Матричные элементы L_i для двухэлектронных состояний

[Gickle]

Добрый день, господа. Такое вот задание у меня. Имеются операторы компонент момента импульса, записанные во вторквантованном виде:

$L_x = \displaystyle\sum_{l = - m}^{m} \sum_{\sigma} \frac{1}{2} \sqrt{l + m + 1}\sqrt{l - m} \left(a^{\dagger}_{m+1,\sigma} a_{m,\sigma} + a^{\dagger}_{m,\sigma} a_{m+1,\sigma} \right) $
$L_y = \displaystyle\sum_{l = - m}^{m} \sum_{\sigma} \frac{i}{2} \sqrt{l + m + 1}\sqrt{l - m} \left(- a^{\dagger}_{m+1,\sigma} a_{m,\sigma} + a^{\dagger}_{m,\sigma} a_{m+1,\sigma} \right) $
$L_z = \displaystyle\sum_{l = - m}^{m} \sum_{\sigma} m \, a^{\dagger}_{m,\sigma} a_{m,\sigma} $

И даны следующие состояния:

$|\varphi_1 \rangle = a^{\dagger}_{m = -2 ,\sigma = \downarrow} a^{\dagger}_{m = 2 ,\sigma = \uparrow} |0 \rangle$

$|\varphi_1 \rangle = a^{\dagger}_{m = -1 ,\sigma = \downarrow} a^{\dagger}_{m = 1 ,\sigma = \uparrow} |0 \rangle$

$|\varphi_1 \rangle = a^{\dagger}_{m = 0 ,\sigma = \downarrow} a^{\dagger}_{m = 0 ,\sigma = \uparrow} |0 \rangle$

Ну и нужно найти все матричные элементы. Важно: частицы - фермионы!

В общем, я прикинул, что тут будут встречаться конструкции двух типов:

$\langle 0 | a_1 a_2 a^{\dagger}_i a_j a^{\dagger}_1 a^{\dagger}_2 |0 \rangle \text{ и } \langle 0 | a_1 a_2 a^{\dagger}_i a_j a^{\dagger}_3 a^{\dagger}_4 |0 \rangle$

Могу допустить, что я где-то что-то потерял (хотя вроде старательно проверял всё), но подсчёт дал следующее:

$\langle 0 | a_1 a_2 a^{\dagger}_i a_j a^{\dagger}_1 a^{\dagger}_2 |0 \rangle = - \delta_{j,1} \delta_{i,1} - \delta_{j,2} \delta_{i,2}$

(ну, ответ хотя бы симметричен относительно $1 \leftrightarrow 2$, что уже вселяет надежду, что вычисления были выполнены правильно)

$\langle 0 | a_1 a_2 a^{\dagger}_i a_j a^{\dagger}_3 a^{\dagger}_4 |0 \rangle = 0$

(тоже вроде более-менее внушает доверия)

Теперь я замечаю, что $i \neq j$, поэтому $ - \delta_{j,1} \delta_{i,1} - \delta_{j,2} \delta_{i,2} = 0$, и начинаю грустить, потому что тогда вообще все матричные элементы $L_x$ и $L_y$ обращаются в нуль. Мне это совершенно не нравится, разумеется. Может, подскажете, где я ошибся или что не так в моих рассуждениях? Заранее спасибо.

[Cos(x-pi/2)]

Вроде бы, такое равенство нулю матричных элементов по указанным трем состояниям сразу видно. Ведь у Вас каждое операторное слагаемое в $L_x$ и $L_y$ изменяет на единицу значение $m$ для одной частицы, не изменяя его для другой частицы. Но среди указанных Вами состояний $|\varphi \rangle$ нет таких, которые отличались бы друг от друга значением $m$ только для одной частицы.

(P.S. Опечатки: суммирование должно вестись не по $l,$ а по $m$ от $-l$ до $l;$ номера состояний $|\varphi \rangle$ должны различаться. Проверьте заодно и остальное.)

[Gickle]

Cos(x-pi/2)
На самом деле проблема-то в том, что результат не зависит от того, что за состояния $1, 2, 3$. Просто из факта того, что $i \neq j$ (так как $m \neq m + 1$), получается, что диагональные члены для любых состояний равны нулю. Ну и недиагональные - тоже, хотя и по другим причинам. Кроме того, может, я вас не совсем правильно понял, но там ведь как бы не повышающие/понижающие операторы фигурируют, а операторы рождения/уничтожения, которые квантовые числа частиц не трогают. Но в целом я вот сейчас задумался... В самом деле, ну вот есть у нас некоторое состояние с двумя частицами. Мы действуем на него комбинацией $a^{\dagger}_i a_j$ с $i \neq j$. Ни при каких раскладах мы тут ведь не получим исходное состояние: либо нуль, если нет частицы в состоянии $j$ или уже есть в состоянии $i$, либо новое состояние, заведомо неравное исходному. Это всё как-то физично получается вообще? Я что-то запутался, если честно.

Цитата:

P.S. Опечатки: суммирование должно вестись не по $l,$ а по $m$ от $-l$ до $l;$ номера состояний $|\varphi \rangle$ должны различаться. Проверьте заодно и остальное.

Ой, да, что-то опечатался, когда формулы набивал. Ну и состояния забивал через Ctrl-c + Ctrl-v и забыл исправить циферки. Сам уже поправить не могу, к сожалению.

[Cos(x-pi/2)]

Gickle в сообщении #1212118 писал(а):

Кроме того, может, я вас не совсем правильно понял, но там ведь как бы не повышающие/понижающие операторы фигурируют, а операторы рождения/уничтожения, которые квантовые числа частиц не трогают.

