Задача на сползание тела с полусферы

[Orkimed]

Здравствуйте. Нашёл на полке задачник по физике и залип. Никак не могу сдвинуться с места.
Текст задачки:
Небольшое тело скользит с вершины сферы вниз. На какой высоте $h$ тело оторвется от поверхности сферы радиусом $R$? Трением пренебречь.
Если $h$ отсчитывать от поверхности Земли, то получаются два уравнения:

$$\left\{ \begin{array}{ccc} mgR & = \frac{mv^2}{2}+mgh& \\ \frac{mv^2}{R}& = mg\cos(\alpha)& \\ h & = R\cos(\alpha)& \\ \end{array} \right.$$

Нахожу $\cos(\alpha) = \frac{2}{3}$, сходится с ответом.
Но, если $h$ брать от вершины, начинаются проблемы. Долго вспоминая школьных курс физики, пришёл к такому. Объяснить не могу, ответ совпадает с найденным в сети.

$$\left\{ \begin{array}{ccc} mgh & = \frac{mv^2}{2}& \\ \frac{mv^2}{R}& = mg\cos(\alpha)& \\ h & = R- R\cos(\alpha)& \\ \end{array} \right.$$

Объясните почему так можно делать?
P.S
Переносим начало отсчета в точку с $N= 0$, и поэтому $h = 0$.

Pphantom:

Название изменено на более соответствующее содержанию задачи.

[Pphantom]

Во-первых, перепишите первое уравнение второй системы к виду, максимально похожему на первое уравнение первой. Во-вторых - что, собственно, оба эти уравнения выражают?

P.S. А еще отдельные обозначения тоже нужно оформлять правильно. Выше я их уже поправил.

[DimaM]

Заголовок, кстати, не соответствует содержанию. При скатывании шара уравнения будут другие.

-- 31.05.2017, 19:06 --

Orkimed
Можно заменить $h$ во второй системе, например, на $y$. И посмотреть, что будет при подстановке $y=R-h$.

[Red_Herring]

DimaM в сообщении #1220504 писал(а):

При скатывании шара уравнения будут другие.

Безусловно. Ещё момент: какая начальная скорость? Нулём она быть не может, иначе шарик будет торчать на вершине в положении неустойчивого равновесия. Важно здесь, однако, что шарик скользит вдоль меридиана (иначе всё гораздо сложнее)

[DimaM]

Red_Herring в сообщении #1220509 писал(а):

Ещё момент: какая начальная скорость? Нулём она быть не может, иначе шарик будет торчать на вершине в положении неустойчивого равновесия.

Любая сколь угодно малая, неустойчивость же.

Red_Herring в сообщении #1220509 писал(а):

Важно здесь, однако, что шарик скользит вдоль меридиана (иначе всё гораздо сложнее)

Именно что скользит, а не скатывается, как в заголовке. И с полюса кроме как вдоль меридиана не скользнуть .

[Mihr]

Имхо, удобнее всего в качестве координаты тела (до момента его отрыва) ввести угол между его радиус-вектором и вертикалью. За начало отсчёта принимаем центр сферы.

[Red_Herring]

DimaM в сообщении #1220515 писал(а):

Любая сколь угодно малая, неустойчивость же.

Поскольку высота отрыва зависит от начальной скорости, то в условиях стоило отметить, что начальная скорость мала и зависимостью от нее следует пренебречь

[Orkimed]

Pphantom
Первый закон ньютона и закон сохранения механической энергии.
Первое уравнения второй системы и так максимально похоже. Потенциальная энергия $=$кинетической.
Вся проблема в том, что если подставить высоту из второй системы в первую, получается белиберда.
Пока вопрос открыт. На основании чего я могу сделать такую хитрость? Переместить начало отсчета в точка отрыва шарика от поверхности.
Забыл сказать, задачник Бендрикова. Так что "сложных случаев" быть не может.

[svv]

Почему Вы говорите о переносе начала отсчёта высоты в точку отрыва? Ведь во второй системе высота отсчитывается от верхней точки сферы (вниз).

[Pphantom]

Orkimed в сообщении #1220534 писал(а):

Первый закон ньютона и закон сохранения механической энергии.

Именно закон сохранения механической энергии. Сформулируйте его и перепишите первое равенство второй системы так, чтобы оно буквально соответствовало этой формулировке (или, как вариант, таки перепишите его в виде, максимально похожем на тот же закон из первой системы).

[Red_Herring]

DimaM в сообщении #1220515 писал(а):

Именно что скользит, а не скатывается, как в заголовке.

Час от часу не легче. Теперь шарик сползает

[fred1996]

Ну кстати с шариком точно задачу так просто точно не решить.
Перед самым отрывом реакция опоры стремится к нулю и в какой-то момент шарик таки начнет сползать с проскальзыванием.
Можно найти при каком угле начнется проскальзывание и при каком угле он оторвется в предположении что проскальзывания нет. Так что решение будет где-то между двумя этими углами. Интересно, а можно ли поточнее решить эту задачу?

-- 31.05.2017, 12:07 --

Erleker
Реакция опоры при том, что когда у нас она стремится к нулю, сила трения стремится к нулю и начнется проскальзывание. Мы начнем терять энергию. И в результате шарик оторвется быстрее, чем без проскальзывания. С проскальзыванием он будет быстрее набирать линейную скорость.

[Red_Herring]

В задаче предполагается, что шарик (а точнее, очень маленькое тело), просто скользит по поверхности полусферы.

[Erleker]

(Оффтоп)

fred1996 в сообщении #1220679 писал(а):

Реакция опоры при том, что когда у нас она стремится к нулю, сила трения стремится к нулю и начнется проскальзывание. Мы начнем терять энергию. И в результате шарик оторвется быстрее, чем без проскальзывания. С проскальзыванием он будет быстрее набирать линейную скорость.

Это понятно.Но я сказал не об этом.Впрочем, я понял, что сказал не то, и удалил свое сообщение.

Но вообще, да, нужно найти угол скольжения.До него считать $mv^2$.А потом писать ЗСЭ уже без учета энергии на "раскручивание".И потом все тоже самое.

[DimaM]

Red_Herring в сообщении #1220529 писал(а):

Поскольку высота отрыва зависит от начальной скорости, то в условиях стоило отметить, что начальная скорость мала и зависимостью от нее следует пренебречь

Да, вы правы.
При ненулевой начальной скорости задача тоже решается, кстати.