Группы в теории элементарных частиц

[Attendant]

Munin в сообщении #1065649 писал(а):

Mikhail_K в сообщении #1065627 писал(а):

Итак, разновидности частиц - это базис. В каком пространстве? Не в касательном ли пространстве к $\mathrm{SU}(3)_c$?

В пространстве представления $\mathrm{SU}(3)_f.$
Надо знать, что представлений много разных.
- тривиальное - оно образует синглет, одну частицу, обозначается неформально 1;
- фундаментальное - оно имеет размерность $n,$ в данном случае 3;
- сопряжённое к фундаментальному - тоже триплет, но обозначается $\bar{3}$;
- присоединённое - вот это как раз пространство самой группы - в данном случае, октет 8;
- и много других, например, 6, 10, и так далее.
Это неформальные обозначения, а на самом деле это полноценные многомерные пространства указанной размерности, с правилами, по которым группа на них действует.

Уважаемый Munin, подскажите, если Вас это не затруднит: в книге Замиралова В.С. "Основные понятия теории групп и их представлений и некоторые приложения к физике частиц" наткнулся на фразу: ...А в SU(3) как раз есть представление размерности 10, аналог НП размерности 4 в изопространстве SU(2) (с I = 3/2), http://nuclphys.sinp.msu.ru/thgr/part08.html

о каком представлении размерности 10 идет речь?
где можно об этом почитать?

[Munin]

Вот как раз в начале этой темы было перечислено несколько книг (прежде всего, Рубаков). Кроме того, советую эту тему:
«Как считать представления групп Ли?»
где мне назвали ещё несколько книг.

Речь о неприводимых представлениях _ группы Ли. "Представления группы Ли" подразумеваются матричные. Это если вы сами будете по терминам и по энциклопедиям разбираться.

И даже в названной вами книге http://nuclphys.sinp.msu.ru/thgr/index.html есть глава 1 "Основные понятия теории групп и их представлений".

[Attendant]

Munin в сообщении #1218724 писал(а):

Спасибо. А вот это: .....
но даже в этом я не уверен. А хотелось бы:
- уметь посчитать для $\mathrm{SU}(3)$ представление $8\otimes 8$;
- цепочку $k\otimes m\ldots\otimes n$ произвольной длины, пусть и рекуррентно;
- овладеть этой техникой для других групп Ли, прежде всего $\mathrm{SU}(n),\mathrm{SO},\mathrm{Sp},$

прямо желания совпали

[Metford]

Attendant в сообщении #1218752 писал(а):

- уметь посчитать для $\mathrm{SU}(3)$ представление $8\otimes 8$;

А вот для этого есть, например, графический метод. Каждое из представлений 8 изображается в виде шестиугольника с центром "второй кратности". В каждую из вершин шестиугольника помещаете такой же шестиугольник - и разбираете по представлениям получившуюся уйму точек. Чисто техническая процедура.
Есть ещё пара статей из УФН, в которых описана с работа с $SU(3)$-представлениями:
де Сварт Дж "Октетная модель элементарных частиц" УФН 84 651–692 (1964)
Смородинский Я.А. "Унитарная симметрия элементарных частиц" УФН 84 3–36 (1964)

[Munin]

Metford
Это была цитата из другой темы, посмотрите туда, пожалуйста, и напишите свои рекомендации там.

А графический метод - несколько не то, о чём спрашивалось.

[Metford]

Munin
Да, даже сейчас не сразу понял. Цитата неверно оформлена... Спасибо, что подсказали.
Рекомендацию сейчас в ту тему включу. А чтобы не сочлось за поднятие довольно старой темы, может быть её имеет смысл включить в число рекомендаций?

[Munin]

"Поднятия" незаконны, только если бессмысленны.

[Attendant]

Metford в сообщении #1218754 писал(а):

Attendant в сообщении #1218752 писал(а):

- уметь посчитать для $\mathrm{SU}(3)$ представление $8\otimes 8$;

А вот для этого есть, например, графический метод.

Спасибо.
И еще один вопрос: чем калибровочная инвариантность отличается от инвариантности?
насколько я понимаю тем, что в отличие от величин (и их преобразований), которые остаются инвариантными в различных системах отсчета калибровочная инвариантность требует добавления дополнительного, калибровочного, поля. Т.е. преобразование величин сопровождается добавлением иных величин (калибровочных), эта же процедура (в общем виде) называется "перенормировкой". Или я ошибаюсь?

[Metford]

Attendant в сообщении #1219207 писал(а):

калибровочная инвариантность требует добавления дополнительного, калибровочного, поля. Т.е. преобразование величин сопровождается добавлением иных величин (калибровочных)

Это да. Самый простой пример, пожалуй - как входит электромагнитное поле в ковариантную производную (её ещё "длинной" называют, но лично мне это дико не нравится). Т.е. требуется, чтобы лагранжиан был инвариантен относительно некоторого локального преобразования. В случае электромагнитного поля - преобразования группы $U(1)$. Но в лагранжиан входит производная поля - из-за этого появится лишнее слагаемое. Чтобы его убрать, в производную вводится калибровочное поле - электромагнитное - со своим законом преобразования (по сути обычное калибровочное преобразование из классической теории).

Attendant в сообщении #1219207 писал(а):

эта же процедура (в общем виде) называется "перенормировкой"

А вот это - нет. Перенормировка - это способ избавиться от ультрафиолетовых расходимостей.

[Attendant]

Metford в сообщении #1219209 писал(а):

Это да. Самый простой пример, пожалуй - как входит электромагнитное поле в ковариантную производную (её ещё "длинной" называют, но лично мне это дико не нравится). Т.е. требуется, чтобы лагранжиан был инвариантен относительно некоторого локального преобразования. В случае электромагнитного поля - преобразования группы $U(1)$.

