Как выбирать упражнения и оценивать свои знания

[Ivan_B]

Моя исходная задача - твердое понимание/владение тем набором знаний, которые должны быть у любого будущего математика к моменту, когда ему нужно выбрать свою специализацию. Поставил я ее себе после прочтения всех тем, которые можно объединить под общим названием "Как стать математиком". Вывод из прочитанного - это очень сложно, требует много времни и рецепта нет. Поймав себя на том, что я не понимал что такое дифференциал(что это за зверь такой "линейная часть приращения..."), решил начать с самого начала, так что сейчас занимаюсь изучением мат. анализа по Фихтенгольцу и Демидовичу. Есть опасения, что не ту книгу выбрал: некоторые пишут, мол, устарел Фихтенгольц, но Зорича читать мне было сложно. Все сводилось к тому, что читаю Зорича - непонятно, читаю тоже в Фихтенгольце - понятно, возврвщаюсь обратно - понятно, но читать две книги очень долго, и путается в голове что из чего получилось в одной и во второй книге. В конце концов забросил Зорича. Вот думаю, не пожалею ли я об этом. Основной вопрос - это как выбирать упражнения из Демидовича, как узнать, что пора переходить к следующей теме, как проверить, что все, что нужно, понял. Решая упражнения на нахождение пределов, я разобрался(как мне кажется) с тем что такое дифференциал, но это заняло очень много времени(было бы проще где-нибудь прочесть, но где?). Да и упражнения поощряли поиск приема, который сработает только в упражнениях определенного типа, а не понимание того, что такое дифференциал. Еще один вопрос - это нужно ли эти приемы знать/помнить. То, что мне просто необходимо знать сейчас - это как оценивать свои знания, чтобы понять что читать дальше и/или решать.

[Munin]

Я боюсь, вы не очень представляете себе  пропасть  дистанцию между "не понимать, что такое дифференциал" и "как стать математиком".

[kp9r4d]

Ivan_B в сообщении #1214664 писал(а):

Поймав себя на том, что я не понимал что такое дифференциал(что это за зверь такой "линейная часть приращения...")

Это не определение, а сорт оф эвристика. В Зориче определение дифференциала не такое, в Фихтенгольце, думаю, тоже. Если бы вы прочитали определение то, думаю, вам бы было легче.

Можете почитать ещё эту тему на MSE, ну и тут пару тем было, посмотрите в поиске.

Насчёт оценки знаний вопрос очень тонкий и меня самого волнует. Адекватно и самому - никак. Читайте как читается и делайте ставку на то, что поняли хоть что-то, мне кажется.

[Anton_Peplov]

Разница между двумя учебниками вот в чем. Фихтенгольц излагает матан максимально просто, не вводя понятий, которые для этого, по большому счету, не нужны. Поэтому у него получился легкий и понятный учебник. Зорич стремится вписать матан в широкий контекст, показать, что используемые там конструкции - частные случаи важных математических понятий (топологическое пространство, линейный оператор и т.д.). Поэтому у него получитлся трудный учебник, освоить который с нуля может лишь достаточно сильный читатель. Мое глубокое убеждение - с нуля нужно спокойно
проработать Фихтенгольца, а потом уже Зорича. Да, если лень прочесть две книги вместо одной - за изучение математики лучше вообще не браться.
Про дифференциал лучше создайте отдельную тему.

[Odysseus]

Я согласен с общими оценками от Anton_Peplov, но не думаю, что стоит прорабатывать всего Фихтенгольца целиком прежде чем переходить к Зоричу:
- Займет слишком много времени.
- Начиная с какого-то момента может быть скучновато и есть риск потерять мотивацию. Более современные концепции не только красивее, но и более вдохновляющие. Приятно и понятнее смотреть на разные вещи с общей точки зрения, а не передоказывать много раз одно и то же, но в разных видах и разных измерениях (например, формулы Ньютона-Лейбница, Грина, Стокса и Остроградского-Гаусса, узнав только значительно позже, что все они покрываются общей формулой Стокса). Это известный эффект: надо подняться на одну-две ступеньки на следующий уровень абстракции, чтобы лучше понять то, что было на более низком уровне. Это не значит, что надо всегда идти сразу на более высокий уровень, но и слишком долго задерживаться на нижних уровнях - тоже плохо.
- Зорич может быть менее понятен если начинать его с нуля, но после некоторого вникания "в тему", можно уже спокойно переходить к нему и проблем с пониманием больше быть не должно.

