Момент инерции шара

[mindroz]

Помогите, пожалуйста, вывести формулу для момента инерции шара массой m, радиуса R.
Я вывел представлением шара в виде тонких сфер, дисков, в сферической системе координат разбиением на маленькие кусочки. Мне надо ещё 3 каких-то способа.
Подскажите, пожалуйста, способы, а я буду стараться их реализовать:).

[Metford]

mindroz в сообщении #1207985 писал(а):

Мне надо ещё 3 каких-то способа.

Зачем? И почему именно три?

Воспользуйтесь тем, что моменты инерции относительно трёх взаимно перпендикулярных осей равны между собой.

[Formalizator]

Если шар равномерной плотности, то одним интегрированием получают выражение для массы шара через плотность и радиус, другим интегрированием получают выражение для момента инерции шара через плотность и радиус, далее из этих уравнений получают выражение для момента инерции шара через массу и радиус.

Для этой задачи проще использовать сферическую систему координат. Можно и цилиндрическую.

[mindroz]

Metford в сообщении #1207986 писал(а):

mindroz в сообщении #1207985 писал(а):

Мне надо ещё 3 каких-то способа.

Зачем? И почему именно три?

Может 2:D. Нужно вычислить разными способами

Metford в сообщении #1207986 писал(а):

Воспользуйтесь тем, что моменты инерции относительно трёх взаимно перпендикулярных осей равны между собой.

Знаю теорему, что $I_{x}+I_{y}+I_{z}=2I_{цм}$, в нашем случае можно записать, что $3I_{x}=2I_{цм}$. Но я плохо понимаю что такое $I$ в нашем случае, подскажите.

И ещё 1 способ нужен, пожалуйста:).

[svv]

mindroz в сообщении #1208062 писал(а):

Знаю теорему, что $I_{x}+I_{y}+I_{z}=2I_{\text{цм}}$, в нашем случае можно записать, что $3I_{x}=2I_{\text{цм}}$. Но я плохо понимаю что такое $I$ в нашем случае, подскажите.

Чтобы «цм» отобразилось в формуле, надо так: \text{цм}. Это момент инерции относительно точки, которая в общем случае не является центром масс (хоть в данном случае это и верно), поэтому я бы его обозначил $I_O$, где $O$ — центр шара.

Так вот, совершенно неважно, что это такое и какой оно имеет физический смысл. А важно то, что складывая
$I_x=\int (y^2+z^2)\;dm$,
$I_y=\int (z^2+x^2)\;dm$,
$I_z=\int (x^2+y^2)\;dm$,
Вы получаете $2\int r^2\;dm$, где интеграл берётся очень просто, так как подинтегральная функция зависит только от $r$.

[fred1996]

Еще один способ - интегрирование момента инерции тонкой сферы.
Или наоборот.
Для тонкой сферы получаем дифференцирование момента инерции шара.
Естественно, итегрирование и дифференцирование нужно проводить по радиусу.

[Metford]

Этот метод автором уже упомянут. По-моему ещё осталось в лоб проинтегрировать в декартовых координатах. Извращение, конечно. Но искать шесть способов вычислить момент инерции шара - тоже то ещё извращение.

Вообще, всегда считал, что превращать задачу вычисления момента инерции во что-то большее - совершенно ненужное занятие.

[fred1996]

Не нужное для кого?
Думаю студентов как раз следует такими вещами нагружать.
Вот к примеру есть конус.
Как сосчитать его момент инерции относительно оси, лежащей на его боковой поверзности?

[DimaM]

Metford в сообщении #1208078 писал(а):

По-моему ещё осталось в лоб проинтегрировать в декартовых координатах.

В полярных можно. В декартовых как-то совсем уныло.

-- 10.04.2017, 15:59 --

Безотносительно конкретной задачи, факт, достойный упоминания. Для тонкого плоского тела пусть оси $x,y$ лежат в плоскости, а $z$ - перпендикулярно плоскости, и проходят через центр масс. Тогда $I_z=I_x+I_y$, что в случае симметрии позволяет легко находить момент инерции (например, для диска относительно оси в его плоскости, проходящей через центр).

[Metford]

DimaM в сообщении #1208133 писал(а):

В полярных можно.

Простите... Шар - объёмное тело - в полярных координатах - которые на плоскости?.. Или Вы цилиндрические имели в виду?

