Задачка про бесконечности и пределы

[mihaild]

Dmitriy00777 в сообщении #1218247 писал(а):

Задача из самой простой, профанской геометрии.

Проблема в том, что понятия длины и объема - "сложные", и с ними не так-то просто работать строго (можете посмотреть 8 параграф у Шеня "О математической строгости и школьном курсе математики"). В некоторых простых случаях можно работать "на пальцах" и получать "правильные" (те же, что и при строгом рассуждении) ответы (неправильные ответы "на пальцах" получать тоже можно - и проблема в том, что без строгих рассуждений понять, когда ответ получается правильным, а когда нет, и почему - невозможно).
Но случай "бесконечной длины" и "бесконечно малой толщины" "простым" не является.

wrest в сообщении #1218249 писал(а):

Ну так это зависит того как именно они стремятся, а об этом у ТС ничего не сказано.

База $r \to 0, l \to \infty$ - вполне конкретная, существование предела по ней определяется однозначно. $r \to 0, l \to \infty, lr = c$ - уже другая база.

[miflin]

Dmitriy00777, рассмотрите для начала более наглядный случай, как мне кажется.
Имеется лента длиной $L$ и толщиной $H$, которую сворачивают в цилиндрический "клубок".
Его радиус - $R$ (ступенькой высотой в толщину ленты пренебрегаем).
Очевидно, что $\pi R^2=LH$ (равенство площадей).
А теперь стремите $L$ и $H$ к бесконечности и нулю соответственно
по каким-нибудь разным законам, выраженным через один и тот же параметр.

[wrest]

Dmitriy00777 в сообщении #1218250 писал(а):

Пусть будет константа. Это подходит.
Каков будет результат?

Если $lr^2=const$ то и результат (объем) будет эта константа умноженная на $\pi$ в соответствии с формулой $V=\pi lr^2$

[Mikhail_K]

Dmitriy00777 в сообщении #1218250 писал(а):

Пусть будет константа. Это подходит.

Понимаете, в чём дело: если $lr^2={\rm{const}}$, ответ будет один, а если $lr={\rm{const}}$ - то другой

Dmitriy00777 в сообщении #1218247 писал(а):

Задача из самой простой, профанской геометрии.

Я знаю, что такого предела не существует.
Тогда какой вывод? Поясните пожалуйста.

Вывод такой, что при разных строгих постановках задачи ответ будет разным.
В той нестрогой постановке, которая у Вас, задача однозначного ответа не имеет.

Более или менее "объективный" ответ на Ваш вопрос (да и то, скорее менее, чем более) - нулевой размер, но тогда и решение, и даже точная постановка задачи выходят далеко за рамки "обычной геометрии".

Dmitriy00777 в сообщении #1218250 писал(а):

На уровне инженера-механика конструктора летательных аппаратов.

Может быть, Вам смогут здесь помочь, если Вы подробно расскажете, где конкретно возникла такая задача.
В учебнике геометрии такая задача возникнуть не могла.

-- 23.05.2017, 15:43 --

Если же это просто возникший у кого-то из любопытства вопрос, то отвечать на него нужно так:
- Какого размера получится клубок из бесконечно длинной, но бесконечно тонкой веревки?
- А с чего вы решили, что к такому клубку вообще применимо понятие размера?
И попросить точно определить, что же такое "размер клубка".
И только после этого можно будет на вопрос ответить.

-- 23.05.2017, 15:48 --

Может, под "размером" спрашивающий понимает вообще не объём самого клубка, а, например, в шар какого минимального диаметра можно поместить клубок такого типа.
Тогда ответ будет: сколь угодно малый размер.
Бытовому понятию размера это соответствует ничуть не менее, чем мера.

[Dmitriy00777]

miflin в сообщении #1218263 писал(а):

Dmitriy00777, рассмотрите для начала более наглядный случай, как мне кажется.
Имеется лента длиной $L$ и толщиной $H$, которую сворачивают в цилиндрический "клубок".
Его радиус - $R$ (ступенькой высотой в толщину ленты пренебрегаем).
Очевидно, что $\pi R^2=LH$ (равенство площадей).
А теперь стремите $L$ и $H$ к бесконечности и нулю соответственно
по каким-нибудь разным законам, выраженным через один и тот же параметр.

Это примерно тоже самое, когда я предложил рассматривать поперечное сечение, как сумму площадей отдельных элементов, тогда мы уходим необходимости включать в решение длину.
Или я ошибаюсь?

