Найти рациональные решения системы

[Коровьев]

Найти двухпараметрическое рациональное решение системы
$$\[ \left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 = h_1 ^2 \\ y^2 + z^2 = h_2 ^2 \\ z^2 + t^2 = h_3 ^2 \\ t^2 + x^2 = h_4 ^2 \\ \end{array} \right. \] $

[scwec]

Если имеется в виду частное решение, то годится такое: $x=z=2rs,t=r(s^2-1),y=s(r^2-1)$.

[Коровьев]

Это тоже решение. Конечно, я имел ввиду различные переменные, но не указал в условии.
Все рациональные решения заключены в одном уравнении, которое находится последовательно.
Примем для удобства $x=1$

Из первого уравнения $\[1 + y^2 = h_1 ^2\]$

следует, что

$$\[y = \frac{{2m}}{{1 - m^2 }}\]$ или $$\[y = \frac{{1 - m^2 }}{{2m}}\]$

Но эти оба варианта рационально эквивалентны, поэтому можно выбрать любой. Выберем первый.
Аналогично, из второго уравнения следует

$$\[ z = y\frac{{2n}}{{1 - n^2 }} = \frac{{2m}}{{1 - m^2 }} \cdot \frac{{2n}}{{1 - n^2 }} \]$

Из третьего уравнения следует

$$\[ t = z\frac{{2k}}{{1 - k^2 }} = \frac{{2m}}{{1 - m^2 }} \cdot \frac{{2n}}{{1 - n^2 }} \cdot \frac{{2k}}{{1 - k^2 }} \]$

Наконец, из четвёртого уравнения следует, что

$$\[ t = \frac{{2h}}{{1 - h^2 }} \] $

Таким образом мы имеем уравнение от четырёх переменных

$$\[ \frac{{2m}}{{1 - m^2 }} \cdot \frac{{2n}}{{1 - n^2 }} \cdot \frac{{2k}}{{1 - k^2 }} = \frac{{2h}}{{1 - h^2 }} \]$

в котором "зашиты" все рациональные решения исходной системы.
Вот это уравнение и надо решать. Конечно, все решения найти невозможно. Я нашёл двухпараметрическое.

[Shadow]

Очевидное частное двухпараметрическое решение - если принять $t=1$ (или принять его за третий параметр) при $y=xz$
Но слишком просто

[scwec]

Параметрическое решение
$x=(m^2-1)(m^4+3m^2+4)$
$t=4m(m^2+1)$
$y=4m(m^2+1)(m^2+3)$
$z=\dfrac{16(m^2+3)(m^2+1)^2{m^2}}{(m^2-1)(m^2+m+2)(m^2-m+2)}$
получается из решений уравнения $w^2=u^3+(n^2+1)u^2+{n^2}u$ при $n=m^2+3$
в двух рациональных точках $P=(u,w)=(-(m^2+1)^2,2m(m^2+2)(m^2+1))$ и $(u,w)=P+(m^2+3,(m^2+3)(m^2+4))$

[sergei1961]

Коровьев - хочется Ваши формулы через тригонометрию выразить, не проще?

[Коровьев]

Shadow в сообщении #1209487 писал(а):

Очевидное частное двухпараметрическое решение - если принять $t=1$ (или принять его за третий параметр) при $y=xz$
Но слишком просто

"Слона-то я и не приметил".
Это, наверное, самое простое решение системы для не равных переменных.

У меня решение довольно сложное, сложнее чем у scwec
Я приведу только значения переменных из общей формулы.

$$\[ \left\{ \begin{array}{l} m = \frac{{2p\left( {1 + q^2 } \right)}}{{\left( {1 + p^2 } \right)\left( {1 - q^2 } \right)}} \\ n = q \\ k = \frac{{1 - p}}{{1 + p}} \\ h = \frac{{2q\left( {1 + p^2 } \right)}}{{\left( {1 + q^2 } \right)\left( {1 - p^2 } \right)}} \\ \end{array} \right. \] $

sergei1961 в сообщении #1209632 писал(а):

Коровьев - хочется Ваши формулы через тригонометрию выразить, не проще?

