Доказательство теоремы Ферма для степени $n=3$

[vxv]

Someone в сообщении #1216522 писал(а):

А где в вашем доказательстве используется то, что степень больше $2$? Подчёркиваю: именно используется, а не упоминается.

Someone!
Вот еще. Когда используются (если необходимо) нечетные коэффициенты из треугольника Паскаля для выявления неравенств, путем сравнения их левой и правой частей на соответствие множителей, при обоснования доказательства теоремы Ферма для нечетных степеней $n=3,5,7,11,…$ и степеней кратным им, поскольку натуральное составное число $m^n=2^n$ для таких степеней не имеет в своем составе нечетных множителей (используется наряду с простой подстановкой числовых значений, где она допустима и достаточна).

Для степени $n=4$ (и степеней кратным четырем) из параметрического уравнения $c^4-(a^4+b^4)=2(ab-2xc)(ab+2xc)-2^4x^4$ следует, что при $x=1$ выражение $2(ab-2c)(ab+2c)=2^4$, также, как и для степени $n=3$, не является верным равенством ни для каких натуральных значений параметров $a,b,c$ (что определяется простой подстановкой минимальных значений натуральных $a,b,c$).
Известно: чтобы доказать теорему, достаточно доказать ее для $n=4$ и всех простых нечетных значений $n$, т.к. они образуют все остальные показатели степеней. topic75889.html

[Someone]

Меня не интересуют нечётные коэффициенты.

Someone в сообщении #1216522 писал(а):

А где в вашем доказательстве используется то, что степень больше $2$? Подчёркиваю: именно используется, а не упоминается.

[vxv]

Лукомор в сообщении #1216528 писал(а):

Нигде не обосновано, начиная с какого значения $n$ эта система будет иметь какое-то отношение к теореме Ферма...

vxv в сообщении #1215960 писал(а):

$2(a_1 b_1 - 2 c_1)=2^2$ (6) – наименьший квадрат.
(6) может быть равенством, поскольку выражение $ab-mc$ четное и допускает значение $ab-mc=2$ для $x=1$.
Т.е. $a^2+b^2=c^2$ (1) – тоже может быть равенством (в отличие от $ a^{3}+b^{3} \neq c^{3} $).

Лукомор
В чем недостаток такого обоснования?

[Лукомор]

vxv в сообщении #1216920 писал(а):

В чем недостаток такого обоснования?

Обоснования чего?!
Вы лучше скажите откуда в первом сообщении темы взялось вот это?!

vxv в сообщении #1165436 писал(а):

$c^3-(a^3+b^3)=3(c+2x)(ab-2xc)-(2x)^3$ (4)

[vxv]

одно из другого:
$a^3+b^3-c^3=0 \Rightarrow a^3+b^3=c^3 \Rightarrow a+b=c+m \Rightarrow \begin{cases} a^3+b^3=c^3\\a+b=c+m\end{cases} \Rightarrow m=2x \Rightarrow a+b=c+2x \Rightarrow \begin{cases}a^3+b^3=c^3\\a+b=c+2x\end{cases} \Rightarrow c^3-(a^3+b^3)=3(c+2x)(ab-2xc)-2^3x^3$

Лукомор в сообщении #1216959 писал(а):

Обоснования чего?!

[quote="Лукомор в сообщении #1216528 писал(а):
Нигде не обосновано, начиная с какого значения $n$ эта система будет иметь какое-то отношение к теореме Ферма...
[/quote]
Огласите весь список "претензий" в одном сообщении, чтобы нам не забалтывать тему...

-- 17.05.2017, 18:04 --

[Лукомор]

vxv в сообщении #1216984 писал(а):

Огласите весь список "претензий" в одном сообщении, чтобы нам не забалтывать тему...

Да какой там список...
Вот, например, почему не подходит $x=3$ в качестве минимального значения $x$?

