2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 11  След.
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение02.05.2017, 16:26 


21/02/16
483
Определение 10.
Последовательность $(x_n)$ называется фундаментальной, если $\forall\varepsilon >0\ \exists k\ \forall m,n>k\ |x_m-x_n|<\varepsilon$.

Задача 17.
Последовательность $(x_n)$ сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Доказательство.
Пусть $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$, т.е. все члены $(x_n)$, начиная с некоторого номера $k$, содержатся в произвольной $U_\varepsilon (a)$. Тогда расстояние между этими членами не больше $\varepsilon$, т.е. выполнено $\forall m,n>k\ |x_m-x_n|<\varepsilon$, что означает фундаментальность $(x_n)$.
(наверное, здесь можно сказать проще: импликация $\forall n>k\ |x_n-a|<\varepsilon$ $\Rightarrow$ $\forall m,n>k\ |x_m-x_n|<\varepsilon$ очевидна)

Пусть теперь последовательность $(x_n)$ фундаментальна. Покажем что существует точка $a$ такая что в произвольной $U_\varepsilon (a)$ содержатся почти все члены $(x_n)$. От противного: предположим, такой точки не существует. Возьмем произвольный $\varepsilon>0$, и пусть $k$ -- номер такой что $\forall m,n>k\ |x_m-x_n|<\varepsilon$. Возьмем в качестве $a$ любой $x_m$, $m>k$. Тогда $\forall n>k\ |x_n-a|<\varepsilon$, т.е. $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$, что противоречит нашему предположению. Из существования такой точки $a$ для любого $\varepsilon>0$ следует сходимость $(x_n)$.

У меня смутное подозрение что со второй частью доказательства не все в порядке, ведь я сначала беру $\varepsilon$, а потом для этого $\varepsilon$ уже нахожу нужную точку $a$, которая вообще может быть разной для разных $\varepsilon$. Это ок или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение02.05.2017, 17:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod в сообщении #1213590 писал(а):
неограниченность последовательности означает либо ее стремление к $+\infty$, либо ее стремление к $-\infty$, либо сосуществование в ней подпоследовательностей неограниченно возрастающих и неограниченно убывающих членов
Последовательность, состоящая из положительных рациональных чисел, не относится ни к одному из трёх перечисленных классов.

-- 02.05.2017, 17:05 --

irod в сообщении #1213661 писал(а):
импликация $\forall n>k\ |x_n-a|<\varepsilon$ $\Rightarrow$ $\forall m,n>k\ |x_m-x_n|<\varepsilon$ очевидна
да, с точностью до множителя.

-- 02.05.2017, 17:13 --

irod в сообщении #1213661 писал(а):
Это ок или нет?
Нет, конечно. Для вот этого утверждения:
irod в сообщении #1213661 писал(а):
существует точка $a$ такая что в произвольной $U_\varepsilon (a)$ содержатся почти все члены $(x_n)$
Вы неправильно формулируете противное (и, кажется, не впервой).

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение02.05.2017, 17:18 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
irod в сообщении #1213661 писал(а):
Это ок или нет?
Нет. Надо бы продолжить. Например, аккуратно расписать отрицание, коли уж решили от противного доказывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение02.05.2017, 21:58 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
irod в сообщении #1213661 писал(а):
У меня смутное подозрение что со второй частью доказательства не все в порядке, ведь я сначала беру $\varepsilon$

Правильное подозрение, причём дело вовсе не в эпсилонах, а в принципе. Ваши попытки так и останутся безнадёжными до тех пор, пока Вы не используете тот факт, что речь идёт именно о вещественных числах (а не о рациональных, скажем).

В ваших цепочках обязательно должны были быть уже какие-то факты, эквивалентные доказываемому. Скорее всего, принцип вложенных отрезков или сходимость ограниченных монотонных последовательностей (что, впрочем, практически одно и то же). Их и задействуйте.

Иначе -- безнадёжно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение08.05.2017, 09:09 


21/02/16
483
grizzly в сообщении #1213667 писал(а):
Вы неправильно формулируете противное (и, кажется, не впервой).
iifat в сообщении #1213670 писал(а):
Нет. Надо бы продолжить. Например, аккуратно расписать отрицание, коли уж решили от противного доказывать.

Забудем про противное, попробую другим способом.
ewert в сообщении #1213747 писал(а):
Скорее всего, принцип вложенных отрезков

Спасибо за совет! Чем дальше тем больше мне нравятся эти вложенные отрезки, не понимаю как я раньше без них жил.
Вот новая попытка доказательства следования сходимости из фундаментальности в рамках задачи 17.

