Как Вы читаете линейную алгебру?

[Z1X]

Подозреваю, тут действует некое неписаное соглашение, что кванторы в логике первого порядка бывают всего двух видов: всеобщности и существования. А вы где-то встречали в литературе, чтобы $\nexists$ тоже именовался квантором?

[ewert]

Я, пожалуй, добавлю. Хотя и далеко не спец в матлогике. Помимо соображений оккамистости: если кванторов всего два, то есть вполне жёсткое и при этом очень простое правило составления отрицаний. А если ввести их больше -- всё начнёт расплываться.

[arseniiv]

Z1X в сообщении #1217389 писал(а):

Подозреваю, тут действует некое неписаное соглашение, что кванторы в логике первого порядка бывают всего двух видов: всеобщности и существования.

Но их можно оба выразить через лишь один из них в классической логике. Формулы со вторым будут синтаксическими сокращениями. Ладно там $\nexists$, есть куда более сложно переводящаяся конструкция $\exists! v.\,\varphi$, где как-то просто не понятно для чего было бы запрещать звать $\exists!$ квантором (единственности и существования — или ещё как). И можно определить всё так, чтобы формулы с ним не были сокращением — в исчисление добавить правил вывода, интерпретацию определить дополнительно.

Аналогичное можно сказать о логических связках. И не совсем ясно, зачем делать лишние различия не в контексте матлогики.

[Z1X]

arseniiv в сообщении #1217467 писал(а):

И не совсем ясно, зачем делать лишние различия не в контексте матлогики.

Мне тоже неясно. Я говорил об общепринятости: во всей литературе по матлогике кванторами называются только $\forall$, $\exists$ и больше ничего. Можно ли расширить это понятие? Ну, очевидно, что можно.

arseniiv в сообщении #1217467 писал(а):

звать $\exists!$ квантором (единственности и существования — или ещё как). И можно определить всё так, чтобы формулы с ним не были сокращением — в исчисление добавить правил вывода

Это очень интересный вопрос. Пусть у вас есть исчисление предикатов без равенства и вы хотите добавить в него все необходимые аксиомы, определяющие $\exists!$ (т.е. существование и единственность). Можно ли это сделать? Как это сделать? Мне пока в голову приходит только очевидная аксиома $\exists!x \ \varphi \rightarrow \exists x \ \varphi$. Что еще?

[Xaositect]

Z1X в сообщении #1217471 писал(а):

Это очень интересный вопрос. Пусть у вас есть исчисление предикатов без равенства и вы хотите добавить в него все необходимые аксиомы, определяющие $\exists!$ (т.е. существование и единственность). Можно ли это сделать? Как это сделать? Мне пока в голову приходит только очевидная аксиома $\exists!x \ \varphi \rightarrow \exists x \ \varphi$. Что еще?

Если понимать под равенством неразличимость свойств, то еще получится $\exists! x \varphi(x) \to \forall y z(\varphi(y) \operatorname\& \varphi(z) \operatorname\& \psi(y) \to \psi(z))$.

[arseniiv]

Жалко, правила введения $\exists!$ уже не получится.

[ewert]

Xaositect в сообщении #1217485 писал(а):

Если понимать под равенством неразличимость свойств, то еще получится $\exists! x \varphi(x) \to \forall y z(\varphi(y) \operatorname\& \varphi(z) \operatorname\& \psi(y) \to \psi(z))$.

Я процитировал только для того, чтоб проиллюстрировать, насколько далеко ушло обсуждение от исходной темы (её название там, вверху висит). Т.е. насколько именно далеко -- сказать трудно, но что в примерно противоположную сторону -- это точно.

[arseniiv]

Потому что кое-кто начал выше обсуждать, что является и не является квантором.

[ewert]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1217620 писал(а):

кое-кто

mea culpa, конечно, но я ведь и очень быстро отрубился. А вот кое-кто продолжил.

[Alexey Rodionov]

“ Бывает, что в учебниках (даже по такому классическому предмету, как линейная алгебра) рассматриваются вопросы, для которых читающий не может понять, для чего они нужны.”

Если не может, пусть чем-нибудь другим займется. Некоторые вот не понимают, для чего водка нужна. Извините, отвлекся.

Я читаю линейную алгебру, танцуя вокруг линейных преобразований. Потом они появятся в многомерном и функциональном анализе , в ТФКП и вообще почти везде. При этом настаиваю на том, что вектор и его координаты это не одно и тоже. Матрицы и линейные преобразования тоже не отождествляются. Если кто-то попытается умножить матрицу на вектор, группа подвергается десимации. В первой части курса слова “координаты” , “матрица”, “определитель” табуированы. Она посвящена вопросам существования. Вторая – вычислениям.
Содержание первой части:

Векторное пространство, подпространство, линейная оболочка, базис, размерность, суммы и прямые суммы подпространств.

Линейное преобразование, инъективное , сюръективное, образ, ядро, их размерности. Обратимые преобразования. Изоморфизмы. Изоморфизм пространств одинаковой размерности. Линейные операторы. Линейная алгебра с единицей.

Внутреннее произведение. Ортогональные базы. Ортогональные подпространства. Ортогональное дополнение. Проекции и наилучшее приближение.

Полиномы операторов. Аннулирующие полиномы. Минимальный полином. Собственные числа и векторы. Разложение пространства в прямую сумму инвариантных корневых. Характеристический полином.

Во второй части табу снимается и, вообще говоря, повторяется часть первая но уже с вычислениями.

Учебника, в смысле книги, которой я следую, у меня нет. Если посоветуете, буду признателен. Но чтобы без координат и матриц.

[Pphantom]

Alexey Rodionov, а кому (в смысле будущей специальности) Вы читаете линейную алгебру таким образом?

[Alexey Rodionov]

"будущей специальности"...
В группе объединены студенты принятые на специальности "математика" , "физика" и "астрономия". Могут встретиться инженеры уже прослушавшие "инженерную математику". Это они умножают матрицу на вектор. Бывали философы, которым увлекательно рассказали про смерть Геделя. Попадались химики. Они тихие. Но читаю я для себя.

[Mikhail_K]

Alexey Rodionov в сообщении #1272990 писал(а):

Но читаю я для себя.

Ага. Самый увлекательный собеседник на лекции - это доска.

[arseniiv]

Вообще немного нечестно по отношению к группе. Ну стали когда-то называть кто-то столбцы векторами — так теперь это широко разбрелось, и часто люди просто не знают лучшего; вместо

Alexey Rodionov в сообщении #1272957 писал(а):

десимации

можно было бы просто объяснить, что словоупотребление — на грани корректности, и почему. Всего раз за курс — а уж потом можно придираться всласть к тем, кто не слушал. Технически, столбцы ведь действительно являются векторами линейного пространства, состоящего из столбцов (а матрицы канонически соответствуют операторам на нём, так что почему бы как-нибудь после обеда не поумножать то и это пару раз?).

[Pphantom]

Alexey Rodionov в сообщении #1272990 писал(а):

В группе объединены студенты принятые на специальности "математика" , "физика" и "астрономия". Могут встретиться инженеры уже прослушавшие "инженерную математику". Это они умножают матрицу на вектор. Бывали философы, которым увлекательно рассказали про смерть Геделя. Попадались химики. Они тихие. Но читаю я для себя.

Тогда это печально (для всех, кроме, возможно, математиков и философов). Обычно даже среди очень сильных прикладников подобное построение курса вызывает в основном скуку и мысли о бессмысленности предмета изучения. Боюсь, что приобретенная способность саркастично улыбаться при обнаружении в очередной книге или статье "умножения матрицы на вектор" подобных жертв не стоит.