Ток в проводнике и Лоренцево сокращение

[Knight7]

Читаю "Электричество и Магнетизм" Парселла (§5.9 "Взаимодействие между движущимся зарядом и другими движущимися зарядами"). Там рассматривается следующая проблема. В лабораторной системе имеется бесконечно длинный провод состоящий из покоящихся (и фиксированных на своем месте) положительных зарядов (ионов) и движущихся вправо со скоростью $v_0$ отрицательных зарядов (электронов). Линейная плотность электронов и ионов совпадает по величине (т.е. провод нейтрален). Вдоль провода движется заряд $q$ со скоростью $v$ (в том же направлении, что и электроны). Далее Парселл показывает, что переходя в систему отсчета этого заряда линейная плотность электронов и ионов меняется и общая плотность зарядов в проводе перестает быть равной нулю - т.е. по наблюдениям в "системе частицы" провод заряжен (в нем имеется избыток положительных зарядов на единицу длины). Это происходит из-за того, что два распределения заряда испытывают лоренцевское сокращение разной величины. Таким образом объясняется (магнитная) сила действующая на движущийся заряд со стороны тока в системе отсчета связанной с самим зарядом. Тут все ясно.

Но давайте рассмотрим следующую проблему. Пусть электроны изначально находятся в покое и пусть их линейная плотность совпадает по величине с линейной плотностью ионов ($\lambda_0$), т.е. провод нейтрален. Теперь представим, что в какой-то момент включают электрическое поле в проводе, и это поле разгоняет электроны до определенной скорости $v_0$ после чего они продолжают двигаться равномерно с этой скоростью (все рассматривается в системе лаборатории). Но из тех же соображений следует, что линейная плотность электронов изменилась из-за приобретенной ими скорости - теперь она равна $-\gamma \lambda_0$ (хоть мы и не перешли в другую систему отсчета). Но поскольку плотность покоящихся ионов не изменилась (они неподвижны), то теперь общая линейная плотность зарядов равна $\lambda_0 (1-\gamma)\neq 0$. Таким образом теперь в проводе имеется избыток отрицательных зарядов и любой заряд, покоящийся возле провода должен ощутить электростатическую силу в системе лаборатории. Однако никакой силы не должно возникать. В чем здесь заключается ошибка?

[warlock66613]

Knight7 в сообщении #1216150 писал(а):

В чем здесь заключается ошибка?

Ошибка вот тут:

Knight7 в сообщении #1216150 писал(а):

из тех же соображений следует

На самом деле не следует, не проходят тут те же соображения (чтобы сказать конкретнее, нужно, естественно, эти соображения представить в развёрнутом виде).

[Knight7]

warlock66613 в сообщении #1216151 писал(а):

На самом деле не следует, не проходят тут те же соображения (чтобы сказать конкретнее нужно, естественно, эти соображения представить в развёрнутом виде).

Вы имеете в виду то, что в исходной задаче мы переходим из одной ИСО в другую, а в новой задаче никакого перехода нет? Я об этом думал. Но насколько я понимаю, наблюдатель в лаборатории все равно должен наблюдать Лоренцево сокращение ускоряющегося объекта (который изначально был в покое).

[Sergey Vergeles]

Давайте стартуем со следующих правильных утверждений:

1. Релятивистским инвариантом является величина $\rho/\gamma$, где $\rho$ -- плотность зарядов, а $\gamma$-фактор связан со скоростью движения системы зарядов как целое в данной системе координат.
2. Плотность определяется через положения точечных зарядов следующим образом:

$$ \rho(t,{\bm r}) = \sum_\alpha e_\alpha \delta^{(3)}({\bm r}-{\bm r}_\alpha(t)) $$

где ${\bm r}_\alpha(t)$ -- траектория заряда $e_\alpha$.

Из второго утверждения следует, что плотность заряда, связанного с электронами и ионами, равна и противоположна по знаку, даже если электронное облако движется относительно ионного остова.

Теперь что с переходом из одной системы координат в другую. Для электронов из Вашего второго абзаца $\gamma$-фактор равен 1 в системе координат, движущейся со скоростью $v_0$. Поэтому плотность электронов в этой движущейся системе равна $\rho_{0}/\gamma_0$, где $\rho_0$ -- плотность неподвижных ионов в лабораторной системе координат.

Как непосредственно посчитать плотность электронного заряда в движущейся системе координат ... может Вы сперва сами попробуете?

[Munin]

Разгонять электроны в проводе можно по-разному. Разными режимами, наложив разные условия. Так, что будут получаться разные результаты: и плотность $-\gamma\lambda_0,$ и плотность $-\lambda_0,$ и разные другие варианты (заранее заданная плотность, переменная по проводу плотность...).