-- 23.05.2017, 16:15 --

Mikhail_K
Задача возникла не из прикладной области.
Да. Это просто любопытство.
И цель здесь не поставить собеседника в тупик встречными вопросами

"Может, под "размером" спрашивающий понимает вообще не объём самого клубка, а, например, в шар какого минимального диаметра можно поместить клубок такого типа.
Тогда ответ будет: сколь угодно малый размер.
Бытовому понятию размера это соответствует ничуть не менее, чем мера."

Да. Эта постановка вопроса тоже подойдет.
Вы не могли бы как математик расписать это? Ну хоть конечное выражение...
Я вроде бы и сам это решил, но я еще не разобрался с движком форума. У меня пока не получается правильно писать формулы.

-- 23.05.2017, 16:20 --

mihaild в сообщении #1218252 писал(а):

Dmitriy00777 в сообщении #1218247 писал(а):

Задача из самой простой, профанской геометрии.

База $r \to 0, l \to \infty$ - вполне конкретная, существование предела по ней определяется однозначно.

А разве предел такого вида существует? Вы же сами писали...

[wrest]

Dmitriy00777 в сообщении #1218275 писал(а):

И цель здесь не поставить собеседника в тупик встречными вопросами

А можно тогда спросить у вас, что именно вы понимаете под "бесконечно длинной" и "бесконечно тонкой" веревкой? Что это по-вашему вообще значит?

[mihaild]

Dmitriy00777 в сообщении #1218275 писал(а):

А разве предел такого вида существует?

Предела функции $lr^2$ по этой базе не существует. И это однозначный ответ. Добавления "как именно что куда стремится" - уже другая задача.

Dmitriy00777 в сообщении #1218275 писал(а):

Вы не могли бы как математик расписать это? Ну хоть конечное выражение...

Видимо, имелось в виду что-то типа "существует кривая бесконечной длины, целиком вложенная в шар радиса $\varepsilon$".

[Dmitriy00777]

wrest
Радиус стремится к нулю, а длина к бесконечности.
Это разве не достаточные условия?

mihaild

Видимо, имелось в виду что-то типа "существует кривая бесконечной длины, целиком вложенная в шар радиса $\varepsilon$"
Нет. Мы тогда подменяем постановку задачи.

[mihaild]

Dmitriy00777 в сообщении #1218282 писал(а):

Радиус стремится к нулю, а для к бесконечности.

Так, давайте тогда еще раньше. Что вообще такое веревка данного радиуса данной длины? (и, если их куда-то устремлять, то как определяется предел на веревках?)

[Dmitriy00777]

mihaild в сообщении #1218284 писал(а):

Dmitriy00777 в сообщении #1218282 писал(а):

Радиус стремится к нулю, а для к бесконечности.

Так, давайте тогда еще раньше. Что вообще такое веревка данного радиуса данной длины? (и, если их куда-то устремлять, то как определяется предел на веревках?)

В моем понимании эта "веревка" - цилиндрическое тело.
С радиусом стремящимся к нулю, а длиной к бесконечности.
(я там опечатался, не "для", а "длина")
В математике такой объект рассматривать можно?

Более всего это походит на прямую. Ну или кривую (третьего порядка, если не ошибаюсь), как в условии задачи.

[mihaild]

Dmitriy00777 в сообщении #1218289 писал(а):

В моем понимании эта "веревка" - цилиндрическое тело.

Ну т.е. множество точек в $\mathbb{R}^3$, удовлетворяющих условию типа $x^2 + y^2 \leqslant R^2, 0 \leqslant z \leqslant l$?

Dmitriy00777 в сообщении #1218289 писал(а):

В математике такой объект рассматривать можно?

Нет, в математике нельзя рассматривать тело с параметрами куда-то там стремящимися. Можно рассматривать множество тел, и смотреть, что происходит с какими-то характеристиками в зависимости от того, что происходит с параметрами.

[wrest]

Dmitriy00777 в сообщении #1218282 писал(а):

Радиус стремится к нулю, а длина к бесконечности.

Ну вот я и спрашиваю что именно под этим понимаете вы. Что значит "стремится к нулю" или "стремится к бесконечности"? "Стремится" -- это глагол, то есть происходит какой-то процесс. Если бы например было "радиус равен нулю", тогда все ясно -- радиус имеет конкретную характеристику. А если "стремится" -- то что это /в вашем понимании/ значит?
Вы задали вопрос во вроде как "общепринятой" терминологии, возможно просто не понимая значения этой терминологии.

-- 23.05.2017, 17:26 --

Dmitriy00777 в сообщении #1218289 писал(а):

Более всего это походит на прямую.

"Толщина" прямой, кривой, ломаной и других линий равна нулю, а не "стремится" к ней!

