Предел последовательности (задачи из Давидовича)

[irod]

grizzly в сообщении #1208076 писал(а):

Я бы пытался сэкономить на рассуждениях.

Ок, хорошая идея.

-- 10.04.2017, 06:57 --

Иду дальше.

Определение 6.
Число $a$ называется предельной точкой последовательности $(x_n)$, если $\forall\varepsilon>0$ $\forall k\in\mathbb{N}$ $\exists n>k$ $|x_n-a|<\varepsilon$.

Задача 6.
Число $a$ есть предельная точка последовательности $(x_n)$, если и только если любая $\varepsilon$-окрестность точки $a$ содержит бесконечное число членов этой последовательности.

Доказательство.
Пусть $a$ -- предельная точка последовательности $(x_n)$, и $\varepsilon$ -- произвольное положительное число.
Возьмем минимальное $n>1$ такое что $|x_n-a|<\varepsilon$ (определение 6 гарантирует нам существование такого $n$), и обозначим его $n_1$. Затем возьмем минимальное $n>n_1$ такое что $|x_n-a|<\varepsilon$, обозначив его $n_2$. Будем повторять этот процесс, на $i$-м шаге добавляя в нашу последовательность некоторое $n_i$. В итоге получим счетную последовательность$(x_{n_i})$ чисел таких что $|x_{n_i}-a|<\varepsilon$. Согласно задаче 1, это означает что все члены $(x_{n_i})$ принадлежат $U_\varepsilon (a)$, т.е. $U_\varepsilon (a)$ содержит бесконечное число членов $(x_n)$.
Пусть теперь любая $\varepsilon$-окрестность точки $a$ содержит бесконечное число членов $(x_n)$. Возьмем произвольный $\varepsilon>0$ и расположим все члены из $U_\varepsilon (a)$ по возрастанию их индекса в $(x_n)$: $x_{k_1},x_{k_2},x_{k_3},\ldots$, где $k_i\ge i$ для любого натурального $i$. Другими словами, $\forall i\in\mathbb{N}$ $\exists k_i\ge i$ $|x_{k_i}-a|<\varepsilon$, т.е. выполнено определение 6, согласно которому $a$ -- предельная точка $(x_n)$.

-- 10.04.2017, 07:00 --

Задача 7.
Доказать, что если последовательность сходится к $a$ (то есть $a$ является ее пределом), то она не имеет предельных точек, отличных от $a$.

Доказательство.
От противного. Пусть $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=a$. Предположим, что существует $b\ne a$ -- предельная точка $(x_n)$. Возьмем непересекающиеся $\varepsilon$-окрестности $U_\varepsilon (a)$ и $U_\varepsilon (b)$. По определению предела, вне $U_\varepsilon (a)$ находится не более чем конечное число членов $(x_n)$. Согласно задаче 6, в $U_\varepsilon (b)$ должно находиться бесконечно много членов $(x_n)$. $U_\varepsilon (b)$ целиком находится вне $U_\varepsilon (a)$. Следовательно, наше предположение неверно, и $b$ не может быть предельной точкой $(x_n)$ при $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=a$.

[Someone]

irod в сообщении #1208095 писал(а):

Число $a$ называется предельной точкой последовательности $(x_n)$, если $\forall\varepsilon>0$ $\forall k\in\mathbb{N}$ $\exists n>k$ $|x_n-a|<\varepsilon$.

Неправильное определение. Правильное определение такое: $a$ — предельная точка последовательности $(x_n)$, если $\forall\varepsilon>0\;\exists k\in\mathbb N\;(0<\lvert x_k-a\rvert<\varepsilon)$.

Для того, что у Вас, мне встречалось название "частичный предел последовательности".

P.S. 1) В формуле должна быть одна пара долларов: в начале и в конце (или две: одна пара в начале и одна пара в конце, если Вы хотите, чтобы формула была в отдельной строке в центре).
2) Если Вы хотите вставить пробел между частями формулы, для этого существуют специальные команды. Например: $a\ b$.
Подробнее: http://dxdy.ru/post443191.html#p443191.

[iifat]

Someone в сообщении #1208117 писал(а):

Правильное определение такое

Странное у вас какое-то правильное определение. Беру последовательность $1,2,3\dots$ — и для любого $\varepsilon$ существует $k=1$ такое что $|x_k-1|<\varepsilon$ — и вуаля, единица становится предельной точкой.