Для этого надо уточнить, как именно происходит разгон. Очень подробно и дотошно. Ну а после этого не останется противоречий.

[Knight7]

Munin в сообщении #1216217 писал(а):

Разгонять электроны в проводе можно по-разному. Разными режимами, наложив разные условия. Так, что будут получаться разные результаты: и плотность $-\gamma\lambda_0,$ и плотность $-\lambda_0,$ и разные другие варианты

То есть провод действительно может стать заряженным в зависимости от способа разгона? Дело в том, что именно так изначально была сформулирована эта задача профессором:

Цитата:

Дан провод в котором покоятся ионы и электроны. Линейная плотность ионов $\lambda_0$; электронов $-\lambda_0$. В какой-то момент времени включают напряжение, после чего электроны движутся равномерно и прямолинейно по проводу со скоростью $\beta c$.

1. Чему равна линейная плотность зарядов в проводе до включения напряжения?
2. Чему равна линейная плотность зарядов после включения напряжения?
3. Чему равна сила действующая на пробный заряд находящийся на расстоянии $r$ от провода, после включения напряжения?

[warlock66613]

Knight7, ну вот и попробуйте решить эту задачу.

[Munin]

Knight7 в сообщении #1216230 писал(а):

Дело в том, что именно так изначально была сформулирована эта задача профессором:

Грамотный профессор сформулирует задачу правильно. Я вам не верю.

[Knight7]

warlock66613 в сообщении #1216293 писал(а):

Knight7, ну вот и попробуйте решить эту задачу.

Так собственно ее я и пытался решить. Только до сих пор не понятно почему "не проходят тут те же соображения".

Munin в сообщении #1216340 писал(а):

Грамотный профессор сформулирует задачу правильно. Я вам не верю.

Ну значит профессор неграмотный. Можете не верить.

[warlock66613]

Knight7 в сообщении #1216342 писал(а):

Так собственно ее я и пытался решить.

Я имею в виду решить в лоб. Ведь в задаче требуется по сути установить как будут двигаться электроны под действием приложенного поля, то есть воспользоваться вторым законом Ньютона (в релятивистском виде, конечно). Но тут-и то появляется проблема: из условия задачи неясно (ну, как минимум не вполне ясно) как именно изменяется электрическое поле: включается ли оно одновременно или распространяется с запаздыванием вдоль провода или как-то ещё.

-- 14.05.2017, 17:53 --

Knight7 в сообщении #1216342 писал(а):

Только до сих пор не понятно почему "не проходят тут те же соображения"..

Потому что рассуждения используют тот факт, что рассматриваемый в разных СО провод - один и тот же, из этого выводится связь. А тут мы имеем два разных провода, и то, что эти два провода - один и тот же провод в разные моменты своего существования, ничего нам не даёт: мы ведь не знаем, что с ним происходило в промежутке.

[Cos(x-pi/2)]

Уже даны очень хорошие ответы. Добавлю на всякий случай, раз уж напечатал:

(много букв о том же)

Knight7 в сообщении #1216342 писал(а):

Только до сих пор не понятно почему "не проходят тут те же соображения".

А чего же тут непонятного? Вот смотрите.

Сначала, до включения поля, электроны покоились (конечно, более строго речь дожна идти о равной нулю усреднённой скорости в расчёте на "среднестатистический" электрон, т.к. на самом деле каждый из электронов совершает какое-то своё хаотическое тепловое движение).

Затем, после включения источника в электрической цепи с данным проводом, на каждый из электронов принялась действовать ускоряющая сила из-за появившегося в проводе электрического поля $\vec{E}$ (а оно появилось потому, что из источника напряжения на поверхность провода со стороны "минуса" источника понабежало сколько-то лишних электронов, и со стороны "плюса" сколько-то электронов ушло в источник, так что вдоль провода на его поверхности появилось некоторое распределение поверхностного заряда).

Ускорившиеся электроны внутри провода стукаются о дефекты кристаллической решётки, возбуждают тепловые колебания ионов, и тем самым теряют набранную скорость - это принято называть "рассеянием" электронов. Рассеяние играет роль силы трения: оно не позволяет скорости электронов постоянно увеличиваться под действием поля. Чем больше в среднем набранная скорость, тем больше такое трение, и в итоге, через какое-то время, устанавливается самоподдерживающееся равновесие: сила поля в среднем точно компенсируется силой трения, а набранная электронами внутри провода скорость в среднем постоянна во времени, т.е. по проводу в дальнейшем течёт уже постоянный ток.