[Toucan]

Dmitriy00777 в сообщении #1218282 писал(а):

Видимо, имелось в виду что-то типа "существует кривая бесконечной длины, целиком вложенная в шар радиса $\varepsilon$"
Нет. Мы тогда подменяем постановку задачи.

Dmitriy00777, устное замечание за неправильное цитирование.
Для того чтобы процитировать фрагмент сообщения, выделите его мышкой и нажмите кнопку "Вставка" в цитируемом сообщении.

[Dmitriy00777]

Toucan в сообщении #1218302 писал(а):

Dmitriy00777 в сообщении #1218282 писал(а):

Видимо, имелось в виду что-то типа "существует кривая бесконечной длины, целиком вложенная в шар радиса $\varepsilon$"
Нет. Мы тогда подменяем постановку задачи.

Dmitriy00777, устное замечание за неправильное цитирование.
Для того чтобы процитировать фрагмент сообщения, выделите его мышкой и нажмите кнопку "Вставка" в цитируемом сообщении.

Извините. Я проглядел.
Зрение подводит.
И я новичок на форуме...

-- 23.05.2017, 18:29 --

mihaild в сообщении #1218293 писал(а):

Dmitriy00777 в сообщении #1218289 писал(а):

В моем понимании эта "веревка" - цилиндрическое тело.

Ну т.е. множество точек в $\mathbb{R}^3$, удовлетворяющих условию типа $x^2 + y^2 \leqslant R^2, 0 \leqslant z \leqslant l$?

Dmitriy00777 в сообщении #1218289 писал(а):

В математике такой объект рассматривать можно?

Нет, в математике нельзя рассматривать тело с параметрами куда-то там стремящимися. Можно рассматривать множество тел, и смотреть, что происходит с какими-то характеристиками в зависимости от того, что происходит с параметрами.

Я не понял второе выражение. Это специальные символы, а я не математик. Не специалист...
Буду признателен если вы их "расшифруете".

Можно ли рассматривать в математике бесконечно малые и бесконечно большие величины?

-- 23.05.2017, 18:34 --

wrest

wrest в сообщении #1218297 писал(а):

Ну вот я и спрашиваю что именно под этим понимаете вы. Что значит "стремится к нулю" или "стремится к бесконечности"? "Стремится" -- это глагол, то есть происходит какой-то процесс. Если бы например было "радиус равен нулю", тогда все ясно -- радиус имеет конкретную характеристику. А если "стремится" -- то что это /в вашем понимании/ значит?
Вы задали вопрос во вроде как "общепринятой" терминологии, возможно просто не понимая значения этой терминологии.

Я просто рассматриваю бесконечно малую и бесконечно большую величину.
Ну вот же...
https://ru.wikipedia.org/wiki/Бесконечно_малая_и_бесконечно_большая

wrest в сообщении #1218297 писал(а):

"Толщина" прямой, кривой, ломаной и других линий равна нулю, а не "стремится" к ней!

Знаю.
Я же написал "это ПОХОДИТ на прямую".
Не судите строго.

[Mikhail_K]

Dmitriy00777 в сообщении #1218307 писал(а):

Я не понял второе выражение. Это специальные символы, а я не математик. Не специалист...

Второе выражение - это $x^2 + y^2 \leqslant R^2, 0 \leqslant z \leqslant l$?
И при этом первое ($\mathbb{R}^3$) понятно?
Вообще, не ясно, зачем Вам нужен "обоснованный ответ с выкладками", если Вы всё равно не способны эти выкладки понять. Объяснять, что такое $x^2 + y^2 \leqslant R^2$, здесь вряд ли кто-то будет. Максимум отошлют к школьному учебнику геометрии.

Dmitriy00777 в сообщении #1218307 писал(а):

Можно ли рассматривать в математике бесконечно малые и бесконечно большие величины?

Можно, но в специальном смысле, далёком от интуитивного.

Dmitriy00777 в сообщении #1218307 писал(а):

Ну вот же... https://ru.wikipedia.org/wiki/ Бесконечно_малая_и_бесконечно_большая

Dmitriy00777 в сообщении #1218307 писал(а):

Знаю.
Я же написал "это ПОХОДИТ на прямую".

Кое-что проясняется. Теперь ответ на Ваш вопрос будет не $0$ (как в случае, если бы мы понимали точное равенство толщины нулю и длины бесконечности и использовали бы понятие меры), а "какой угодно (предельный) объём". Какой именно - зависит от того, какую конкретно "бесконечно малую" величину Вы возьмёте в качестве радиуса и какую именно "бесконечно большую" в качестве длины.
См. теорию пределов теперь. Опять же школьный учебник по алгебре и началам анализа или начало любого вузовского учебника по мат.анализу.