Ivan_B, я бы посоветовал такой путь (как, собственно, и я в свое время делал):
- Первые четыре главы по Фихтенгольцу, вплоть до начала функций многих переменных.
- После этого переключаться на Зорича как основной учебник (сначала одномерный анализ на более современном уровне, потом многомерный уже сразу по Зоричу), возможно иногда подсматривая в Фихтенгольца за дополнительными примерами и объяснениями. Например, если что-то не очень понятно в изложении интеграла по Зоричу, посмотрите соответствующие главы во втором томе Фихтенгольца.
- Параллельно с Фихтенгольцем и Зоричем, и до многомерного анализа, обязательно нормальный курс алгебры, включая линейную алгебру.
- Также параллельно будет полезен Зельдович, Яглом "Высшая математика для начинающих физиков и техников" для неформальных объяснений и дополнительных иллюстраций, включая примеры из физики.

И, да, без нескольких учебников по каждой теме не обойтись, поэтому придется побороть "читать две книги очень долго, и путается в голове что из чего получилось в одной и во второй книге". Если вы серьезно относитесь к занятиям математикой, то часто придется прорабатывать два, три или даже больше учебников по каждой теме. Понимать несколько вариантов доказательств и изложений как раз очень важно, поскольку позволяет посмотреть с разных сторон на вводимые понятия и благодаря этому лучше их усвоить (это еще один известный эффект в дополнение к тому, что лучше и понятнее становится видно "сверху" при переходе на следующий уровень абстракции).

Если при этом что-то путается - больше продумывайте новые понятия и теоремы сами (причем не только "за столом", например вы тратите какое-то время каждый день на дорогу? а это отличное место думать над тем, что изучили до этого), решайте задачи, рисуйте для себя картинки и схемы что и откуда следует и с чем связано (видели как детективы в кино рисуют на доске списки улик и подозреваемых?), составляйте резюме/конспекты пройденных разделов не подглядывая в учебники, пробуйте объяснять другим... Методов повышения эффективности обучения очень много. Постарайтесь в них тоже вникнуть и понять, что лучше подходит именно вам (и здесь, как и с учебниками, тоже надо будет сочетать несколько методов).

[ewert]

kp9r4d в сообщении #1214851 писал(а):

В Зориче определение дифференциала не такое, в Фихтенгольце, думаю, тоже.

Во всех них ровно это, и это одно и то же, и это именно стандарт.

И это -- физический стандарт: "в первом приближении всё в этой жизни линейно". Фихтенгольц это формулировал, возможно, несколько брутальнее. Но и Зорич, насколько помню, от этой традиции ни разу не отказывался. Просто приправлял её более новомодными словечками.

-- Пн май 08, 2017 01:35:22 --

Anton_Peplov в сообщении #1214879 писал(а):

Разница между двумя учебниками вот в чем. Фихтенгольц излагает матан максимально просто, не вводя понятий, которые для этого, по большому счету, не нужны. Поэтому у него получился легкий и понятный учебник. Зорич стремится вписать матан в широкий контекст, показать, что используемые там конструкции - частные случаи важных математических понятий (топологическое пространство, линейный оператор и т.д.).

Вы не учитываете всё же хронологию. Тут разница в десятилетия, притом далеко не в одно.

И есть сугубо методическая проблема: склонность математики развиваться к как можно большей абстрактности -- и альтернативная склонность прикладников предыдущую склонность игнорировать, ибо им жить нужно.