Детальная картина переходного режима (между включением источника и установлением стационарного режима) действительно может быть очень сложной; при резком включении и достаточно длинном проводе существенно запаздывание распространения электромагнитного поля, возникают отражения электромагнитной волны на изгибах провода и прочих неоднородностях цепи.

Но если не вдаваться в детали, в картину поверхностных зарядов, игнорировать неоднородности, и считать, что переходные процессы давно закончились, и что источник создаёт именно постоянное напряжение, то в некотором приближении можно сказать, что все электроны в проводе вели и продолжают вести себя "одинаково", как типичный "среднестатистический" электрон: одинаково ускоряются полем, одинаково рассеиваются, в среднем не приближаясь и не удаляясь друг от друга. В таком сценарии между электронами сохраняется в среднем то же самое расстояние, какое было до включения напряжения, хотя теперь электроны в среднем не покоятся, а одинаково движутся вдоль провода.

В указанном сценарии ответ: плотность электронов не поменялась. А "те же соображения" здесь очевидным образом ни при чём.

Провод с током и провод без тока это два разных состояния физического объекта, сменяющие друг друга из-за конкретных физических процессов в проводе (и картина таких процессов может быть разной в разных условиях), а не из-за того, что мы (наблюдатели) переходим в другую систему отсчёта. Мы никуда не переходим, всё рассматриваем в одной и той же системе отсчёта, поэтому преобразование Лоренца и множитель $\gamma$ тут "ни к селу, ни к городу".

Ещё замечание: на практике скорость течения электронов в любых реальных проводах с любым реальным постоянным током всегда ничтожно мала по сравнению со скоростью света, так что на практике нет необходимости рассматривать движение электронов в проводе с позиций релятивистской теории.

[Knight7]

Во-первых, спасибо за ответы.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1216393 писал(а):

Мы никуда не переходим, всё рассматриваем в одной и той же системе отсчёта, поэтому преобразование Лоренца и множитель $\gamma$ тут "ни к селу, ни к городу".

Я с вами согласен. Забудем про электроны. Тут скорее вопрос о самом Лоренцовом сокращении. Ведь в СТО оно действительно описывается для наблюдателей в разных ИСО и предполагается, что тело* не ускоряется во время измерения длин в системах отсчета. В данном случае эти требования не выполняются. Правильно ли я понимаю, что здесь никакого сокращения длин не будет, ибо электроны ускоряются? Иными словами, связывать собственные длины в СО электронов с длинами в ИСО лаборатории бессмысленно, поскольку СО электронов не инерциальна во время измерений?

* Тут еще надо уточнить о каком теле идет речь. Например здесь утверждают, что нужно учитывать то обстоятельство, что ряд электронов не является жестким объектом:

Цитата:

Если бы каждая пара электронов была разделена небольшим жестким стержнем, электроны бы сблизились.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1216393 писал(а):

Ещё замечание: на практике скорость течения электронов в любых реальных проводах с любым реальным постоянным током всегда ничтожно мала по сравнению со скоростью света, так что на практике нет необходимости рассматривать движение электронов в проводе с позиций релятивистской теории.

Парселл (и другие авторы) наоборот отмечает, что эти релятивистсике эффекты существенны несмотря на малую скорость дрейфа электронов в проводнике.

[Cos(x-pi/2)]

Knight7 в сообщении #1216425 писал(а):

релятивистсике эффекты существенны несмотря на малую скорость дрейфа электронов в проводнике.

Так это зависит от того, о каких эффектах речь. Конечно, появление магнитного поля вокруг проводника с током - важный и существенно релятивистский эффект. Магнитный вклад в силу Лоренца, действующую на заряд, движущийся в магнитном поле, - тоже важный существенно релятивистский эффект. Можно определить "существенно релятивистские" эффекты как такие эффекты, которые исчезают (формально), если в их математическом описании устремить (формально) константу $c,$ называемую "скоростью света", к бесконечности; в перечисленных двух примерах $c$ входит в знаменатель соответствующих формул в естественной системе единиц, так что и магнитное поле тока и магнитная часть силы Лоренца отсутствовали бы "в таком мире, где $c \to \infty

А, например, брать релятивистское выражение для импульса электрона $\vec{p}=m\vec{v} \gamma$ вместо нерелятивистского $\vec{p}=m\vec{v}$ при расчёте ускорения электрона из уравнения динамики $d\vec{p}/dt=\vec{F}$ совершенно не обязательно при тех ничтожных скоростях дрейфа электронов, которые реально возможны в проводах; вот это я имел ввиду.

