Физический смысл векторного произведения

[Munin]

Я хотел выразить другую мысль: вращение не меняется, но из-за этого сам псевдовектор меняется - заменяется на противоположный.

[Archie_Sawicki]

Munin
Понял, спасибо. А где можно почитать поподробнее с физическими мотивировками введения именно псевдовектора. Ведь мне кажется, что можно сопоставить в таком случае и истинный вектор, который бы не менялся при смене ориентации базиса и так же выражал бы вращение. Например если символ леви чивиты определить как истинный тензор (так кстати делается в том самом ильине позняке) и свернуть с ним два вектора мы получим векторное произведение которое не будет меняться при смене ориентации базиса, ибо эта смена ориентации учитывается. Т.е однажды задав его в правом или левом базисе изначально мы и определяем раз и навсегда правило правой или левой руки безотносительно к смене ориентации базиса.

[Munin]

Archie_Sawicki в сообщении #1221937 писал(а):

Ведь мне кажется, что можно сопоставить в таком случае и истинный вектор, который бы не менялся при смене ориентации базиса и так же выражал бы вращение.

Можно? - Сопоставьте!

Делов-то: пишете сюда формулы и определения, мы киваем головой, и всё хорошо.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #1221967 писал(а):

Можно? - Сопоставьте!

А тут не надо формул, сказанного достаточно. Сказано же: определяем символ Леви-Чевита как истинный тензор, т.е. меняющий знак при инверсии (ибо он нечетного ранга). И все, векторное произведение $e_{ijk}A_jB_k$ будет менять знак при инверсии, как и положено нормальному вектору.

В принципе так можно. Правда станет затруднительно анализировать инверсионную симметрию. И как-то фиксировать надо, в какой именно системе $e_{123}=1$, какая система координат правая, а какая -- левая. Придется ввести эталонный винт (или тройку пронумерованных векторов). Собственно, так и есть на самом деле: мы самих себя используем в качестве эталона "правости системы" (ибо мы инверсионно несимметричны). А вот представьте себе существ, которые инверсионно симметричны и при этом занимаются физикой с математикой Им-то что делать? Как отличать правую систему координат от левой? Только эталонный винт установить в общедоступном месте и всем с ним сверяться.

[Metford]

Archie_Sawicki в сообщении #1221937 писал(а):

Ведь мне кажется, что можно сопоставить в таком случае и истинный вектор, который бы не менялся при смене ориентации базиса и так же выражал бы вращение.

Это называется изобретать велосипед. Всё равно то, от чего Вы хотите избавиться, вылезет в другом месте. Вот Alex-Yu указал, где и как. Ну, не обойдётесь Вы вектором в этом случае

[arseniiv]

Не совсем понятно, зачем Archie_Sawicki вектор, если он уже упоминал про внешнее произведение и бивектор, которые с самого начала не нужно «исправлять», и которыми прекрасно можно оперировать.

[Archie_Sawicki]

Alex-Yu
Так, я немножко запутался вот в чем) Смотрите. Допустим мы в правом базисе и задали $e_{123}=1$. Тем самым определили правило для направления вектора в результате свертки с этим тензором в данном базисе. Но вот в чем дело. Если это истинный тензор, то правило правого винта будет справедливо и для левого базиса. Если же псевдотензор, то правило меняется на левый винт. Но в сущности ведь эталон у нас в любом случае имеется ведь так?)

-- 04.06.2017, 18:14 --

arseniiv
Затем, что хочется соотнести эти вещи между собой)

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #1221981 писал(а):

Сказано же: определяем символ Леви-Чевита как истинный тензор, т.е. меняющий знак при инверси

Тогда у нас всё наше пространство получает ориентацию: либо оно "нормальное", либо "вывернутое наизнанку". Эта ориентация будет ненаблюдаемой величиной. И в то же время, она будет входить как множитель во все формулы, связывающие между собой векторы и псевдовекторы.

То есть, это те же псевдовекторы, вид сбоку.

-- 04.06.2017 16:26:55 --

Alex-Yu в сообщении #1221981 писал(а):

А тут не надо формул

А формулы требовать надо в педагогическом плане. Чтобы человек не только языком чесал, но и воплощал начёсанное.

[Archie_Sawicki]

Munin
У меня тут трудности просто с набором формул) К тому же с телефона.

[Metford]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1222022 писал(а):

Чтобы человек не только языком чесал, но и воплощал начёсанное.

Вы хотите свитер с формулами?

[Alex-Yu]

Archie_Sawicki в сообщении #1222019 писал(а):

Но в сущности ведь эталон у нас в любом случае имеется ведь так?

Где он у нас есть? В каком смысле есть? Вот у вас лежит на столе куча винтиков: правых и левых. Как, если не знать какая рука -- правая, а какая --- левая определить какой винтик правый, а какой левый?

Т.е. эталон есть в том смысле, что в детстве мама научила какая рука правая, а какая -- левая. Но объективно его (эталона) нет.

[Archie_Sawicki]

Alex-Yu
ну да, рука это эталон) простите, я просто запутался) получается у нас со сменой базиса как бы меняется эталон вот и все да?) и это выражается именно псевдотензорным характером символа леви чивита, так?)

[Alex-Yu]

Archie_Sawicki в сообщении #1222057 писал(а):

получается у нас со сменой базиса как бы меняется эталон вот и все

Да. Кстати, если посмотрите на себя в зеркало, то обнаружите, что когда Вы машете правой рукой, Ваш зеркальный двойник машет левой. Инверсия сводится к композиции зеркального отражения и поворота. Так что зеркало вполне заменит инверсию.

[Archie_Sawicki]

Alex-Yu
Ага, речь идет о несобственном ортогональном преобразовании)

[Walker_XXI]

(Оффтоп)

Alex-Yu в сообщении #1222041 писал(а):

Т.е. эталон есть в том смысле, что в детстве мама научила какая рука правая, а какая -- левая. Но объективно его (эталона) нет.

Если рассматривать наш мир на фундаментальном уровне, то он асимметричен - слабые взаимодействия нарушают P-симметрию, чем объективно выделяют одну из ориентаций. Это, конечно, не решает вопрос, что называть "правым", а что "левым", однако даёт принципиальную возможность объяснить другой достаточно развитой цивилизации, что мы называем "правым". В быту мы этим, конечно, не пользуемся, а эталоном нам служат собственные руки.