[vxv]

Лукомор в сообщении #1216990 писал(а):

Да какой там список...
Вот, например, почему не подходит $x=3$ в качестве минимального значения $x$?

Вот, чтобы не задаваться таким вопросом и не гадать (сначала для третьей степени, а затем: четвертой, пятой и далее), я и решил унифицировать процесс и проверить наличие натуральных решений одновременно для двух значений неизвестной, а именно для $x=1$ и $x>1$, чтобы ничего не пропустить (еще и графически удобно представлять). Что запрещает мне это сделать?
Да и вступать в навязываемые мне рассуждения про свойства и связи элементов пустых множеств лишний раз не стоит (чтобы не провоцировать вульгарную публику и пр.), потому что всегда можно (при желании) все такие рассуждения (даже самые изощренные) объявить бредом (кстати, обоюдно).
Уже было:
«Требование четности $m$, $m>2$, множителя $3$ или $6$ для правой части следует само собой из состава «уравнения» (5), но только, если (5) верное равенство, что не факт, поскольку имеет место всего лишь допущение знака равенства. Для фактического неравенства это требование ничтожно.»

[Someone]

vxv в сообщении #1215931 писал(а):

P.S. Кстати, последнее утверждение снимает вопрос о возможности «подборов» $a,b,c$, не связанных коэффициентом пропорциональности с $a_1,b_1,c_1$, из той же области определения ($2x<a<b<c$)
Поэтому же для доказательства теоремы Ферма для $n=3$ нам достаточно убедиться в наличии или отсутствии натуральных решений $a_1,b_1,c_1$ в системе:
$\begin{cases}a^3+b^3=c^3\\a+b=c+2\end{cases}$,
а для других степеней $n>2$ :
$\begin{cases}a^n+b^n=c^n\\a+b=c+2\end{cases}$

Это чушь.
Во-первых, Для $n=1$ это утверждение неверно, и из ваших рассуждений совершенно не видно, в каком место Вы действительно используете то, что $n>2$. А отвечать на этот вопрос Вы отказываетесь.
Во вторых, можно доказать, что в любом решении уравнения $a^3+b^3=c^3$ в натуральных числах одно из чисел $a$, $b$, $c$ делится на $9$, причём, число $m=2x=a+b-c$ тоже делится на $9$. Поэтому рассматривать $x=1$ не имеет смысла: в уравнении $a+b-c=2x$ число $x$ должно делиться на $9$.
В третьих, я, в общем-то, догадался в конце концов, что у Вас $a_1=\frac ax$, $b_1=\frac bx$, $c_1=\frac cx$ (Почему Вы об этом не написали сами, хотя shwedka настойчиво Вас об этом спрашивала?), но Вы не представили доказательства того, что числа $a_1$, $b_1$, $c_1$ — целые. Поскольку числа $a$, $b$, $c$ можно считать взаимно простыми, так как на общий множитель их всегда можно сократить, то разделить их ни на какой $x>1$ заведомо невозможно.

Я просмотрел всю тему заново. Вы не ответили вразумительно ни на один заданный Вам вопрос. И свои рассуждения излагаете столь невнятно, что приходится гадать, что Вы имеете в виду.

vxv в сообщении #1217073 писал(а):

Вот, чтобы не задаваться таким вопросом и не гадать (сначала для третьей степени, а затем: четвертой, пятой и далее), я и решил унифицировать процесс и проверить наличие натуральных решений одновременно для двух значений неизвестной, а именно для $x=1$ и $x>1$, чтобы ничего не пропустить (еще и графически удобно представлять). Что запрещает мне это сделать?

Ничто не запрещает (с указанной выше поправкой), но проверку Вы не представили.

[Лукомор]

vxv в сообщении #1217073 писал(а):

«Требование четности $m$, $m>2$, множителя $3$ или $6$ для правой части следует само собой из состава «уравнения» (5), но только, если (5) верное равенство, что не факт, поскольку имеет место всего лишь допущение знака равенства. Для фактического неравенства это требование ничтожно.