[kp9r4d]

ewert в сообщении #1214901 писал(а):

Во всех них ровно это, и это одно и то же, и это именно стандарт.

И это -- физический стандарт: "в первом приближении всё в этой жизни линейно". Фихтенгольц это формулировал, возможно, несколько брутальнее. Но и Зорич, насколько помню, от этой традиции ни разу не отказывался. Просто приправлял её более новомодными словечками.

Не знаю, для меня стандарт: "линейное отображение из касательного пространства точки в касательное пространство образа точки такое, что лучше всего приближает данное". Про "линейную часть приращения" я слышал только в школе и не понял тогда ничего абсолютно. Может это только у меня так и было.

[Ivan_B]

Munin в сообщении #1214843 писал(а):

Я боюсь, вы не очень представляете себе пропасть дистанцию между "не понимать, что такое дифференциал" и "как стать математиком".

Если подходить к вопросу формально, то все(в том числе теперешние математики) на определенном этапе этого не понимали. На то, чтобы стать математиком, я и не претендую, а вот пройти часть пути в этом направлении собираюсь(Да, если бы была возможность, я бы поступил на соответствующую специальность и все было бы проще) Когда я говорил о непонимании, то имел в виду непонимание в широком смысле. Это как с доказательством формулы по индукции: откуда она взялась - непонятно, да, ей можно пользоваться, но понимания нет. Таже история с определителем: дано определение, дальше идут простые рассуждения, которые описывают и доказывают свойства, и вот, пользуясь этими свойствами можно систему уравнений решить. Дальше идут упражнения: вычисляем определители. После этого все дружно говорят, что они поняли. С тем же успехом можно написать программу, которая определитель считает, а потом заявить, что компьютер "понимает" что такое определитель. Точно так же все "понимают" что такое число $e$. Я хочу сказать, что знание определения наизусть не дает понимания. Понимание же дает возможность сформулировать определение, когда есть понимание нет нужды помнить определение, его легко записать настолько строго, насколько это необходимо в данном конкретном случае.

Anton_Peplov в сообщении #1214879 писал(а):

Да, если лень прочесть две книги вместо одной - за изучение математики лучше вообще не браться.

Если бы у меня была великолепная память и бесконечное количество времени, я бы прочел и далеко не одну, чтобы ничего не упустить. Но... там огромный мир, там много красоты и хочется посмотреть как можно больше. Вывод: нужно поскорей двигаться вперед. Не сломя голову, чтобы на красоты посмотреть, но и не отвлекаясь детали, без которых можно обойтись. Об этом мой вопрос.

Anton_Peplov в сообщении #1214879 писал(а):

Про дифференциал лучше создайте отдельную тему.

Для самопроверки? Все что я смогу спросить - это правильно ли то, что я написал. Да и тем таких уже много. Кто-то даже писал, что, мол, вопросы про дифференциал уже оскомину набили.

Odysseus в сообщении #1214892 писал(а):

Я согласен с общими оценками от Anton_Peplov

Исходя из ответов, к Зоричу нужно вернуться, так и сделаю.

[kp9r4d]

Ivan_B
Не делайте слишком большую ставку на слово "понимание", в математике им оперируют не хуже, чем в политике оперируют словом "свобода". Иногда и зубрёжка весьма эффективна. И индукция.

[Brukvalub]

Ivan_B в сообщении #1215001 писал(а):

Это как с доказательством формулы по индукции: откуда она взялась - непонятно, да, ей можно пользоваться, но понимания нет.

Все не так. Обычно доказательство методом мат. индукции лишь делает рассуждение логически безупречным. А доказываемую им формулу сначала получают из иных соображений. Характерный пример: доказательство бинома Ньютона.

Ivan_B в сообщении #1215001 писал(а):

Таже история с определителем: дано определение, дальше идут простые рассуждения, которые описывают и доказывают свойства, и вот, пользуясь этими свойствами можно систему уравнений решить.