DimaM в сообщении #1208133 писал(а):

В декартовых как-то совсем уныло.

Но возможно. Мы ведь все варианты перебираем, как я понимаю. Хотя грустное занятие, согласен.

fred1996 в сообщении #1208105 писал(а):

Не нужное для кого?

А ни для кого. Момент инерции - это, как правило, интеграл. Интегралы учат вычислять в курсе математического анализа. Так что превращать формальную процедуру в самостоятельную задачу - искусственное усложнение. Лучше то же время потратить на задачу с физическим смыслом.

[DimaM]

Metford в сообщении #1208136 писал(а):

Простите... Шар - объёмное тело - в полярных координатах - которые на плоскости?.. Или Вы цилиндрические имели в виду?

Сферические, конечно .

[fred1996]

fred1996 в сообщении #1208105 писал(а):

Не нужное для кого?

Цитата:

А ни для кого. Момент инерции - это, как правило, интеграл. Интегралы учат вычислять в курсе математического анализа. Так что превращать формальную процедуру в самостоятельную задачу - искусственное усложнение. Лучше то же время потратить на задачу с физическим смыслом.

Хе-хе.
Практика преподавания показывает, что студенты поначалу не понимают, как связать физику с математикой. Может они уже научились брать интегралы и даже решать простейшие дифуры. Вот только правильно составлять их нет. Есть много задач в электростатике и магнитостатике, где сосчитать интегралы вроде не составляет труда. Но загвоздка как получить их.
Кстати, даже при подсчете момента инерции есть еще прием подобия, когда брать интегралы вовсе не требуется. А требуется просто применить теорему о параллельных осях и принцип подобия.

Так что все путем. Пусть тренируются на различных способах даже в простейших задачах.
И упомянутый выше способ перпендикулярных осей для подсчета момента инерции плоских фигур тоже имеет наглядный физический смысл.

[Metford]

fred1996 в сообщении #1208148 писал(а):

Есть много задач в электростатике и магнитостатике, где сосчитать интегралы вроде не составляет труда.

Ага. А ещё больше, где составляет, да ещё как.

fred1996 в сообщении #1208148 писал(а):

Практика преподавания показывает, что студенты поначалу не понимают, как связать физику с математикой. Может они уже научились брать интегралы и даже решать простейшие дифуры. Вот только правильно составлять их нет.

Составление интеграла к моменту инерции не имеет прямого отношения в рамках физики. В определении момента инерции чёрным по белому написано, как должен быть записан интеграл. Всё остальное - техническая реализация. И если, как Вы говорите, "они уже научились брать интегралы", то эта самая реализация к делу уже не относится. А практика и у меня самого имеется. И вот она показывает, что на момент изучения момента инерции - а это первый семестр - студенту гораздо полезнее понимать смысл этой величины и решать задачи с её использованием. Для этих целей достаточно уметь вычислять моменты инерции самых простых тел, для чего хватает багра и ведра с песком теоремы Штейнера и элементарной техники интегрирования. А двойные-тройные интегралы их должны математики научить считать, ибо да будет каждый заниматься своим делом. И семинар не резиновый, к сожалению. Физически осмысленные задачи поэтому должны быть номером один. Моё мнение.

Впрочем, это методические рассуждения, к вопросу ТС отношения не имеющие. Оффтоп прекращаю.

[arseniiv]

Мне так вообще задачи «сделайте штуку $n$ способами» кажутся издевательскими. Их обычно составляют, не проверив, насколько нужный набор способов очевиден решающим, особенно если $n$ не указано, а заменено на «многими» с неявно добавляемым «и под этим я подразумеваю не двумя и, что вы, явно же не тремя — в крайнем случае четырьмя». Или перечисли способы явно, или укажи, из каких соображений решающему их единственным образом найти, если именно в этом состоит задача (не секрет, что многие задачи сдуваются, если с них снять всё внешнее — ну так значит этим задачам место уровнем ниже, а здесь нужно взять какие-то другие).

-- Пн апр 10, 2017 17:12:05 --

Хотя я предвзят.

[Munin]

Бывает случай, когда такие задачи не издевательские: когда эти способы были явно перечислены раньше в курсе обучения. Например, "решить систему линейных уравнений методом Крамера и методом Гаусса".