Обсуждение и разбор марафонских задач

[VAL]

Весна в этом году поздняя.
Но не у Марафона.
Если ориентироваться на старт очередного конкурса - у нас уже лето!
Сомневающиеся могут заглянуть сюда.

[grizzly]

Цитата:

ММ228 (4 балла)
От двух до пяти.

VAL в сообщении #1169204 (обсуждая ММ218) писал(а):

Подзаголовок "От двух до пяти" ... случайно достался этой задаче в наследство от ММ208.

Закономерность, однако..

[arseniiv]

(Оказывается, я не заметил один ответ. Это последний оффтоп от меня в этой теме)

kotenok gav в сообщении #1206871 писал(а):

Где вы такой файл (до сжатия) хранили?

Безотносительно к моим предыдущим шуточкам о сжатии бесконечного файла с решением неопубликованной задачи в этой теме, файлам не обязательно где-то храниться. Например, из /dev/random можно, насколько я понимаю, читать до посинения, и там ещё останется. При этом выдаваемые байты не должны ни на каком диске лежать.

[VAL]

grizzly в сообщении #1211758 писал(а):

Цитата:

ММ228 (4 балла)
От двух до пяти.

VAL в сообщении #1169204 (обсуждая ММ218) писал(а):

Подзаголовок "От двух до пяти" ... случайно достался этой задаче в наследство от ММ208.

Закономерность, однако..

Будем считать, что это фишка такая, вроде Мёбиуса в Акунинских романах про Фандорина.

PS: Я точно помню, что удалял эту ремарку. Очевидно, вмешательство высших сил

[VAL]

Уточнение:
Двойное "умножили на 5 умножили на 5" в условии ММ222 не означает умножения исходных чисел на 25. Умножать на 5 надо однократно.
А дважды (а лучше 25 раз) ведущему следует перечитывать условие перед публикацией. (Впрочем, все равно, не поможет.)

[VAL]

Очередное уточнение:
На этот раз не в условии, а в примере, иллюстрирующем терминологию задач ММ228-230.
Вектор граней конфигурации на рисунке 1 при ближайшем рассмотрении оказался равен $[6, 8, 1, 0, 0]$.

[VAL]

Поздравляю (соболезную, выражаю озабоченность) с началом нового учебного года!

И напоминаю, что 23-й конкурс в рамках Математического марафона вступил в активную фазу. До окончания приема решений ММ221 осталась всего неделя.
Не прозевайте!

[VAL]

===========ММ221===============

ММ221 (4 балла)

Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение $3x^4 + 2y^3 = 37^z$ ?

Решение

Приведу решение Анатолия Казмерчука (все остальные правильные решения отличаются от него только отсутствием обобщения):

Обсуждение

23-й Марафонский конкурс стартовал довольно вяло: я получил всего 8 решений. (Если бы это была последняя задачка конкурса, я написал бы "целых 8 решений!").
Особенно огорчает исчезновение марафонцев со стажем, таких как Сергей Половинкин, Дмитрий Пашуткин...
Впрочем, история Марафона показывает, что "иногда они возвращаются" (с).
Рассчитывал я и на некоторых хорошо зарекомендовавших себя новичков, таких как Владимир Чубанов, Васлий Дзюбенко...
Увы
Но надеюсь, и они вернутся.

Я сделал попытку учесть наблюдаемую в Интернете тенденцию ухода с форумов в соцсети.
Перед прошлым туром разместил объявление в соответствующей группе "В контакте". Собрал несколько лайков.
Перед нынешним туром зарегистрировался в FB. В подходящей по тематике группе насчитывалось несколько тысяч человек. Среди них - много старых знакомых (еще по Фидо). При этом группа живая и активная, а не забытая Богом и людьми. В общем, я прорекламировал Марафон и в предвкушении довольно потирал руки... Собрал несколько лайков (решение от участника, который и без того никуда не пропадал - не в счет).
Теперь вот думаю, где бы мне еще зарегистрироваться.

Собственно о задаче сказать особо нечего. Она планировалась как разминочная. Обобщение, приведенное в решении Анатолия (и неожиданно только в его решении), вполне очевидно.
Более интересен вопрос: существуют ли решения, не попавшие в найденную серию. Но ответа на этот вопрос я не знаю.

