Физический смысл векторного произведения

[Munin]

Я не сказал, что это сложно. Я сказал, что это выходит за рамки векторной алгебры.

[arseniiv]

Раз уж формула вызывает такое оживление, то можно привести гораздо более ровную формулу с бивекторами (раз уж они тут уже были описаны — так-то формула ведь, вроде, более общая) в алгебре Клиффорда: $\ln(\exp A\exp B)$. Заодно видно, когда повороты коммутируют.

[Утундрий]

Так не выходит ведь! Не нужны для её вывода ни группы ни спиноры. И даже кватернионы не нужны, хотя с ними гораздо короче и изящней. (Собственно, это чуть ли не единственный на моей памяти случай, когда кватернионы к месту.)

[Pphantom]

Munin, Утундрий:
Господа, если вам угодно продолжать выяснять границы векторной алгебры, переместитесь, пожалуйста, с этим в ЛС. Ценность вопроса такова, что его даже в отдельную тему выделять не стоит.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Там они к месту ровно постольку, поскольку это $C\ell^0(\mathbb R, n)$ для $n = 3$. На другие размерности кватернионы не обобщаются.

[Kolego]

Все понятно и доходчиво, один вопрос остался. Почему люди так странно условились обозначить направление вектора угловой скорости? Ведь из этого направления вытекает и логика направления момента импульса. Чем угловая скорость отличается от линейной, кроме как ед изм?
В чем получается смысл вектора момента вращения(момента импульса), когда он направлен перпендикулярно плоскости вращения? Я беру в руки вертикально шуруповерт и он не сообщает мне о каком либо моменте импульса, направленном вдоль оси вращения.
Одновременно направление вектора момента силы кажется вполне логичным и тем самым еще больше обозначает нелогичность вектора момента импульса.

[warlock66613]

Kolego в сообщении #1150849 писал(а):

Почему люди так странно условились обозначить направление вектора угловой скорости?

Про это собственно и был первый ответ вам в этой теме. Попробую изложить попроще.

Что такое вектор? Можно считать, что вектор состоит из числа (длины вектора) и определённого направления в пространстве. Поэтому вектор удобен для описания скорости: задавая вектор скорости мы тем самым задаём величину скорости и её направление — куда именно (вдоль какой направленной прямой) тело движется.

Но как нам описать угловую скорость? Для угловой скорости нам надо задавать не направление прямой в пространстве, а ориентацию плоскости — той плоскости, в которой происходит вращение. Значит нам нужен некий геометрический объект вроде вектора, но "состоящий" не из числа и направления, а из числа и ориентации плоскости. Такие объекты известны — они называются бивекторы.

Бивектор уголовой скорости имеет простой физический смысл, но его сложно представить и нарисовать (по сравнению с привычным вектором). Привлечение бивекторов усложняет изучение механики, так как надо научиться производить с ними математические действия и т. п., поэтому хочется по возможности обойтись привычными векторами. И такая возможность есть. Именно, если подумать, зная вектор мы знаем и ориентацию плоскости, которой он перпеникулярен (плоскостей таких, конечно, много, но ориентированы они все одинаково). Поэтому вместо использования бивектора можно описывать угловую скорость вектором, перпендикулярным к плоскости вращения, чем и пользуются. Кроме того, оказывается, что и направление такого вектора имеет некий наглядный смысл — оно задаёт ось вращения, однако прямого физического смысла у вектора угловой скорости нет — это просто остроумный необычный способ использования вектора для задания не направления прямой, а ориентации плоскости.

-- 13.09.2016, 11:14 --

Добавлю ещё, что это в определённом смысле везение, что удаётся использовать вектор для описания угловой скорости и других подобных величин. Оказывается, что в $n$-мерном пространстве любому $k$-вектору можно взаимоднозначно сопоставить $(n-k)$-вектор — то есть зная первый можно найти второй и наоборот. Опираясь на интуитивные преставления, можно сказать, что эти поливекторы перпендикулярны друг другу. Таким образом, в трёхмерном пространстве вместо "сложного" бивектора угловой скорости можно изучать "перпендикуряный" ему "простой" вектор. А на плоскости с этим ещё проще: там бивектор можно заменить нуль-вектором — то есть просто числом. И если заглянуть в школьный учебник, то можно увидеть, что при изучении вращения в одной плоскости тот же момент силы там так и определён — не как вектор, а как скаляр. Иначе говоря, вместо "векторного произведения" для векторов на плоскости получается "второе скалярное" (или "псевдоскалярное", если учесть, что результат является не истинным скаляром, а псевдоскаляром). А вот при изучении четырёхмерных вращений бивектору перпендикуляерн только опять же бивектор — так что там только векторами и скалярами никак не обойтись, почему и можно говорить, что ситуация в трёхмерном и двухмерном случаях — удачное стечение обстоятельств.

