Задачка про бесконечности и пределы

[Dmitriy00777]

Уважаемые математики, требуется ваше авторитетное мнение.
Нужен обоснованный ответ с выкладками.

Какого размера получится клубок из бесконечно длинной, но бесконечно тонкой веревки?

PS. Прошу не гневаться, если кому-то формулировка вопроса покажется бестолковой.

[kp9r4d]

Вопрос действительно плохо сформулирован. Если под "бесконечно длинной, бесконечно тонкой верёвкой" понимать $C^1$-кривую вложенную в $\mathbb{R}^3$ (без самоперечечений), а под "размером" понимать меру её носителя, то тривиально $0$; если разрешить $C^0$-кривые, то вроде $0$, но не тривиально; если разрешить $C^0$ и сампоересечения, то есть конструкции (space-filling curves), позволяющие получить любое число в промежутке $[0..\infty]$.

[Dmitriy00777]

kp9r4d

А если ее просто выпрямить?
Каков будет объем с бесконечно большой длиной и бесконечно малым радиусом?

Расписать решение можете? Пожалуйста. :)

[Mikhail_K]

Dmitriy00777 в сообщении #1218221 писал(а):

Расписать решение можете? Пожалуйста. :)

Расписывать решение на этом форуме запрещено правилами.
К тому же неясно, на каком уровне требуется обоснование. Из какого это вообще предмета, как в этом предмете определяется "размер" чего-либо.
Поэтому приведите собственные попытки решения, как это и требуется в правилах форума. (Хотя бы для случая "просто выпрямленной" верёвки для начала).

[kp9r4d]

Dmitriy00777 в сообщении #1218221 писал(а):

А если ее просто выпрямить?

Ну это и есть главный образ, который нужно держать в голове, в доказательстве для $C^1$-случая. $C^0$ уже нельзя "просто выпрямить".

Dmitriy00777 в сообщении #1218221 писал(а):

Расписать решение можете? Пожалуйста. :)

Я-то могу, но понимаете, если бы вы могли правильно сформулировать вопрос, то смогли бы и решение написать, потому что оно совсем тривиальное, а если не можете - то и решения не поймёте, поэтому непонятно зачем. Неужто в интернете кто-то не прав и нужно кому-то что-то доказать? ^^

[wrest]

Dmitriy00777 в сообщении #1218221 писал(а):

Каков будет объем с бесконечно большой длиной и бесконечно малым радиусом?

Очевидно, объем в кубических метрах будет равен $V=\pi r^2 l$ где $r$ - радиус веревки в метрах, $l$ - длина веревки метрах, $\pi \approx 3,14$
Подставляйте значения и получите ответ.

[Dmitriy00777]

Mikhail_K
Моя неуклюжая попытка... )
V=πh LimR LimR.
где h->∞ ; R->0
V=0
kp9r4d
Вы почти угадали.

[kp9r4d]

Dmitriy00777
Сейчас тему увезут за неправильное оформление формул. Пока не увезли - я замечу, что я ведь вам уже ответил, что ответ может быть разный, в зависимости от того, как понимать слово "верёвка", "размер" и прочее. И то же самое сказал Mikhail_K. Поэтому ваши попытки всё равно что-то доказать смотрятся довольно странно, даже не вникая в их содержание.

[Dmitriy00777]

kp9r4d
Виноват. Я не знаю пока, как правильно оформлять формулы.

Я хочу для начала простейшее решение.
Для первого случая.

Простой вариант цилиндрического тела, где длина стремится к бесконечности, а радиус к нулю.

[Mikhail_K]

wrest в сообщении #1218226 писал(а):

Очевидно, объем в кубических метрах будет равен $V=\pi r^2 l$ где $r$ - радиус веревки в метрах, $l$ - длина веревки метрах, $\pi \approx 3,14$
Подставляйте значения и получите ответ.

А предел не определён при $r\to 0$, $l\to +\infty$

Dmitriy00777 в сообщении #1218241 писал(а):

Я хочу для начала простейшее решение.

Скажите, слово "мера" Вам знакомо?
И повторяю вопрос: из какого предмета задание, кто его задал?
Это не праздный вопрос, от этого многое зависит.

[mihaild]

Предел, видимо, такой: $\lim\limits_{\substack{h\to \infty\\ R\to 0}} \pi h R^2$?
Тогда ответ - предела не существует.

[Dmitriy00777]

Mikhail_K ; mihaild
Задача из самой простой, профанской геометрии.

Я знаю, что такого предела не существует.
Тогда какой вывод? Поясните пожалуйста.

И разве нельзя подойти к решение через единичный отрезок?

PS. Люди, я же просил, не бить меня ногами.
Вы математики, а обычный технарь.
Мне известно, что ваши знания в этой области много больше моих. Поэтому и спрашиваю.
Будьте снисходительны.

-- 23.05.2017, 14:25 --

Можно еще представить поперечное сечение "клубка".
И рассматривать сумму площадей.
Или нельзя?

[kp9r4d]

В простой профанской геометрии клубки из бесконечно тонких верёвок не рассматриваются.

[wrest]

Mikhail_K в сообщении #1218243 писал(а):

А предел не определён при $r\to 0$, $l\to +\infty$

Ну так это зависит того как именно они стремятся, а об этом у ТС ничего не сказано.
Вдруг там $lr^2=const$, тогда всё определено.

[Dmitriy00777]

wrest
Пусть будет константа. Это подходит.
Каков будет результат?

-- 23.05.2017, 14:36 --

kp9r4d

Ну не совсем в профанской.
На уровне инженера-механика конструктора летательных аппаратов.