Пусть теперь последовательность $(x_n)$ фундаментальна.
Тогда $(x_n)$ ограничена числом $|x_{k+1}|+\varepsilon$, где $\varepsilon>0$ берется произвольно, а $k$ -- номер такой что $\forall m,n>k\ |x_m-x_n|<\varepsilon$.
Покажем, что $(x_n)$ имеет лишь одну предельную точку. Построим систему вложенных отрезков с помощью следующего алгоритма. Возьмем произвольный $\varepsilon_1>0$, и пусть $k_1$ -- номер такой что $\forall m,n>k_1\ |x_m-x_n|<\varepsilon_1$. Тогда первым отрезком в системе будет $[|x_{k_1+1}|,|x_{k_1+1}|+\varepsilon_1]$. Продолжим, беря на $i$-м шаге алгоритма $\varepsilon_i<\varepsilon_{i-1}$, так чтобы последовательность $(\varepsilon_i)$ длин отрезков стремилась к нулю. Получили систему вложенных отрезков, пересечение которой состоит из одной точки.
Возьмем отрезок с длиной меньше произвольного $\varepsilon>0$. Весь этот отрезок с бесконечным числом членов $(x_n)$ будет содержаться внутри $\varepsilon$-окрестности точки пересечения с.в.о. Следовательно, точка пересечения с.в.о. будет предельной точкой последовательности, причем единственной (ведь вне $i$-го отрезка в системе находится не более чем $k_i$ членов $(x_n)$). Тогда по задаче 14 эта же точка будет и пределом $(x_n)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение08.05.2017, 10:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
irod в сообщении #1214928 писал(а):
Покажем, что $(x_n)$ имеет лишь одну предельную точку.
Обратите внимание, насколько просто было бы сейчас доказать от противного единственность этой предельной точки. А что касается:
ewert в сообщении #1213747 писал(а):
Иначе -- безнадёжно.
оно-то где-то в каком-то смысле так, но не у нас -- мы всё нужное либо бесплатно получили в аксиоматическом определении, либо уже доказали.

Замечания по мелочам:

irod в сообщении #1214928 писал(а):
Тогда первым отрезком в системе будет $[|x_{k_1+1}|,|x_{k_1+1}|+\varepsilon_1]$
В первый же отрезок может не попасть нужная точка.
irod в сообщении #1214928 писал(а):
Возьмем отрезок с длиной меньше произвольного $\varepsilon>0$.
Это звучит как-то не очень.
irod в сообщении #1214928 писал(а):
Следовательно, точка пересечения с.в.о. будет предельной точкой последовательности причем единственной (ведь вне $i$-го отрезка в системе находится не более чем $k_i$ членов $(x_n)$).
Сам факт существования предельной точки уже следует из ограниченности. Для этого с.в.о. строить излишне. А единственность, как я понимаю, Вы предполагаете доказывать от противного, отталкиваясь от уже построенной с.в.о. Как я сказал в начале сообщения, в точности то же доказательство от противного можно провести и без с.в.о. Иначе говоря, для Вашего рассуждения путь с построением с.в.о. выглядит не самым рациональным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение08.05.2017, 11:19 


21/02/16
483
grizzly
спасибо за новые замечания по 17й задаче, отвечу на них чуть позже, а пока разберусь с предыдущей задачей.
irod в сообщении #1213590 писал(а):
Задача 16.б)
Из всякой неограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность, стремящуюся к $+\infty$ или к $-\infty$.

grizzly в сообщении #1213667 писал(а):
irod в сообщении #1213590 писал(а):
неограниченность последовательности означает либо ее стремление к $+\infty$, либо ее стремление к $-\infty$, либо сосуществование в ней подпоследовательностей неограниченно возрастающих и неограниченно убывающих членов
Последовательность, состоящая из положительных рациональных чисел, не относится ни к одному из трёх перечисленных классов.

Кажется понял свою ошибку. Вот новое доказательство.

