Доказательство теоремы Ферма для степени $n=3$

[vasili]

Уважаемый vxv! Числа $a_1$, $b_1$, $c_1$ равенства $a_1 + b_1 = c_1 +2$ не имеют отношения ко 2-му случаю ВТФ для n = 3, так как ни одно из этих чисел не кратно 3.
1-й же случай ВТФ для n =3 не представляет интереса.

[vxv]

Someone в сообщении #1218086 писал(а):

Я воспринял вашу "линейную зависимость" как пропорциональность, но Вы такое толкование отрицаете.

Я не отрицаю пропорциональность.
Но отрицаю то, что (6) изначально получено из (5) в этой версии доказательства. На самом деле гипотетические (5) и (6) для натуральных $a,b,c$ выводятся независимо друг от друга из второго уравнения (возведенного в куб) в системе отдельно для $x=1$ $(a_1+b_1)^3=(c_1+2)^3$ (3*) и отдельно для ${x}\neq{1}$ $(a+b)^3=(c+2x)^3$ (3) , исходя из предположения, что
${c_1}^3-({a_1}^3+{b_1}^3)=0$ (или $Z_1=0$) и $c^3-(a^3+b^3)=0$ (или $Z_x=0$).
Далее выясняю, что гипотетическое (6) может быть только неравенством (7) для вообще любых натуральных $a,b,c$ (а не только тех, которые удовлетворяют (3*)):
$3(c_1+2)(a_1 b_1 - 2 c_1)> 2^3$ (7)
И тогда уже делаю вывод, что:
${c_1}^3-({a_1}^3+{b_1}^3)\neq0$ (или ${Z_1}\neq{0}$) и ${c^3-(a^3+b^3)}> {0}$ (или ${Z_x}\neq{0}$).
Что, собственно, и требуется доказать.

[Someone]

vxv в сообщении #1218518 писал(а):

На самом деле гипотетические (5) и (6) для натуральных $a,b,c$ выводятся независимо друг от друга из второго уравнения (возведенного в куб) в системе отдельно для $x=1$ $(a_1+b_1)^3=(c_1+2)^3$ (3*) и отдельно для $x \neq 1$ $(a+b)^3=(c+2x)^3$ (3) ,

Поэтому (6) никакого отношения к теореме Ферма не имеет, точнее, является крайне специальным частным случаем, который очень легко решается, ибо легко доказать, что ваш $x$ должен делиться на $3$, и потому не может быть равен $1$. Несколько сложнее доказать, что $x$ должен делиться на $9$, но это тоже доказывается. (В цитате я исправил опечатку в формуле, которая отображается неправильно: там должно быть "\neq", а не "\niq".)

[vxv]

Someone пишет: "Поэтому (6) никакого отношения к теореме Ферма не имеет, точнее, является крайне специальным частным случаем, который очень легко решается, ибо легко доказать..."

vxv в сообщении #1214686 писал(а):

Как они связаны между собой (или чем отличаются)?
«Если любой элемент множества $A$ принадлежит множеству $B$, то в этом случае множество $A$ является подмножеством множества $B$.»
$a_1,b_1,c_1$ - $B$,
$a,b,c$ - $A$.
Кстати, последнее утверждение снимает вопрос о возможности «подборов» $a,b,c$, не связанных коэффициентом пропорциональности с $a_1,b_1,c_1$, из той же области определения ($2x<a<b<c$).(ИМХО).

Someone
А Вы это мое утверждение учли?

[Someone]

А что там учитывать? Множество решений уравнения (6) (вместе с уравнением $a_1+b_1-c_1=2$) содержится в множестве решений уравнения (5) (вместе с уравнением $a+b-c=2x$). Ну, действительно содержится. У уравнения (5), вообще говоря, больше решений, чем у (6). Уравнение (5) вполне может иметь решения, даже если (6) ни одного не имеет (а оно их действительно не имеет, потому что $x$ должен делиться на $9$ и не может быть единицей).

vxv в сообщении #1218527 писал(а):

Кстати, последнее утверждение снимает вопрос о возможности «подборов» $a,b,c$, не связанных коэффициентом пропорциональности с $a_1,b_1,c_1$, из той же области определения ($2x<a<b<c$).

vxv в сообщении #1218518 писал(а):

Я не отрицаю пропорциональность.
Но отрицаю то, что (6) изначально получено из (5) в этой версии доказательства.

