Кроме того, уравнение Шрёдингера нерелятивистской квантовой механики не предсказывает никаких квантовых переходов, а предсказывает, что стационарное состояние не меняется со временем
Добавьте в Гамильтониан электромагнитное поле (причём не важно, классическое поле, или в виде фотонов), и переходы у Вас появятся.

При этом, задача
может перестать быть стационарной.
Причём Вы
сами об этом говорите:
Думается, лучше рассматривать квантовое состояние и его эволюцию в соответствии с уравнением Шрёдингера не для молекулы, а для системы "молекула и электромагнитное поле".
Вот Вам думается, а люди так уже почти 100 лет так
успешно делают, так что это можно было и в книжке прочитать.
Что же такое "квантовый переход" (при поглощении или испускании электромагнитного излучения молекулой)
При поглощении это:

.
Испускание:

.
При условии, что энергия фотона

, в качестве домашки найдите разницу энергий состояний "A" и "B".
(нудёж)
конечно, резкого перехода при решении уравнения Шрёдингера нет, меняются (по времени) коэффициенты

и

перед этими состояниями:

Мало того, исходя из этого описания вычисляются
интенсивности соответствующих переходов.

Вы, например, могли слышать о том, что флуоресценция -- это разрешённый переход, а фосфоресценция -- запрещённый. Вот это и означает, что вероятность протекания первого процесса -- большая, а второго -- маленькая.