Награды

За правильное решение и обобщение задачи ММ221 Анатолий Казмерчук получает 5 призовых баллов. Олег Полубасов, Виктор Филимоненков, Владимир Дорофеев, Владислав Франк, Евгений Гужавин и Валентина Колыбасова (Ариадна) получают по 4 призовых балла, а Дмитрий Курашкин - 2 призовых балла.

Эстетическая оценка задачи - 4.2 балла

PS: Уже после того, как опубликовал обзор неожиданно обнаружил еще одно решение ... в спаме

[VAL]

===========ММ222===============

ММ222 (6 баллов)

На доске написано 10 попарно различных натуральных чисел. После того как 5 из этих чисел разделили на 5, а другие 5 умножили на 5 возникли 10 попарно различных натуральных чисел, отличных от исходных. При этом сумма новых чисел оказалась в 3 раза больше суммы исходных.
Пусть $n$ – наименьшее возможное значение наибольшего из исходных чисел, для которых возможна описанная ситуация.
Сколько существует различных наборов исходных чисел с наибольшим числом $n+1$?

Решение

Приведу решения Валентины Колыбасовой и Анатолия Казмерчука (только им удалось добраться до правильного ответа):

Обсуждение

Довольно неожиданно задачка ММ222 вызвала серьезные затруднения у участников Марафона.
С одной стороны, я ожидал, что кто-нибудь не заметит невозможности одновременного присутствия чисел 5 и 25 в стартовом наборе уменьшаемых в 5 раз чисел. Но чтобы это случилось одновременно с тремя асами Марафона...
Еще один участник (Влад Франк) избежал указанной выше ошибки, но тут же "обжегшись на молоке" стал напрасно "дуть на воду", исключив число 25 не только из уменьшаемых в 5 раз чисел, но и из стартового набора в целом.
Где ошибся еще один участник (Владимир Дорофеев), я не знаю. Вполне возможно, что в нумерации. Он верно учел все подводные камни и довел решение до перебора нужных комбинаций. Но насчитал таких комбинаций на одну больше, чем надо.

На первый взгляд может показаться странным, что подходящих наборов с наибольшим числом 31 меньше, чем подходящих наборов с наибольшим числом 30 (см. решение Анатолия Казмерчука). Собственно именно этот момент сподвиг меня на вопрос задачи.
Однако, если задуматься, ничего странного нет. Ведь при наибольшем числе 31 перебирать приходится четверки чисел, а при наибольшем числе 30 - пятерки.

Учитывая тот факт, что ММ222 оказалась "крепким орешком" я повысил первоначальную цену задачи до 6 баллов.

Награды

За решение задачи ММ222 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Валентина Колыбасова и Анатолий Казмерчук - по 6;
Владимир Дорофеев - 5;
Владислав Франк - 4;
Олег Полубасов, Виктор Филимоненков, и Евгений Гужавин - по 3.

Эстетическая оценка задачи - 4.2 балла

[Masik]

Понравилось решение Ариадны - кратко и понятно. Мои поздравления!

[VAL]

Masik в сообщении #1248047 писал(а):

Понравилось решение Ариадны - кратко и понятно.

Мнение оказалось настолько авторитетным, что другое решение никто не скачивает.

[VAL]

===========ММ223===============

ММ223 (6 баллов)

Рассмотрим две задачки.

1. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую из них с тройки на пятерку. Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны?

2. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую попавшуюся из них с тройки на пятерку. Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны?

Какое из условий выгоднее для жуликоватого Васи?

Примечание: Был ли журнал электронным – не важно. Но важно, что колы не ставим: разрешается использовать только оценки 2, 3, 4, 5

Решение

Приведу решения Олега Полубасова, Евгения Гужавина и Анатолия Казмерчука:

Обсуждение

Я старательно выполняю обещание сделать марафонские задачки в среднем попроще. Странным образом, цель (привлечь новых участников) этим не достигается. А качество решений, присылаемых "закаленными бойцами", парадоксальным образом снижается. Полагаю, упрощение задач действует на некоторых участников расхолаживающе.
Источником ошибок в ММ223 была неожиданная трактовка слов "допустимые наборы". Некоторые марафонцы допускают, что троек среди Васиных оценок могло не быть вовсе.

