Просьба. Учебник по теории множеств.

[arseniiv]

Z1X в сообщении #1215608 писал(а):

Либо укажите явно, в чем моя неправота

В определении модели теории. Пусть у вас ZF(C) сформулирована в какой-то метатеории множеств X, её модель — это множество (с двуместным отношением) не этой ZF(C), а той X. И это множество вообще может быть множеством котят (если X говорит о множествах котят; вообще она не обязана говорить о всяких там множествах с элементами-множествами, хотя обычно X — это просто наивная (неформальная) теория множеств), главное чтобы аксиомы ZF(C) в применении к этим котятам и этому отношению выполнялись.

[kernel1983]

Vitte в сообщении #1215404 писал(а):

Вопрос не в разжигании войны противников и сторонников причисления ноля к натуральным числам. Мне, как человеку, начинающему изучение теории множеств было интересно, какие "математические последствия" в рамках данной дисциплины имеет утверждение, что $0 \in $$\mathbb{N}$

Наверное, начиная изучать теорию множеств, лучше не думать про обоснование арифметики.

[Z1X]

arseniiv в сообщении #1215615 писал(а):

Пусть у вас ZF(C) сформулирована в какой-то метатеории множеств X, её модель — это множество (с двуместным отношением) не этой ZF(C), а той X.

Не ZF(C) сформулирована, а модель построена в X; ZF(C) формулируется чисто синтаксически, независимо от семантики. Теперь если в X есть метамножество всех множеств ZF(C) и есть выделение, то элементарно строится парадокс Рассела.

[Xaositect]

Z1X в сообщении #1215704 писал(а):

Теперь если в X есть метамножество всех множеств ZF(C) и есть выделение, то элементарно строится парадокс Рассела.

Выделение-то в X есть, но выделенное множество $\{x \in V | x\notin x\}$ может не принадлежать модели $V$.

-- Чт май 11, 2017 11:13:23 --

Someone в сообщении #1215445 писал(а):

Xaositect в сообщении #1215439 писал(а):

Модель-класс и модель-множество это все-таки немного разные объекты.

В NBG класс — первичное понятие, чего уж его пугаться.

Все-таки модель, которая не доказывает непротиворечивость теории, для которой она построена, немного бесполезна.

[Z1X]

Ладно, все ясно. Правда на вашей стороне. Но все равно я себе с трудом представляю, как напрямую построить модель ZFC в виде модели-множества.

Xaositect в сообщении #1215707 писал(а):

Все-таки модель, которая не доказывает непротиворечивость теории, для которой она построена, немного бесполезна.

Строго говоря, не доказывает, а сводит к непротиворечивости метатеории, в данном случае — теории множеств. А следствие одной из теорем Геделя как раз о том, что достаточно богатая теория не может доказать собственную непротиворечивость. Теории множеств — достаточно богатые.

[george66]

Z1X в сообщении #1215712 писал(а):

Ладно, все ясно. Правда на вашей стороне. Но все равно я себе с трудом представляю, как напрямую построить модель ZFC в виде модели-множества.

Напрямую там ничего не строится, там всё неэффективно. На эту тему пишет Пётр Вопенка (сам крупный специалист по теории множеств): теория множеств приводит читателя в сказочный мир, где он встречает много фантастических существ. Именно за счёт своей фантастичности, пишет Вопенка, она вдохновила несколько поколений математиков. После чего излагает свою альтернативную теорию, сильней которой только харакири.
Безумие Петра Вопенки

[Someone]

Xaositect в сообщении #1215707 писал(а):

Все-таки модель, которая не доказывает непротиворечивость теории, для которой она построена, немного бесполезна.

Ну, такие "доказательства" всегда относительны. Если NBG непротиворечива, то моделью ZFC является класс $V$ всех множеств, и в нём аксиомы ZFC выполняются. Что Вам не нравится?

На всякий случай: я не специализировался в теории множеств или в математической логике, так что каких-то деталей могу и не знать.

Z1X в сообщении #1215704 писал(а):

Теперь если в X есть метамножество всех множеств ZF(C) и есть выделение, то элементарно строится парадокс Рассела.

Аксиома выделения в ZFC и аксиома выделения в X — это разные аксиомы, друг к другу никакого отношения не имеющие. А главное — метамножество всех множеств ZFC не является множеством всех множеств в самой ZFC, даже если вследствие какой-то причуды модели оно принадлежит этой модели. Один и тот же объект в ZFC и в X может играть совершенно разную роль.

[kp9r4d]

george66 в сообщении #1215714 писал(а):

Напрямую там ничего не строится, там всё неэффективно.

Есть конструктивный унивёрсум.

[Z1X]

Someone, а вот такой вопрос. В другой ветке вы пишете:

Someone в сообщении #1212679 писал(а):

Наличие аксиомы регулярности позволяет проводить доказательства по индукции такого рода: если 1) пустое множество обладает свойством $P$ и 2) из того, что все элементы некоторого множества $M$ обладают свойством $P$, следует, что и само множество $M$ обладает свойством $P$, то все множества обладают свойством $P$.

