, ваши рассуждения неверны. Попробуйте ещё раз как следует подумать.

[wrest]

Aritaborian в сообщении #1225299 писал(а):

Попробуйте ещё раз как следует подумать.

К чему прелюдии? Переходите прямо к апофеозу.

[arseniiv]

Что-то у меня тоже глаз замылен. Пусть у нас есть, например, «оборотный синус» $\sin_\tau x = \sin 2\pi x$. Предел $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin_\tau x}x = 2\pi$. Если намекается на пределы $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin ax}{ax}$, равные, конечно же, 1, то неясно, откуда их тут собираются получить.

wrest в сообщении #1225296 писал(а):

Я даже думаю, что радианная угловая мера удобна именно из-за единичности первого замечательного предела.

Если я выше не неправ, это довольно прямо связано с тем, что упоминал выше я про производную или формулу Эйлера. Это всё, можно сказать, взгляды на одно и то же с разных сторон.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»