-- 13.09.2016, 11:16 --

Kolego в сообщении #1150849 писал(а):

Одновременно направление вектора момента силы кажется вполне логичным

Чем??? Такой же вектор, торчащий "куда-то вбок" (и по тем же причинам).

Kolego в сообщении #1150849 писал(а):

Чем угловая скорость отличается от линейной, кроме как ед изм?

Если вы поняли мой и другие ответы в этой теме, то, полагаю, вы сможете сформулировать это сами.

[Munin]

Kolego в сообщении #1150849 писал(а):

Почему люди так странно условились обозначить направление вектора угловой скорости?

Исторически: векторная алгебра развилась на основе алгебры кватернионов. Одновременно была разработана алгебра внешних форм, но она получила менее широкую известность.

-- 13.09.2016 16:04:08 --

Kolego в сообщении #1150849 писал(а):

Я беру в руки вертикально шуруповерт и он не сообщает мне о каком либо моменте импульса, направленном вдоль оси вращения.

Разумеется. Этот "вектор момента импульса" - математическая абстракция. Сам момент импульса - конечно, нет. И он может быть выражен не вектором вдоль оси, а другими величинами, указывающими вращение вокруг оси.

[wrest]

Kolego в сообщении #1150849 писал(а):

Я беру в руки вертикально шуруповерт и он не сообщает мне о каком либо моменте импульса, направленном вдоль оси вращения.

Пока вы не приставите его к шурупу, а шуруп к дереву. Тогда вы сразу поймете куда направлен момент по тому, станет шуруп вкручиваться или выкручиваться. Обычно резьбу делают правой и направление хода шурупа будет совпадать с направлением вектора момента.

[Munin]

Ну понятно, что вопрос не о шурупах, а о вращении. Вместо шуруповёрта можете рассмотреть волчок.

[wrest]

Munin в сообщении #1150953 писал(а):

Ну понятно, что вопрос не о шурупах, а о вращении.

Ну так понятно. Вопрос: "в каком направлении вращается часовая стрелка"? Ответ: "это направление называется "по часовой стрелке"".

[Nemiroff]

Сам рекламируемую книжку не читал, но статья доходчивая.
http://avva.livejournal.com/2801860.html

[Munin]

Всё это сильно перевранная теория внешних форм.

Менее перевранная есть в книге
Burke. Div, grad, curl are dead.
(Очень рекомендую: "книжка с картинками".)

Ну и совсем не перевранная - в учебниках по линалу и даже матану, начиная с Зорича. (Тьфу, нет. Даже с Ильина-Позняка, если в нём покопаться.)

[Metford]

Лично мне по теории внешних форм больше всего понравилась книга Н.В. Ефимов - Введение в теорию внешних форм. Как всегда у Ефимова, предельно понятно.

[Archie_Sawicki]

Munin

Munin в сообщении #1087356 писал(а):

Например, направление площадки, изображаемое $\circlearrowleft,$ - это направление, задаваемое порядком $(\mathbf{i},\mathbf{j}),$ или буквами $Oxy,$ если так понятнее. А противоположное направление $\circlearrowright,$ - соответствует $(\mathbf{j},\mathbf{i}),$ или $Oyx.$ Или, разумеется, что то же самое, $(\mathbf{i},-\mathbf{j}).$

Хотелось бы спросить. Я правильно понял, что если мы говорим (как в данном случае) о внешнем произведении двух векторов, то это истинный тензор (бивектор) изображающийся площадкой и вращением задаваемым тем порядком каким мы берем внешнее произведение (и в силу истинности тензора направление вращения внутри этой площадки не меняется при смене ориентации базиса). Однако если этому внешнему произведению сопоставить псевдовектор, то при смене ориентации базиса вращение меняется в силу того, что это собственно не истинный тензор?