Пусть последовательность $(x_n)$ неограничена. Возьмем произвольную последовательность $(C_n)$ из неограниченно возрастающих положительных чисел (т.е. стремящуюся к $+\infty$) и сделаем ее перебор, начиная с первого члена. Неограниченность $(x_n)$ означает, что на каждом ($n$-м) шаге найдется $k\in\mathbb{N}$ такое что $|x_k|>C_n$, что в свою очередь распадается на два случая: $x_k>C_n$ при $x_k>0$ и $x_k<-C_n$ при $x_k<0$. Выделим все такие положительные $x_k$ в одну подпоследовательность, а отрицательные $x_k$ -- в другую. Этот алгоритм показывает существование подпоследовательности, стремящуюся к $+\infty$ или к $-\infty$, в любой неограниченной последовательности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение08.05.2017, 11:43 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
irod в сообщении #1214974 писал(а):
что в свою очередь распадается на два случая:

Распасть следовало в самом начале: "1). Предположим, что последовательность не ограничена сверху... 2). Теперь предположим, что снизу..."

irod в сообщении #1214974 писал(а):
Неограниченность $(x_n)$ означает, что на каждом ($n$-м) шаге найдется $k\in\mathbb{N}$ такое что $|x_k|>C_n$,

Этого недостаточно -- это пока ещё не подпоследовательность, не хватает нескольких слов.

Сама по себе идея взять последовательность возрастающих $C_n$, притом именно абстрактно возрастающих -- вполне правильная, но далее надо аккуратнее.

grizzly в сообщении #1214948 писал(а):
мы всё нужное либо бесплатно получили в аксиоматическом определении,

Ну а в каком виде была изначально аксиома полноты?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение08.05.2017, 11:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
ewert в сообщении #1214983 писал(а):
Ну а в каком виде была изначально аксиома полноты?
Поле действительных чисел определяется как упорядоченное поле, удовлетворяющее аксиоме о точной верхней грани.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение08.05.2017, 12:02 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
grizzly в сообщении #1214992 писал(а):
аксиоме о точной верхней грани.

Тогда следующий естественный шаг -- это сходимость монотонных ограниченных последовательностей. Надо полагать, что он уже был.

Если так, то напрашивается рассмотрение монотонных последовательностей $b_n=\inf\limits_{k\geqslant n}a_k$ и $c_n=\sup\limits_{k\geqslant n}a_k$. Знание частичных пределов при этом необязательно, но нужно, конечно, знать об ограниченности фундаментальной последовательности (это в любом случае должно идти сразу после определения фундаментальности). И ещё желательно (но не обязательно) уже иметь теорему о двух милиционерах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение08.05.2017, 12:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
ewert
У нас были доказаны ранее важные свойства системы вложенных отрезков (через равенство т.в. и т.н. граней). Там использовалась эта аксиома. С помощью этих свойств мы доказали, что ограниченная последовательность содержит предельную точку. Монотонности пока не было, милиционеров тоже -- всё это ещё будет, конечно, но пока проще обходиться без этого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение08.05.2017, 12:37 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
grizzly в сообщении #1215014 писал(а):
Монотонности пока не было,

Но я ведь уже говорил: с точки зрения использования в доказательствах что монотонные последовательности, что вложенные отрезки -- практически одно и то же. Не хочется последовательностей -- ровно с тем же успехом можно рассмотреть отрезки $[b_n;c_n]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение08.05.2017, 12:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
ewert в сообщении #1215021 писал(а):
Не хочется последовательностей
Здесь вопрос не в том, что кому хочется, а в том, как построено изложение в учебнике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение08.05.2017, 13:05 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #1215024 писал(а):
Здесь вопрос не в том, что кому хочется, а в том, как построено изложение в учебнике.

Можно подумать, что автор изложил так потому, что ему этого не хотелось. Вот именно в этом месте очень легко подстроиться под любой вариант изложения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение08.05.2017, 21:32 


21/02/16
483
ewert в сообщении #1214983 писал(а):
Распасть следовало в самом начале: "1). Предположим, что последовательность не ограничена сверху... 2). Теперь предположим, что снизу..."

Ок. Вообще с такими задачами мне не всегда понятно где я имею полное право сослаться на очевидность, а где надо доказывать/проговаривать (особенно если все кажется очевидным :-) ). Неравенства с модулем кстати только недавно надо было доказывать (например задача 1 этого листка).
ewert в сообщении #1214983 писал(а):
irod в сообщении #1214974 писал(а):
Неограниченность $(x_n)$ означает, что на каждом ($n$-м) шаге найдется $k\in\mathbb{N}$ такое что $|x_k|>C_n$,

Этого недостаточно -- это пока ещё не подпоследовательность, не хватает нескольких слов.

Конечно, я забыл добавить что порядок членов в подпоследовательности должен быть сохранен:
Неограниченность $(x_n)$ означает, что на каждом ($n$-м) шаге найдется $k_n\in\mathbb{N}$ такое что $k_n>k_{n-1}$ и $|x_{k_n}|>C_n$.
(на первом шаге конечно без этого дополнительного условия)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 160 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 11  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: lantza


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group