Несколько участников не ограничились рассмотрением случая, описанного в условии, и рассмотрели ситуации с другим количеством оценок (или даже с другой шкалой оценок).
Представляется очевидным, что обе рассматриваемые вероятности не уходят далеко от значения $\frac2n$, где $n$ - количество оценок.
В то же время, у одного из участников, загадочным образом, получилось, что вероятность повышения итоговой оценки не зависит от количества оценок и колеблется около показателя 0.4

Валентина Колыбасова, верно решив задачу, усомнилась в Васиной выгоде:

Цитата:

Теперь обсудим вопрос, какое из условий выгоднее. Формально вероятность повысить оценку за четверть выше во втором случае. Но эти два условия относятся к разным ситуациям: в одном случае первая оценка 3, а во втором случае первая оценка может быть какая угодно. Если оказалось, что у Васи первая оценка в журнале 3, и кроме неё есть ещё другие тройки, то не важно, какую из этих троек он исправит на пятёрку, результат будет одинаковый. Если же окажется, что первая оценка не 3, то поступить согласно первому условию Вася не сможет в принципе. Так что на самом деле не важно, какую именно тройку исправит Вася, вероятность наступления благоприятного исхода зависит не от этого, а от того, какие оценки стоят в журнале.

Разумеется, формулируя вопрос задачи, я имел в виду такую интерпретацию: "При каком из условий вероятность повышения итоговой оценки выше?"
Если же посмотреть на вещи философски, то еще не известно, выгодно ли, по большому счету, Васе, чтобы его афера сошла ему с рук. Впрочем, я не буду углубляться в эти рассуждения, дабы избежать неуместной в данной теме дискуссии о смысле жизни

Награды

За решение задачи ММ223 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Олег Полубасов и Евгений Гужавин - по 7;
Валентина Колыбасова, Виктор Филимоненков и Анатолий Казмерчук - по 6;
Владислав Франк - 3;
Владимир Дорофеев и Василий Дзюбенко - по 2.

Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла

[rockclimber]

VAL в сообщении #1249950 писал(а):

ММ223 (6 баллов)

Я совсем забыл про эту задачу... Мне она вообще очень простой показалась, думал, ну выкрою часик времени и напишу решение. И забыл

[VAL]

rockclimber в сообщении #1250022 писал(а):

VAL в сообщении #1249950 писал(а):

ММ223 (6 баллов)

Я совсем забыл про эту задачу... Мне она вообще очень простой показалась, думал, ну выкрою часик времени и напишу решение. И забыл

Не один Вы такой забывчивый!
Я, вон, пропустил одного из марафонцев при раздаче заслуженных слонов.
Сейчас исправился.
И Вы исправляйтесь!

[VAL]

===========ММ224===============

ММ224 (6 баллов)
Решения принимаются до 29.09.2017

В задаче, которую задали на дом Пете и Васе, требовалось найти площади треугольников, на которые разбивается исходный треугольник ABC трисектрисами, проведенными из вершины C. При сверке ответов у Пети и Васи совпали значения двух площадей: 2 и 4. Третья площадь у Пети оказалась равной 10, а у Васи — 20. Найти угол С, если известно, что один из учеников получил за домашнее задание пятерку.

Решение

Не смог выбрать лучшие решения. Поэтому приведу все. (Но не все сразу.)

Обсуждение

На этот раз все откликнувшиеся марафонцы - молодцы! Не допустили ошибок в решении. Поэтому, во избежание нарушения закона сохранения (и приумножения) ошибок во Вселенной, кое-что напутал ведущий.
Все было примерно как в старом (времен Norton Commander для DOS) анекдоте: Смотрю слева диск C и справа диск C. А зачем мне два одинаковых диска С? Взял и один отформатировал.
Когда я составлял задачку, в условии фигурировали буквенные обозначения исходного треугольника и трисектрис, из коих однозначно следовало, что именно средний треугольник имеет площадь 4 (догадка Валентиы Колыбасовой верна). Но в последний момент перед публикацией я (а зачем мне два одинаковых диска C?) решил убрать буковки. Буковки исчезли, а количество решений утроилось.

Присланные решения - настоящий разгул тригонометрии: равные ответы выглядят совершенно различными за счет разного представления.
И лишь Олег Полубасов упомянул возможность решения через окружности Аполлония. Сам я решал именно через них.

Награды

За решение задачи ММ224 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Олег Полубасов - 8;
Владислав Франк и Анатолий Казмерчук - по 7;
Виктор Филимоненков, Валентина Колыбасова, Владимир Дорофеев и Евгений Гужавин - по 6.

Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла

PS: Желающие пораньше увидеть остальные решения могут ускорить их появление своими комментариями.