И здесь все не так. Почитайте, например, лекцию $4$ из книги Тартышникова.

Ivan_B в сообщении #1215001 писал(а):

Точно так же все "понимают" что такое число $e$.

Число $e$ имеет много разных определений, делающих прозрачным смысл этого числа. Например, это такое основание показательной функции, при котором ее производная совпадает с самой функцией.
Если вас плохо учили математике, то это не означает, что сама математика плоха.

[ewert]

Ivan_B в сообщении #1215001 писал(а):

знание определения наизусть не дает понимания

Конечно, не даёт. Понимание приходит лишь постепенно -- после энного к-ва свойств, следствий и упражнений. Но для этого сначала должно быть определение.

Пример с определителями очень характерен. Существует несколько (минимум три) стандартных исходных определений этого понятия, и ни одно из них не является изначально естественным и прозрачным. Ну тут ничего не поделаешь, штука-то нужная; остаётся лишь кушать что дают и постепенно привыкать.

-- Пн май 08, 2017 13:54:54 --

Brukvalub в сообщении #1215022 писал(а):

Например, это такое основание показательной функции, при котором ее производная совпадает с самой функцией.

Да, но тут проблема -- под это замечательное определение (действительно наиболее идейное) трудно выстроить курс. Поэтому подавляющее большинство народа предпочитает вычурное определение через последовательности.

(Я сам когда-то пытался определять через производные, но потом вынужден был отказаться -- плохо выходило. Но это на лекциях, а на практике я обязательно упоминаю это определение как вариант.)

[Anton_Peplov]

Ivan_B в сообщении #1215001 писал(а):

Но... там огромный мир, там много красоты и хочется посмотреть как можно больше. Вывод: нужно поскорей двигаться вперед. Не сломя голову, чтобы на красоты посмотреть, но и не отвлекаясь детали, без которых можно обойтись.

Определитесь - Вы хотите знать математику или почитать о математике. Если первое, то в первую очередь необходимо усвоить материал, не "плавать" в нем. А уж когда это сделано - любоваться красотами. Вот Зорич - это про красоты, а материал по нему осваивать трудно.

Ivan_B в сообщении #1215001 писал(а):

Все что я смогу спросить - это правильно ли то, что я написал.

Ну и спросите. Это, в общем, и есть самый приятный тип вопроса - когда человек разбирается и хочет только убедиться, что разбирается.

Ivan_B в сообщении #1215001 писал(а):

Да и тем таких уже много.

Раз много - почитайте их. Если после этого Ваши сомнения рассеются, тем лучше.

Ivan_B в сообщении #1215001 писал(а):

Кто-то даже писал, что, мол, вопросы про дифференциал уже оскомину набили.

Это личная проблема того, кому они ее набили. ПРР на то и ПРР, что здесь вопросы по учебному материалу.

Ivan_B в сообщении #1215001 писал(а):

Когда я говорил о непонимании, то имел в виду непонимание в широком смысле. Это как с доказательством формулы по индукции: откуда она взялась - непонятно, да, ей можно пользоваться, но понимания нет.

Мне знакомо это ощущение. Я бы описал его так. Представим себе человека, который никогда не играл в шахматы. Ему дали список правил и поручили следить за партией. Он сможет констатировать, что – да, каждый ход сделан по правилам, и – да, это мат. Он видит, что поставлен мат, но не понимает, почему он поставлен. «Потому что король ходит так, а ферзь этак» – не ответ. Правила, регулирующие возможные и невозможные ходы – это еще не шахматы. Игрок проиграл, потому что не развивал фигур / упустил центр / не берег пешек и так далее. В шахматах есть свои законы, свои причинно-следственные связи. А наш наивный наблюдатель не знает их, не понимает, как здесь все устроено.
Именно это я сам чувствую в некоторых вопросах даже того же матана. Почему инвариантна форма только первого дифференциала, а не второго и так далее? Почему для дифференцируемости функции двух переменных недостаточно существования частных производных, а требуется еще их непрерывность? Я могу проследить доказательства доказанного и опровержения опровергнутого. Что там могу – я давно сделал это. Я согласен, что ходы сделаны по правилам. Но черт, я – не – понимаю – что – происходит!
Трудность в том, что "понимаю" - это ощущение, как добиться ощущения - вопрос неформализуемый. Я придумал следующие рецепты:

1. Выяснить геометрический/физический смысл. Например, я долго не понимал, что такое определитель. Выяснилось, что определитель - это (снабженный знаком) объем параллелепипеда, натянутого на вектора, координаты которых заданы матрицей (UPD: в $\mathbb R^n$, а то меня тут ниже пинают). Выяснять можно из учебников или задавая вопросы.

2. Просто попросить мотивировать определение. Откуда оно такое взялось и почему именно такое? Я так делал с определением размерности в общей топологии. Понял, не жалуюсь.

3. Конкретизировать свои вопросы. Допустим у меня нет ощущения, что я до конца понимаю, что такое производная. Придумаем конкретный вопрос про производную, ответа на который я не знаю. Для начала - правда ли, что производную можно заменить пределом средней скорости? Оказалось, что можно, если у функции нет устранимого разрыва. Что еще мне непонятно? Ну, допустим, кое-что про бесконечную производную (этот вопрос я не буду формулировать здесь, задам в соответствующей теме в свое время). Чем больше таких вопросов (главное - математически точных, на уровне "доказать или опровергнуть"), тем лучше. Глядишь, со всех сторон понятие обсосешь, ощущение понимания и появится.

4. Порешать задачи на доказательство. Обычно, когда чего-то не понимаешь, но не можешь выразить, чего именно, это непонимание выливается в конкретные затруднения при доказательствах. И тогда в ПРР можно задать вопрос "как доказать, что", слушать, что тебе подсказывают, и пошагово разбираться. Помогает.

5. Забить. Если не помогло ничего из вышеперечисленного, не исключено, что голову просто глючит, и никакого мистического "понимания", кроме того, которым ты уже обладаешь, не существует. В конце концов, математика - штука для человека новая в эволюционном масштабе времени, и никто не сказал, что все математические понятия должны быть для нашего разума так же легки и естественны, как "если уронить банан, он упадет". С другой стороны, и в самых естественных вещах можно при определенном настрое пытаться найти "скрытый смысл". Трудно ответить на вопрос, почему $2 + 2 = 4$ иначе, чем "по определению". Некоторые личности с философским складом ума всю жизнь медитируют на формулу $0 = 0$, но это не значит, что стоит уподобляться. Так можно всю жизнь гоняться за призраком.

[Aritaborian]

Ivan_B, а вот, например, $e^{i \pi} + 1 = 0$ это для вас абсолютно прозрачно или не совсем?

[Brukvalub]

Anton_Peplov в сообщении #1215040 писал(а):

1. Выяснить геометрический/физический смысл. Например, я долго не понимал, что такое определитель. Выяснилось, что определитель - это (снабженный знаком) объем параллелепипеда, натянутого на вектора, координаты которых заданы матрицей.

Теперь вам еще осталось выяснить, что это всего лишь широко разрекламированное заблуждение.

[Mikhail_K]

Brukvalub в сообщении #1215066 писал(а):

Теперь вам еще осталось выяснить, что это всего лишь широко разрекламированное заблуждение.

Ну почему заблуждение.
Если у нас в $n$-мерном евклидовом пространстве введён ортонормированный базис, а мера введена стандартным образом и так, чтобы объём куба, натянутого на векторы базиса, был равен $1$, то объём любого параллелепипеда, натянутого на $n$ линейно независимых векторов, с точностью до знака равен определителю соответствующей матрицы.
Это неверное утверждение?