Knight7 в сообщении #1216425 писал(а):

Забудем про электроны. Тут скорее вопрос о самом Лоренцовом сокращении. Ведь в СТО оно действительно описывается для наблюдателей в разных ИСО и предполагается, что тело* не ускоряется во время измерения длин в системах отсчета. В данном случае эти требования не выполняются. Правильно ли я понимаю, что здесь никакого сокращения длин не будет, ибо электроны ускоряются? Иными словами, связывать собственные длины в СО электронов с длинами в ИСО лаборатории бессмысленно, поскольку СО электронов не инерциальна во время измерений?

Так забудем про электроны или не забудем (что-то Вы меня запутали :-)?

Не важно, ускоряются или не ускоряются электроны, а важно все величины брать в одной и той же системе отсчёта и между ними устанавливать связь, а не прыгать в своих рассуждениях из одной системы отсчёта в другую. Раз нас интересует плотность электронов в ИСО лаборатории, то в этой ИСО мы и должны брать для расчёта все нужные величины (силы, скорости частиц, их ускорения, средние расстояния между частицами, и т.п.)

Поясню аналогией. Допустим, вам надо нарисовать портрет человека. И вот, Вы нарисуете ему нос из системы отсчёта "в фас", а ухо из системы отсчёта "в профиль", волосы из системы отсчёта "вид сверху", подбородок - из системы отсчёта "лёжа на полу". Хороший портрет получится?

Ну, и раз мы рассматриваем физические процессы в проводе по отношению к одной конкретной системе отсчёта (ИСО лаборатории), то "Лоренцево сокращение" - ни при чём. Лоренцево сокращение это ведь не какой-то физический процесс в проводе, а просто результат сравнения двух разных измерений, выполняемых по специальным правилам в двух разных ИСО. Нам подобные сравнения в данной задаче совершенно не нужны. Расстояния между электронами в проводе могут меняться (причём, и сокращаться и увеличиваться), но не "из-за Лоренцева сокращения", а только в результате действия конкретных сил, и конкретный результат зависит от конкретной картины сил (так что, он вовсе не обязан сводиться к "лоренцевскому фактору" $\gamma).$

Жёсткость тела, конечно, влияет на результат действия сил на тело. Может случиться так, что после того как на жёсткое тело закончили действовать ускоряющие его силы, то всё внутри тела отрелаксировало точно к прежнему состоянию, которое было до ускорения. Тогда в ИСО, движущейся вместе с этим телом, оно будет иметь все те же самые собственные характеристики, которые имело в исходной системе покоя до ускорения; и тогда по отношению к исходной ИСО длина этого движущегося тела будет "лоренцево сократившейся", по сравнению с его собственной длиной.

Но если тело мягкое, то после ускорения его конкретными силами, оно может оказаться конкретно деформированным - окажется удлинившимся или укоротившимся, и формула "лоренцева сокращения" тут ничего не определяет. Например, облако на небе: если нет ветра, то оно не движется, но форму свою и размеры всё время меняет; а если есть ветер, то оно движется и тоже как-то меняет свою форму. Ясно, что никакой "собственной длины" у такого облака нет, и формула "лоренцева сокращения" ничего нам не говорит о его размерах.

[Knight7]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1216447 писал(а):

Раз нас интересует плотность электронов в ИСО лаборатории, то в этой ИСО мы и должны брать для расчёта все нужные величины

Дело в том, что СО лаборатории совпадает с СО электронов до ускорения. А ведь нам нужно сравнить линейную плотность движущихся электронов с плотностью, когда они в покое. Проблема только в том, что СО электронов (где они покоятся) не инерциальна в процессе измерении длин.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1216447 писал(а):

Лоренцево сокращение это ведь не какой-то физический процесс в проводе, а просто результат сравнения двух разных измерений, выполняемых по специальным правилам в двух разных ИСО

Я понимаю о чем вы говорите. Но смотрите. Для наблюдателей в ИСО земли, ракета ускоряющаяся до релятивистских скоростей будет выглядеть короче. Это утверждение автоматически предполагает, что мы сравниваем собственную длину ракеты с ее длиной в ИСО земли, хоть это явно не указано. Также и здесь - да, мы все наблюдаем в ИСО лаборатории, но фактически сравниваем плотности в двух системах - в СО самих электронов и в ИСО лаборатории. Есть ли в моих рассуждениях ошибка?

Спасибо за ваши ответы.

[rustot]

Если у вас провод замкнут и в него не происходит дополнительный приток заряда извне при изменении тока, то плотности заряда нет никакой возможности измениться. Заряд тот же, объем проводника тот же, значит средняя плотность заряда какой была такой и остается. Максимум что он может перераспределиться по проводу, увеличив плотность заряда в одних его участках за счет уменьшения плотности на других его участках.