Очевидно, что это не теорема, это схема теорем, в которой $P$ — символ одноместного предиката. Схемы можно вывести только из схем, и одной лишь аксиомы регулярности будет для доказательства недостаточно. Схем в ZFC две: выделения с одноместным предикатом, и преобразования с двухместным. Как ими воспользоваться?

[Someone]

Z1X в сообщении #1215721 писал(а):

Схемы можно вывести только из схем

Не знаю, никогда в такие детали не вникал. При доказательстве несуществования бесконечной цепочки $x_1\ni x_2\ni x_3\ni\ldots$ используется аксиома подстановки. Построение бесконечной цепочки, исходя из предположения, что существует множество $x_1$, не обладающее свойством $P$, можно осуществить, используя определение по индукции. Вероятно, ещё аксиома выбора потребуется. Но у меня нет ни малейшего желания заниматься полной формализацией этого доказательства.

-- Чт май 11, 2017 15:40:50 --

kp9r4d в сообщении #1215717 писал(а):

george66 в сообщении #1215714 писал(а):

Напрямую там ничего не строится, там всё неэффективно.

Есть конструктивный унивёрсум.

Ну, там конструктивность понимается совершенно не так, как в конструктивизме. Это скорее не конструктивность, а определимость: сначала у нас ничего нет, а затем мы добавляем множества, которые можно определить, используя формулы теории множеств и ранее определённые множества.

[george66]

Как доказывается теорема о полноте? Например, построим счётную модель ZF. Множество выводимых формул ZF расширим до полного. Это значит, перебираем все замкнутые формулы по очереди и если формула не доказуема и не опровержима в ZF, добавляем её в качестве новой аксиомы. Конечно, проверять это эффективно никак невозможно. Получаем множество формул, которое для каждой формулы содержит или её, или её отрицание. Попутно для всякой доказуемой формулы вида $\exists x\varphi(x)$ добавляем новую константу и аксиому $\varphi(c)$. В результате получаем множество констант - модель и для каждой формулы знаем, истинна она или ложна на этой модели. Вот из таких результатов состоит теория моделей. Как писал Юрий Иванович Манин "тут мы подходим к трудному вопросу об отношениях математики с так называемой реальностью"

[arseniiv]

(Оффтоп)

Z1X в сообщении #1215704 писал(а):

Не ZF(C) сформулирована, а модель построена в X; ZF(C) формулируется чисто синтаксически, независимо от семантики.

А я не говорил ни про какую семантику. Языки первого порядка и выводимость формулируются в какой-то метатеории, наивной или нет — и, конечно, не обязательно это какая-нибудь теория множеств, но если мы в той же метатеории хотим сразу говорить и о моделях, может быть удобно взять её теорией множеств, чтобы не лепить из метатеорий башенки.

[Z1X]

Someone в сообщении #1215735 писал(а):

Ну, там конструктивность понимается совершенно не так, как в конструктивизме.

А как конструктивность вообще понимается в конструктивизме? Можете ли дать определение, что такое конструктивные утверждения, и как отличить их от неконструктивных?

[george66]

В конструктивизме существование должно быть эффективным. Если мы доказали формулу вида $\exists x\varphi(x)$, мы должны предъявить терм $t$ и доказать $\varphi(t)$. Для систем вроде ZF (где термов нет никаких, кроме переменных), можно переформулировать так: если доказуема формула $\exists x\varphi(x)$, то должна быть доказуема формула $\exists!x\psi(x)$ (существует ровно один) для некоторой формулы $\psi(x)$, более сильной, чем $\varphi(x)$

-- 11.05.2017, 21:30 --

Интуиционистская ZF без аксиомы выбора этим свойством обладает.

-- 11.05.2017, 21:31 --

Кажется, с аксиомой подстановки какие-то проблемы, но её можно переформулировать. А вот полная аксиома выбора нарушает эффективность.

[Z1X]

george66 в сообщении #1215822 писал(а):

Если мы доказали формулу вида $\exists x\varphi(x)$, мы должны предъявить терм $t$ и доказать $\varphi(t)$.

С этого момента можно подробнее? Как вы хотите предъявить терм? Переменная $x$ — это уже терм, но доказать $\varphi(x)$ с помощью $\exists x\varphi(x)$ в общем случае невозможно. В частном же случае, если у нас есть утверждение $\forall x\varphi(x)$, то из него следует и $\exists x\varphi(x)$, и $\varphi(x)$. Значит, вы считаете, что все утверждения, начинающиеся с квантора всеобщности, конструктивны?

george66 в сообщении #1215822 писал(а):

переформулировать так: если доказуема формула $\exists x\varphi(x)$, то должна быть доказуема формула $\exists!x\psi(x)$ (существует ровно один) для некоторой формулы $\psi(x)$, более сильной, чем $\varphi(x)$

Если формула $\psi(x)$ строго более сильная, чем $\varphi(x)$, то есть выполнено $\neg \forall x(\varphi(x) \rightarrow \psi(x)) \land \forall x(\psi(x) \rightarrow \varphi(x))$, и если вы вывели $\exists x\varphi(x)$, то формула $\exists!x\psi(x)$ вообще невыводима в непротиворечивой теории. Значит, вы считаете, что все утверждения теории множеств неконструктивны?