Да начхать, откуда оно взялось "изначально", тем более, что никакого вывода уравнения (6) из уравнения (5) Вы не предъявили, а без него никакой связи между (5) и (6) нет. Мало ли какое ещё уравнение можно придумать. Какое отношение оно имеет к теореме Ферма?
Вы подтвердили, что числа в одном уравнении пропорциональны числам в другом. Поэтому уравнение (6) получается из уравнения (5) делением на $x$, потому что пропорциональность означает именно это. А поскольку числа $a$, $b$, $c$ попарно взаимно простые (любой общий множитель мы можем сократить сразу, не нарушая равенства $a^3+b^3=c^3$), то их ни на что разделить нельзя, кроме $1$.

И, как уже писал vasili, значение $x=1$ соответствует первому случаю теоремы Ферма, который для третьей степени настолько тривиален, что интереса не представляет вообще. Интересен второй случай, когда одно из чисел $a$, $b$, $c$ делится на $3$. В этом случае число $2x=a+b-c$ тоже делится на $3$. Как я писал, приложив небольшие усилия, можно доказать, что на самом деле одно из чисел $a$, $b$, $c$ должно делиться на $9$, и тогда $x$ тоже делится на $9$.

Я понимаю, что Вам трудно расстаться с придуманным Вами "доказательством", но всё-таки постарайтесь прислушаться к людям, которые лучше Вас разбираются в вопросе и лучше понимают, что является математическим доказательством, а что — нет.

[vasili]

Уважаемый vxv! Мне не понятна логика вашего доказательства ВТФ. Доказывая от противного, т.е допуская существования натуральных чисел $a, b, c$, удовлетворяющих равенству $a^3 + b^3 = c^3$, Вы придаете известному трехчлену $a + b -c$ переменное значение = $2x$, но этот трехчлен благодаря формулам Абеля имеем вполне фиксированное значение для фиксированных $a, b, c$, а именно:
$a + b -c =u_1u_2u_3$, где $u_1,u_2,u_3$ делители чисел $c, a, b$ соответственно. Обозначение делителей взял
у М.М.Постникова "Теорема Ферма"

[vxv]

Здесь нет нигде фиксированных $a,b,c$ и $a_1,b_1,c_1$. Есть два фиксированных значения неизвестной $x=1$ и $x\neq1$.

vxv в сообщении #1214686 писал(а):

Для справки: «Уравнение, которое кроме неизвестной величины содержит также другую дополнительную величину, которая может принимать различные значения из некоторой области, называется параметрическим. Эта дополнительная величина называется параметр.»

[Someone]

vxv в сообщении #1218973 писал(а):

Есть два фиксированных значения неизвестной $x=1$ и $x\neq1$.

То есть, одно значение — это $x=1$, а другое — $x\neq 1$? И оба совершенно "фиксированные".

Это шедевр.

vxv в сообщении #1218973 писал(а):

Для справки:

Спасибо, мы знаем, что такое уравнение или неравенство с параметром.

[vxv]

Вообще-то, мой ответ предназначался другому. Это ему не понятна логика, в отличие от Вас). Про фиксированные значения $x$ здесь в теме уже сообщалось, но никто не обрадовался так, как Вы. Например, было вот здесь:

vxv в сообщении #1173954 писал(а):

То есть во втором случае, в отличие от изначально принятого предположения, точки графиков $Y=3(c+2x)(ab-2xc)$ и $Y=(2x)^3$ при фиксированных значениях $x_1$ и $x$ попарно не совпадают, когда $a,b,c,x$ - натуральные числа.
То есть
$c^3>(a^3+b^3)$,
$ a^{3}+b^{3} \neq c^{3} $.

-- 27.05.2017, 08:47 --

vasili в сообщении #1218762 писал(а):

Доказывая от противного, т.е допуская существования натуральных чисел $a, b, c$, удовлетворяющих равенству $a^3 + b^3 = c^3$

vasili
Точнее так, я допускаю равенство $a^3 + b^3 = c^3$, для безусловно натуральных $a,b,c$.

-- 27.05.2017, 08:49 --

[Someone]

vxv в сообщении #1219041 писал(а):

То есть во втором случае, в отличие от изначально принятого предположения, точки графиков $Y=3(c+2x)(ab-2xc)$ и $Y=(2x)^3$ при фиксированных значениях $x_1$ и $x$ попарно не совпадают, когда $a,b,c,x$ - натуральные числа.

А с какого бодуна они должны совпадать? Если Вы утверждаете, что должны — докажите.

vxv в сообщении #1173954 писал(а):

И это не обман, а следствие принятого (способом от противного) допущения, что выражения:
$3(c+2x)(ab-2xc)=(2x)^3$ (5)
$3(c_1+2)(a_1 b_1 - 2 c_1)=2^3$ (6)
- верные равенства.