[Someone]

iifat в сообщении #1208124 писал(а):

Странное у вас какое-то правильное определение.

Да, Вы правы, очень странное. Естественно, должно быть

$$\forall\varepsilon>0\;\forall k\in\mathbb N\;\exists n>k\;(0<\lvert x_n-a\rvert<\varepsilon).$$

А я ещё смотрел на своё "определение" и думал: почему это у меня в одном месте $k$, а в другом $n$? И исправил не там.

[grizzly]

Someone
(Чуть ниже Давидович будет давать определение "предельной точки множества". Вот там у него такая же идея -- с проколотой окрестностью.)

Я пробежался по учебникам и поиском по гугло-книгам. Если где-то оно назвается "предельной точкой последовательности", то определение даётся именно так, как у Давидовича (я ни разу не встретил Вашего определения). Примеры книг:

Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), стр.91,
Энгелькинг Л. Общая топология (там даётся в духе Давидовича определение "предельной точки направленности"), стр.88.

-- 10.04.2017, 13:57 --

Someone в сообщении #1208126 писал(а):

Естественно, должно быть

$$\forall\varepsilon>0\;\forall k\in\mathbb N\;\exists n>k\;(0<\lvert x_n-a\rvert<\varepsilon).$$

Это определение "предельной точки множества значений последовательности"?

[Someone]

grizzly, может быть, и так. Но у меня в голове с первого курса (математический анализ нам читал И. А. Вайнштейн) с определением из Давидовича прочно связан термин "частичный предел последовательности". Фактически ведь это определение означает, что существует подпоследовательность, имеющая эту точку своим пределом. То же самое верно и для направленностей, по крайней мере, если под "поднаправленностью" понимать "более тонкую направленность".
И мне хотелось бы, чтобы понятия "предельная точка последовательности" и "предельная точка множества значений последовательности" не противоречили друг другу.

[iifat]

Someone в сообщении #1208126 писал(а):

должно быть

А в чём, не напомните, сакральный смысл «$0<$»? Не, я понимаю, в соответствии с этим определением $1$ не есть предельная точка последовательности $1, 2, 1, 3, 1, 4, \dots$ — но для чего, Холмс?

[grizzly]

iifat в сообщении #1208208 писал(а):

для чего, Холмс?

Someone в сообщении #1208161 писал(а):

чтобы понятия "предельная точка последовательности" и "предельная точка множества значений последовательности" не противоречили друг другу.

[irod]

Someone
grizzly
так все же какое определение мне дальше использовать? Учитывая что я занимаюсь именно по Давидовичу и в другие учебники сейчас почти не заглядываю, и ранее сталкивался тоже именно с таким определением (сейчас не вспомню конкретных учебников), может мне его и использовать, как считаете?

-- 11.04.2017, 16:31 --

grizzly
есть ли какие-нибудь замечания по задачам 6 и 7?

-- 11.04.2017, 16:37 --

Пока выложу еще сделанные задачи.

Задача 8.
Для каждой из следующих последовательностей указать все ее предельные точки:
а) $y_n=\frac{n+1}{n}$.
Ответ: $1$.
Доказательство.
Аналогично пунктам а) и г) задачи 5 доказывается, что $1$ является пределом последовательности $(y_n)$ (берем $k>\frac{1}{\varepsilon}$ и применяем определение 3). Тогда, согласно задаче 7, $1$ будет также единственной предельной точкой $(y_n)$.

б) $y_n=(-1)^n$.
Ответ: $1$ и $-1$.
Доказательство.
$(y_n)$ состоит из бесконечного числа чисел $1$ и $-1$. В задаче 5.в для такой же последовательности было показано, что в любых $\varepsilon$-окрестностях точек $1$ и $-1$, и только этих точек, содержится бесконечно много членов последовательности. Тогда по задаче 6, $1$ и $-1$ -- предельные точки.

в) $y_n=n$.
Ответ: нет предельных точек.
Доказательство. См. доказательство задачи 5.б.