Осталось совсем чуть-чуть:
Доказать, что уравнение $a^n+b^n=c^n$ не имеет решений в целых числах при $n>2$.
Если Вам удастся это доказать, то, разумеется, все Ваши утверждения, которые являются следствиями из этой теоремы, будут верными...

[vxv]

Есть проблема (не моя) в непонимании того, что значения параметров $a,b,c$ и при $x=1$, и при $x>1$ не могут быть не натуральными, из-за выбранного построения алгоритма доказательства.
Поясню.
Есть два взаимоисключающих варианта построения алгоритма доказательства теоремы Ферма:
Первый, это когда изначально назначаем «незыблемым» (безусловно верным) уравнение $a^3+b^3=c^3$ и тогда в доказательстве оперируем понятиями «натуральные – ненатуральные» числа (т.е. отрицательными, рациональными, иррациональными и т.д. тоже).
Второй (выбран мною), это когда все величины изначально рассматриваются безусловно натуральными, и тогда оперируем в поисках противоречий, применительно к гипотетическому равенству $a^3+b^3=c^3$, только понятиями «равенство – неравенство».
Эти варианты построения доказательства нельзя смешивать между собой.
Уже писал про это раньше и вполне внятно:
«Чтобы доказать ТФ для степени $n=3$, было бы достаточно явно показать путем эквивалентных преобразований, что имеет место неравенство $ a^{3}+b^{3} \neq c^{3} $ для любых натуральных $a,b,c$. В противном случае уравнение $a^3+b^3=c^3$ - всегда имеет решение для натуральных $a,b$, если $c$ и, следовательно $m=2х$, не ограничены рамками ОДЗ – натуральный ряд.»

P.S. С большим уважением отношусь к хорошим специалистам. И не сомневаюсь, что они абсолютно «в теме». Но всегда находятся люди, кто искренне считает чушью, все что выходит за рамки их собственного понимания.

[Лукомор]

vxv в сообщении #1217539 писал(а):

Уже писал про это раньше и вполне внятно

А где можно прочитать внятное изложение?!
Поскольку вот это совершенно невнятно:

vxv в сообщении #1217539 писал(а):

«Чтобы доказать ТФ для степени $n=3$, было бы достаточно явно показать путем эквивалентных преобразований, что имеет место неравенство $ a^{3}+b^{3} \neq c^{3} $ для любых натуральных $a,b,c$. В противном случае уравнение $a^3+b^3=c^3$ - всегда имеет решение для натуральных $a,b$, если $c$ и, следовательно $m=2x$, не ограничены рамками ОДЗ – натуральный ряд.»

[Someone]

vxv в сообщении #1217539 писал(а):

Есть проблема (не моя) в непонимании того, что значения параметров $a,b,c$ и при $x=1$, и при $x>1$ не могут быть не натуральными, из-за выбранного построения алгоритма доказательства.

Проблема не в $a$, $b$, $c$, которые с самого начала предполагаются целыми, а в $a_1$, $b_1$, $c_1$, которые получаются делением на $x$. Они-то почему целые? Неужто только потому, что Вы выбрали такой "алгоритм" доказательства? То есть, если одно из чисел $a$, $b$, $c$ равно, например, $217$, то частное $\frac{217}9$ является целым потому, что Вы рассматриваете только целые числа???

vxv в сообщении #1165436 писал(а):

$3(c+2x)(ab-2xc)=(2x)^3$ (5)
$3(c_1+2)(a_1 b_1 - 2 c_1)=2^3$ (6) – наименьший куб ($x=1$).
Между (5) и (6) линейная зависимость.