Чтобы не утомлять себя перестановками операторов рождения/уничтожения, я вот как рассуждаю. Состояние

$|\varphi_1 \rangle = a^{\dagger}_{m = -2 ,\sigma = \downarrow} a^{\dagger}_{m = 2 ,\sigma = \uparrow} |0 \rangle$

интерпретирую как состояние, в котором рождён и потому есть один электрон со спином (точнее, с проекцией спина) $\sigma = \uparrow$ и с z-проекцией орбитального момента $m=2,$ и есть аналогичным образом один электрон со спином $\sigma = \downarrow$ и z-проекцией момента $m=-2.$

Посмотрим, как действует на это состояние, например, операторное слагаемое

$a^{\dagger}_{m,\sigma} a_{m+1,\sigma}$ при $\sigma = \uparrow$ и $m=1.$

Оно уничтожает электрон со спином $\sigma = \uparrow$ и с проекцией момента $m=2,$ и рождает вместо него электрон с тем же спином, но с проекцией момента $m=1.$ Поэтому с тем же правом можно сказать, что оно электрону с данным спином понизило проекцию момента на единицу. А на второй электрон (тот, который со спином $\sigma = \downarrow)$ оно не повлияло.

Ясно, что скалярное произведение получившегося состояния с таким же самым состоянием было бы отлично от нуля, т.е. получился бы отличный от нуля вклад в матричный элемент. Но в вашем списке состояний $|\varphi \rangle$ нет такого состояния - в котором изначально был бы рождён электрон с $\sigma = \downarrow,$ $m=-2$ и был бы изначально рождён электрон с $\sigma = \uparrow,$ $m=1.$ Аналогичная ситуация и с остальными операторными слагаемыми.

Кстати, связь ваших операторов рождения/уничтожения с повышающим и понижающим (z-проекцию орбитального момента) операторами легко увидеть, составив для последних выражения:

$L_{+} = L_x+iL_y$ ,
$L_{-} = L_x-iL_y$ .

В них некоторые слагаемые взаимно сокращаются, так что в повышающем операторе $L_{+}$ остаются только слагаемые типа $a^{\dagger}_{m+1,\sigma} a_{m,\sigma},$ а в понижающем операторе $L_{-}$ остаются только слагаемые типа $a^{\dagger}_{m,\sigma} a_{m+1,\sigma}.$

[Gickle]

Cos(x-pi/2)
Ну, с учётом того, что там все $m$ пробегаются, то да, можно и так рассуждать, пожалуй.

Цитата:

Но в вашем списке состояний $|\varphi \rangle$ нет такого состояния...

Если не сложно, приведите, пожалуйста, пример состояния, то есть $m_1, m_2, \sigma_1, \sigma_2$, для которого диагональный член, по-вашему, не будет равен нулю. Если честно, вот эти выводы я не совсем до конца понял и им не совсем до конца верю.

Цитата:

Кстати, связь ваших операторов рождения/уничтожения...

Да, согласен, но там задание подразумевало работу именно с коммутационными соотношениями всё-таки. К тому же понижающий и повышающий операторы работают с состояниями типа $|l,m,l_1,l_2\rangle$, например, а здесь состояние $|l_1,m_1,l_2,m_2\rangle$ (и да, понятно, что между ними связь есть). Он на самом деле не будет, скажем, один момент трогать, а другой нет.

[Cos(x-pi/2)]

Gickle в сообщении #1212150 писал(а):

Если не сложно, приведите, пожалуйста, пример состояния, то есть $m_1, m_2, \sigma_1, \sigma_2$, для которого диагональный член, по-вашему, не будет равен нулю.

По-моему, диагональные матричные элементы будут равны нулю; я не говорил, что диагональные могут отличаться от нуля. С теми формулами для операторов $L_x,$ $L_y,$ которые Вы привели, могут быть не равны нулю их матричные элементы между состояниями типа

$m_1, m_2, \sigma_1, \sigma_2$ и $m_1 \pm 1, m_2, \sigma_1, \sigma_2$ ,

а также между

$m_1, m_2, \sigma_1, \sigma_2$ и $m_1, m_2 \pm 1, \sigma_1, \sigma_2$ .

Пример я уже привёл выше: для оператора $a^{\dagger}_{m,\sigma} a_{m+1,\sigma}$ при $\sigma = \uparrow$ и $m=1$ будет не равен нулю матричный элемент $\langle \psi |...| \varphi_1 \rangle,$ где

$|\varphi_1 \rangle = a^{\dagger}_{m = -2 ,\sigma = \downarrow} a^{\dagger}_{m = 2 ,\sigma = \uparrow} |0 \rangle$ ,

$|\psi \, \rangle = a^{\dagger}_{m = -2 ,\sigma = \downarrow} a^{\dagger}_{m = 1 ,\sigma = \uparrow} |0 \rangle$ .

Gickle в сообщении #1212150 писал(а):

задание подразумевало работу именно с коммутационными соотношениями всё-таки

Так и работайте с коммутационными соотношениями, никто Вам не запрещает. Просто я привёл соображения, как сразу увидеть, что получившиеся у Вас нули похожи на правду. Повторю ещё раз (и завязываю). В написанные вами формулы для $L_x, L_y$ входят операторные слагаемые, содержащие только произведения типа: один оператор рождения и один оператор уничтожения, причем оба эти оператора - с одним и тем же $\sigma,$ а $m$ у них различаются на единицу. Значит, каждое такое произведение может иметь ненулевой матричный элемент между теми состояниями, в которых различаются на единицу $m$ при одном $\sigma,$ а при другом $\sigma$ одинаковое $m.$ Среди ваших трёх $| \varphi \rangle $ таких пар состояний нет; поэтому с вашими тремя $| \varphi \rangle $ остаются только нулевые матричные элементы.

[Gickle]

Cos(x-pi/2)
Спасибо за ответ, я вас действительно неправильно понял просто.