г) $y_n=n^{(-1)^n}$.
Ответ: $0$.
Доказательство.
$(y_n)$ состоит из членов видов $y_{2n}=2n$ и $y_{2n-1}=\frac{1}{2n-1}$. У $(y_{2n})$ нет предельных точек (см. пункт в), а у $(y_{2n-1})$ предел и по совместительству (согласно задаче 7) единственная предельная точка $0$ (доказательство предела аналогично доказательству пунктов а) и г) задачи 5).

-- 11.04.2017, 16:50 --

Задача 9.
Существует ли последовательность, множество предельных точек которой есть

а) $\mathbb{N}$.
Ответ: да, это последовательность, каждый член которой (с номером $m$) является последовательностью $x_n^m=m+\frac{1}{n}$.
Доказательство.
Доказательство $\lim\limits_{n\to\infty} x_n^m=m$ для любого натурального $m$ аналогично доказательству задачи 8.а. Т.е. в любой $\varepsilon$-окрестности любого натурального числа находится бесконечное число членов всей родительской последовательности, что по задаче 6 и означает что $\mathbb{N}$ является множеством предельных точек последовательности.

б) $[0,1]$.
Ответ: да, это последовательность из всех рациональных чисел интервала $[0,1]$, ведь для любого $x\in[0,1]$ любая $U_\varepsilon (x)$ содержит бесконечно много рациональных точек из $[0,1]$.

в) $\mathbb{Q}$.
Ответ: да, это последовательность, состоящая из всех точек самого $\mathbb{Q}$, т.к. любая $\varepsilon$-окрестность любого рационального числа содержит бесконечно много рациональных чисел.

[grizzly]

irod в сообщении #1208670 писал(а):

grizzly
так все же какое определение мне дальше использовать?

Определение не меняем. Вопрос в том, как правильно назвать определяемое. И я тоже согласен, что "частичный предел" лучше, чем "предельная точка". Но я бы не стал уже ничего менять в книге (оно встретится нам здесь ещё только несколько раз), просто имейте в виду на будущее.

Прошлые задачи -- ок. Эти нет (не все).

irod в сообщении #1208670 писал(а):

в) $y_n=n$.
Ответ: нет предельных точек.
Доказательство. См. доказательство задачи 5.б.

Не годится. Ни обозначения, ни техника того доказательства здесь не применима. Нужно переписать с соответствующими изменениями.

irod в сообщении #1208670 писал(а):

г) $y_n=n^{(-1)^n}$.
Ответ: $0$.
Доказательство.
...
У $(y_{2n})$ нет предельных точек (см. пункт в), а у $(y_{2n-1})$

Мне это не очень нравится. Вы ввели новые сущности (это, может быть, и хорошо само по себе) и никак не аргументируя используете их свойства (а это потенциальный источник проблем). Здесь можно было привычными приёмами указать в любой окрестности 0 бесконечное много членов последовательности и для произвольной другой точки найти такие $\varepsilon $ и $k$, что члены последовательности с большими номерами не попадают в эту окрестность.

[irod]

grizzly
Понял. Исправляю недочеты, пока один пункт - 8.в

irod в сообщении #1208670 писал(а):

в) $y_n=n$.
Ответ: нет предельных точек.

В задаче 5.б было доказано, что вне любой $U_\varepsilon(a)$ произвольной точки $a$ находится бесконечно много членов последовательности. Следовательно, согласно задаче 6, ни одна точка не может быть предельной точкой $(y_n)$.

[grizzly]

irod в сообщении #1209058 писал(а):

вне любой $U_\varepsilon(a)$ произвольной точки $a$ находится бесконечно много членов последовательности. Следовательно, согласно задаче 6, ни одна точка не может быть предельной точкой $(y_n)$.

Стал бы я придираться по мелочам? Я даже не хочу указывать, в чём ошибка. Ещё раз читаем определения и внимательно смотрим, что нужно доказать.

[irod]

grizzly
Тьфу, извиняюсь за такую глупую ошибку! Надо заменить первую фразу на следующую.
В $U_{1/3}(a)$ произвольной точки $a$ содержится не более одного члена $(y_n)$ (при $a\le 0$ -- ни одного члена).

[grizzly]

irod в сообщении #1209153 писал(а):

любой произвольной точки $a$ содержится не более одного

Произвольная точка не может быть не любой (шутка :)
Вы хотели сказать "не более двух"? Тогда засчитано.

[irod]

grizzly
Подправил свое сообщение, не успел до Вашего быстрого ответа )