Ага, если не обман, то полная глупость. Если $a_1$, $b_1$, $c_1$, как Вы утверждаете, — целые числа, то равенство (6) никак не может быть верным, потому что левая часть его делится на $3$, а правая — не делится, потому что $2^3=8$. Вы хотите сказать, что $8$ делится на $3$?

[Лукомор]

vxv в сообщении #1165436 писал(а):

Между (5) и (6) линейная зависимость.

Не могу понять, что такое ваша "линейная зависимость".
Если не трудно, покажите эту линейную зависимость на примере для $n=2$:

Цитата:

$2\cdot 7\cdot 24 - 2\cdot 25\cdot 6=6^2$

$2\cdot 5\cdot 12 - 2\cdot 13\cdot 4=4^2$
и
$2\cdot 3\cdot 4 - 2\cdot 5\cdot 2 =2^2$

Между какими элементами можно сопоставить эту линейную зависимость...

[Someone]

Лукомор в сообщении #1219062 писал(а):

Не могу понять, что такое ваша "линейная зависимость".

Я тоже не могу понять, но есть страшное подозрение на этот счёт, основанное на следующем высказывании:

vxv в сообщении #1217967 писал(а):

И еще, я знаю, что такое линейная зависимость (и как выглядит кубическая парабола тоже). Но, если у Вас есть более подходящее определение того, как еще короче связать две гипотетические точки $Y_x$ (5) и $Y_1$ (6) вместо отрезка прямой, милости просим.

Видимо, речь идёт о том, что уравнения (5) и (6) соединены отрезком прямой. Хотя…

vxv в сообщении #1218518 писал(а):

Я не отрицаю пропорциональность.

Но пусть он нам на вашем примере продемонстрирует свою "линейную зависимость".

[vxv]

Лукомор в сообщении #1219062 писал(а):

Не могу понять, что такое ваша "линейная зависимость".
Если не трудно, покажите эту линейную зависимость на примере для $n=2$:

К сожалению, ничем помочь не смогу. Приведенный мною способ решения Теоремы Ферма не доказывает однозначно наличие или отсутствие натуральных решений для $a^2+b^2=c^2$. Показано лишь то, что такие решения могут быть.
Но зато могу заметить (да Вы это и сами знаете):
Все ваши и другие "неудобные подборы" натуральных чисел в $2(ab-2xc)=(2x)^2$ (5), применительно к степени $n=2$, для любых $x>1$ всегда можно заменить (для соблюдения необходимой размерности и не нарушая при этом равенства) так же, как, например, сочетание 20,21,29,2х $(x=6)$ заменяется на сочетание 18,24,30,2x, то есть представить ваши числа в виде $(3x,4x,5x,2x)$.

[Someone]

vxv в сообщении #1219165 писал(а):

К сожалению, ничем помочь не смогу.

Всё ясно. Нет там никакой "линейной зависимости", одни смутные фантазии. Ни на один вопрос пациент внятно ответить не может. Больше обсуждать нечего.

[Лукомор]

vxv в сообщении #1219165 писал(а):

Приведенный мною способ решения Теоремы Ферма не доказывает однозначно наличие или отсутствие натуральных решений для $a^2+b^2=c^2$.

Давайте обобщим это Ваше, несомненно верное, утверждение, на случай любых натуральных $n$, например, вот так:
"Приведенный vxv способ решения Теоремы Ферма не доказывает однозначно наличие или отсутствие натуральных
решений для $a^n+b^n=c^n$".
Идёт?!

-- Сб май 27, 2017 19:10:22 --

vxv в сообщении #1219165 писал(а):

Но зато могу заметить (да Вы это и сами знаете):

Заметить и я много чего могу...
Например то, что для второй степени равенство $a^2+b^2=c^2$ выполняется и тогда, когда равенство
$(a+b)^2=(c+m)^2$ выполняется, а равенство $a+b=c+m$ не выполняется, и вообще, когда $m$ является целым, но не является натуральным.
Например, при
$a=3$, $b=4$, $c=5$, $m=-12$
имеем:
$a^2+b^2=c^2$
$a+b=7$, $c+m=-7$.
$a+b\ne c+m$,
но:
$(a+b)^2=(c+m)^2$
Такое может быть и для более высоких степеней, например, для четвертой. Вы же, в своем доказательстве, рассматриваете только натуральные $m$.