Спасибо.
т.е. речь о калибровочной инвариантности идет только если есть требования инвариантности описания поля применительно к каким - то преобразованиям [групп симметрий]. Если же речь идет об описании электромагнитного поля (например) с помощью интегральной формы уравнений Максвелла (а не в рамках квантовой теории поля) понятие "калибровочная инвариантность" не имеет смысла. Я правильно понимаю?

[Metford]

Attendant в сообщении #1219229 писал(а):

Если же речь идет об описании электромагнитного поля (например) с помощью интегральной формы уравнений Максвелла (а не в рамках квантовой теории поля) понятие "калибровочная инвариантность" не имеет смысла.

Ну, зачем же так сразу? Интегральная форма в этом смысле не особенно наглядна. Тут всё упирается в определение физических полей через потенциалы. Там ведь как:

$$\vec{H}=\operatorname{rot}\vec{A}, \vec{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}-\operatorname{grad}\varphi.$$

Видно, что при замене $\vec{A}\to\vec{A}+\operatorname{grad} f$, $\varphi\to \varphi-\frac{1}{c}\frac{\partial f}{\partial t}$ физические поля не меняются. Вот это исходное понятие калибровочной инвариантности. В классической электродинамике роль этого факта значительно меньше, чем в квантовой теории.

[Attendant]

Metford в сообщении #1219230 писал(а):

Ну, зачем же так сразу? Интегральная форма в этом смысле не особенно наглядна. Тут всё упирается в определение физических полей через потенциалы. Там ведь как:

$$\vec{H}=\operatorname{rot}\vec{A}, \vec{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}-\operatorname{grad}\varphi.$$

Видно, что при замене $\vec{A}\to\vec{A}+\operatorname{grad} f$, $\varphi\to \varphi-\frac{1}{c}\frac{\partial f}{\partial t}$ физические поля не меняются. Вот это исходное понятие калибровочной инвариантности. В классической электродинамике роль этого факта значительно меньше, чем в квантовой теории.

Спасибо.
э-э-э... очевидно, что с изменением угла (поворотом) градиентов поля - его параметры (эл.маг.поля) не изменяются. Такое изменение будет инвариантно в разных системах отсчета. Но в чем тут калибровочная инвариантность?

[Munin]

Attendant в сообщении #1219207 писал(а):

И еще один вопрос: чем калибровочная инвариантность отличается от инвариантности?

В Рубакове про это подробно сказано. Глобальная инвариантность действует группой на всё пространство одновременно. А калибровочная - на каждую точку по отдельности, так что на разные точки действуют разные преобразования. (Функция "точка $to$ преобразование" непрерывна и дифференцируема.)

Раз мы имеем функцию преобразования, то она автоматически вылезает, когда мы хотим дефинировать инвариантные величины, например, производные - ковариантные производные. И её можно воспринимать как новое поле, взаимодействующее с существующими.

Attendant в сообщении #1219207 писал(а):

Т.е. преобразование величин сопровождается добавлением иных величин (калибровочных), эта же процедура (в общем виде) называется "перенормировкой". Или я ошибаюсь?

Калибровка помогает перенормировке, но не более того. Было доказано, что калибровочные КТП перенормируемы, а в это время как раз царил раздрай - КЭД была перенормируема, а новые КТП всяких адронов и мезонов - не поддавались. Тогда все рванулись допиливать теории до калибровочных. С сильным взаимодействием получилось, а со слабым не совсем. Придумали идею нарушенной симметрии, но и для неё отдельно пришлось доказывать перенормируемость. Когда этого достигли, Стандартная Модель сошлась с экспериментом, и стала ждать подтверждения предсказаний: кварки и глюоны, нейтральные токи и слабые бозоны, нейтрино 3-го поколения, и наконец, бозон Хиггса - которые и прошли с триумфами.

Attendant в сообщении #1219229 писал(а):

Если же речь идет об описании электромагнитного поля (например) с помощью интегральной формы уравнений Максвелла (а не в рамках квантовой теории поля) понятие "калибровочная инвариантность" не имеет смысла. Я правильно понимаю?

Не-а. Перейдя от потенциалов к напряжённостям, вы меняете шило на мыло: вместо калибровочной инвариантности (то есть, степеней свободы, не ограниченных уравнениями движения) вы получаете связи ("лишние" степени свободы). А квантовать такую теорию - о-о-очень неудобно.

Ну и напомню про опыт Ааронова-Бома, который подчеркнул, что потенциалы реальны, и нефиг их пытаться выкидывать из теории.

[Metford]

Attendant в сообщении #1219232 писал(а):

Но в чем тут калибровочная инвариантность?

Не понял вопроса. Если Вы о том, что в классической и квантовой теории слова "калибровочная инвариантность" имеют несколько разный смысл и играют разную роль - то да, так и есть. Происхождение названия осветить не возьмусь.

[Munin]

Attendant в сообщении #1219232 писал(а):

э-э-э... очевидно, что с изменением угла (поворотом) градиентов поля - его параметры (эл.маг.поля) не изменяются. Такое изменение будет инвариантно в разных системах отсчета. Но в чем тут калибровочная инвариантность?

Вы спутали общее понятие "инвариантности" с лоренцевой инвариантностью. Пожалуйста, вернитесь к учебникам: ЛЛ-2 § 18 и Рубаков.

Когда говорят про "поворот" применительно к этим инвариантностям, то подразумевают "поворот" только в некоем "внутреннем" пространстве степеней свободы. Это вещь абстрактная, и поначалу про неё стоит думать алгебраически.