Вы ведь получили (6) из (5) делением на $x^3$. Верно? Иначе к чему тут слова "линейная зависимость"? Пусть даже Вы и не знаете, что эти слова означают на самом деле, у Вас же речь идёт о том, что одно уравнение получается из другого умножением или делением на что-нибудь.

vxv в сообщении #1217539 писал(а):

Есть два взаимоисключающих варианта построения алгоритма доказательства теоремы Ферма:
Первый, это когда изначально назначаем «незыблемым» (безусловно верным) уравнение $a^3+b^3=c^3$ и тогда в доказательстве оперируем понятиями «натуральные – ненатуральные» числа (т.е. отрицательными, рациональными, иррациональными и т.д. тоже).
Второй (выбран мною), это когда все величины изначально рассматриваются безусловно натуральными, и тогда оперируем в поисках противоречий, применительно к гипотетическому равенству $a^3+b^3=c^3$, только понятиями «равенство – неравенство».
Эти варианты построения доказательства нельзя смешивать между собой.

Что-то невнятное. Что значит "назначаем «незыблемым»"? Вы имеете в виду доказательство от противного? "Предположим, что для некоторых натуральных чисел $a$, $b$, $c$ выполняется равенство $a^3+b^3=c^3$. Тогда…"
Чем это отличается от второго подхода, в котором Вы тоже хотите из того же равенства вывести противоречие? Почему нельзя в рассуждениях использовать иногда целые числа, иногда рациональные, иногда, может быть, даже иррациональные или, о ужас, комплексные или вообще какие-нибудь $p$-адические?

vxv в сообщении #1217539 писал(а):

Но всегда находятся люди, кто искренне считает чушью, все что выходит за рамки их собственного понимания.

Уже обиделись? Не стоит. Написанное Вами — действительно совершенная ерунда. И за рамки моего понимания нисколько не выходит. Проблема же в том, что выражаетесь Вы очень невнятно.

А Вы в моём ответе всё поняли? Как там насчёт обоснования того, что $a_1=\frac ax$, $b_1=\frac bx$, $c_1=\frac cx$ — целые? Имея в виду, что $a$, $b$, $c$ являются попарно взаимно простыми, а наименьшее возможное значение $x=9$.

Да, кстати, очень рекомендую прочесть книгу М. М. Постникова "Введение в теорию алгебраических чисел". Она от начала до конца посвящена методам, использовавшимся при доказательстве теоремы Ферма, и в первом издании так и называлась: "Теорема Ферма". И не только прочесть, но и тщательно проштудировать.

[vxv]

Someone
Нет. В этой версии доказательства я ничего не получаю делением ни на $x$, ни на $x^3$.
Ваше желание следствие выдать за причину везде шито белыми нитками.

И еще, я знаю, что такое линейная зависимость (и как выглядит кубическая парабола тоже). Но, если у Вас есть более подходящее определение того, как еще короче связать две гипотетические точки $Y_x$ (5) и $Y_1$ (6) вместо отрезка прямой, милости просим.

[Someone]

vxv в сообщении #1217967 писал(а):

Нет. В этой версии доказательства я ничего не получаю делением ни на $x$, ни на $x^3$.
Ваше желание следствие выдать за причину везде шито белыми нитками.

Тогда точно объясните, откуда берётся равенство (6), и какое отношение $a_1$, $b_1$, $c_1$ имеют к равенству (5). Если Вы не предъявите однозначный вывод равенства (6) из равенства (5) и не докажете, что $a_1$, $b_1$, $c_1$ обязаны быть целыми, то никакого доказательства не будет. Вашего заявления, что Вы "выбрали такой алгоритм доказательства", недостаточно.

[Someone]

vxv в сообщении #1217967 писал(а):

И еще, я знаю, что такое линейная зависимость (и как выглядит кубическая парабола тоже). Но, если у Вас есть более подходящее определение того, как еще короче связать две гипотетические точки $Y_x$ (5) и $Y_1$ (6) вместо отрезка прямой, милости просим.

Линейная зависимость не означает никакой "связи точек отрезком прямой". Я воспринял вашу "линейную зависимость" как пропорциональность, но Вы такое толкование отрицаете. Сами же ничего внятно объяснить не можете.