Если выражать через тригонометрические аналоги, то придётся сначала всё разъяснять, что это такое. И без разъяснений выглядело бы это примерно так
Общая формула

$$\[ T\left( m \right) \cdot T\left( n \right) \cdot T\left( k \right) = T\left( h \right) \] $

А решение

$$\[ T\left( {\frac{{S\left( p \right)}}{{C\left( q \right)}}} \right) \cdot T\left( q \right) \cdot T\left( {\frac{{1 - p}}{{1 + p}}} \right) = T\left( {\frac{{S\left( q \right)}}{{C\left( p \right)}}} \right) \] $

[scwec]

Несколько замечаний
Все рациональные решения исходной системы получаются из пар рациональных решений уравнения $w^2=u^3+(N^2+1)u^2+N^2u\qquad(1)$
где $N=\dfrac{(q^2-1)p}{(p^2-1)q}$.
Так, решение Коровьев:
$x=(-p+qp-1-q)(qp+p+q-1)(qp+p+1-q)(-p+qp+1+q)$
$y=4p(q^4-1)(p^2+1)$
$t=4q(p^4-1)(q^2+1)$
$z=8pq(1+q^2)(1+p^2)$
соответствует двум рациональным точкам бесконечного порядка на кривой $(1)$.
Решение Shadow (с точностью до наименований переменных)
$x=2pq$
$y=p(q^2-1)$
$t=q(p^2-1)$
$z=\dfrac{(p^2-1)(q^2-1)}{2}$
соответствует двум рациональным точкам б.п. на кривой $(1)$.
Складывая точки на кривой $(1)$ получаем бесконечное множество параметрических решений исходной системы.
Предложенное мной решение опирается на то, что уравнение $N=\dfrac{(q^2-1)p}{(p^2-1)q}=m^2+3$
имеет рациональные решения при любых рациональных $m\ge{2}$.
Однопараметрические решения имеются также при $N=4m^2+3m$, при $N=4m^2+5m+1$ и т.д.

[Коровьев]

Обобщение предыдущей задачи.

Доказать, что если система

$\[ \left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 = h_1 ^2 \\ y^2 + z^2 = h_2 ^2 \\ z^2 + t^2 = h_3 ^2 \\ t^2 + x^2 = h_4 ^2 \\ x^2 + z^2 = h_5 ^2 \\ y^2 + t^2 = h_6 ^2 \\ \end{array} \right. \]$

имеет решение в рациональных числах, то

$\[x^2 + y^2 + z^2 + t^2 = h^2 \]$

для некоторого рационального $h$

Примечание.
Существование рационального решения системы (в чём я сильно сомневаюсь ) означает, что существует рациональный 4-х мерный параллелепипед с рациональными сторонами (1-грани), рациональными боковыми диагоналями (2-грани) и рациональной главной диагональю.
Трёхмерный параллелепипед с рациональными сторонами и рациональными боковыми диагоналями существует - это рациональный кубоид Эйлера.

[Коровьев]

Господа, приношу свои извинения за ошибочно поставленную задачу.
В моём доказательстве для любого решения я обнаружил ошибку.

[scwec]

Рассмотрим систему шести уравнений от Коровьев c заменой уравнения $x^2+z^2=h_5^2$ на $x^2+y^2+z^2+t^2=h_5^2$
Она имеет бесконечно много 1-параметрических решений, например:
$x=\dfrac{t^2-1}{t}$,
$y=\dfrac{(t^2-1)(t^4-14t^2+1)}{{8t^2}(t^2+1)}$,
$t=\dfrac{3t^4-10t^2+3}{4(t^2+1)t}$,
$z=\dfrac{3t^8+146t^4+3-52t^6-52t^2}{32t^2{(t^2+1)^2}}$
Здесь $z,x,y,t$ получены с использованием рационального решения уравнения $w^2=u^3+(N^2+1)^2{u^2}+4N^2{(N^2-1)^2}u$ при $N=\dfrac{2(t^2-1)}{t^2+1}$, а $x,y,t$ соответствуют кубоиду Эйлера.
Итак, мы имеем 2 кубоида(несовершенных) $x,y,t$ и $z,y,t$ и первый из них кубоид Эйлера.
Причем $x^2+y^2+z^2+t^2$ - квадрат.