Someonegrizzlyтак все же какое определение мне дальше использовать? Учитывая что я занимаюсь именно по Давидовичу и в другие учебники сейчас почти не заглядываю, и ранее сталкивался тоже именно с таким определением (сейчас не вспомню конкретных учебников), может мне его и использовать, как считаете?
-- 11.04.2017, 16:31 --grizzlyесть ли какие-нибудь замечания по задачам 6 и 7?
-- 11.04.2017, 16:37 --Пока выложу еще сделанные задачи.
Задача 8.
Для каждой из следующих последовательностей указать все ее предельные точки:
а)

.
Ответ:

.
Доказательство.
Аналогично пунктам а) и г) задачи 5 доказывается, что

является пределом последовательности

(берем

и применяем определение 3). Тогда, согласно задаче 7,

будет также единственной предельной точкой

.
б)

.
Ответ:

и

.
Доказательство.

состоит из бесконечного числа чисел

и

. В задаче 5.в для такой же последовательности было показано, что в любых

-окрестностях точек

и

, и только этих точек, содержится бесконечно много членов последовательности. Тогда по задаче 6,

и

-- предельные точки.
в)

.
Ответ: нет предельных точек.
Доказательство. См. доказательство задачи 5.б.
г)

.
Ответ:

.
Доказательство.

состоит из членов видов

и

. У

нет предельных точек (см. пункт в), а у

предел и по совместительству (согласно задаче 7) единственная предельная точка

(доказательство предела аналогично доказательству пунктов а) и г) задачи 5).
-- 11.04.2017, 16:50 --Задача 9.
Существует ли последовательность, множество предельных точек которой есть
а)

.
Ответ: да, это последовательность, каждый член которой (с номером

) является последовательностью

.
Доказательство.
Доказательство

для любого натурального

аналогично доказательству задачи 8.а. Т.е. в любой

-окрестности любого натурального числа находится бесконечное число членов всей родительской последовательности, что по задаче 6 и означает что

является множеством предельных точек последовательности.
б)
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
.
Ответ: да, это последовательность из всех рациональных чисел интервала
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
, ведь для любого
![$x\in[0,1]$ $x\in[0,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/9/c3949c78998b68001ea9458772b3980b82.png)
любая

содержит бесконечно много рациональных точек из
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
.
в)

.
Ответ: да, это последовательность, состоящая из всех точек самого

, т.к. любая

-окрестность любого рационального числа содержит бесконечно много рациональных чисел.