Наивные вопросы о производной

[Anton_Peplov]

Здесь я буду задавать наивные вопросы о производной функции $f: A \subset \mathbb R \to \mathbb R$. Вопросы задаются по одному, следующий после закрытия предыдущего.

Вопрос № 1. Производная и средняя скорость.

Назовем средней скоростью изменения функции на отрезке $[a, b]$ величину $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
Очень хочется доказать такую теоремку.

Пусть функция $f$ дифференцируема во внутренней точке своей области определения $c$. Рассмотрим последовательность $\{a\}$, сходящуюся к $c$ слева, и последовательность $\{b\}$, сходящуюся к $c$ справа. Тогда последовательность $\{v\}$, где $v_i$ есть средняя скорость изменения функции на участке $[a_i, b_i]$, сходится к $f^\prime(c)$.

Пытаюсь доказать. Для любых элементов $a$ и $b$ указанных последовательностей имеем

\begin{multline*} \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{f(b) - f(c) + f(c) - f(a)}{b - a} = \frac{f(b) - f(c)}{b - a} + \frac{f(c) - f(a)}{b - a} = \\ = \frac{f(b) - f(c)}{b - a} \frac{b - c}{b - c} + \frac{f(c) - f(a)}{b - a} \frac{c-a}{c - a} = \frac{f(b) - f(c)}{b - c} \frac{b - c}{b - a} + \frac{f(c) - f(a)}{c - a} \frac{c - a}{b - a} \end{multline}

Дальше очень хочется перейти к пределам и сказать, что

\begin{multline*} \lim_{n \to \infty} \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \lim_{n \to \infty} \frac{f(b) - f(c)}{b - c} \lim_{n \to \infty} \frac{b - c}{b - a} + \lim_{n \to \infty} \frac{f(c) - f(a)}{c - a} \lim_{n \to \infty} \frac{c - a}{b - a} = \\ = f^\prime(c) \lim_{n \to \infty}\left (\frac{b - c}{b - a} + \frac{c - a}{b - a} \right ) = f^\prime (c) \end{multline*}

Увы, законность такого колдунства под вопросом, ибо теоремы о сложении и умножении пределов сформулированы для последовательностей, каждая из которых имеет предел. Между тем, скажем, последовательность $\left \{\dfrac{b - c}{b - a} \right \}$ может не иметь предела. Для этого достаточно положить, что $b_n = c + \dfrac{1}{2^n}$ при любых $n$, $a_n = c - \dfrac{1}{2^n}$ при нечетных $n$ и $a_n = c - \dfrac{3}{2^n}$ при четных $n$. Тогда $\dfrac{b_n - c}{b_n - a_n}$ будет при нечетных $n$ равняться $1/2$, а при четных $1/4$.

Может быть, я в принципе пошел не по тому пути? Тут просится теорема о двух милиционерах, но на кого надеть погоны? На левую и правую производные? В упор не вижу для них соответствующих неравенств.

Пните меня, что ли, в плодотворном направлении.

[Mikhail_K]

$$ f(b)=f(c)+f^\prime(c)(b-c)+o(b-c),\quad f(a)=f(c)-f^\prime(c)(c-a)+o(c-a). $$

Подставьте в свою формулу для средней скорости и воспользуйтесь тем, что $o(b-c)=o(b-a)$, $o(c-a)=o(b-a)$.

[Anton_Peplov]

Mikhail_K в сообщении #1205683 писал(а):

воспользуйтесь тем, что $o(b-c)=o(b-a)$

Ох. Никогда я с этими $o$ работать не умел, у меня от них центральный поршень заклинивает.

По определению, $o(f(x))$ - это такая функция $g(x)$, что

$$ \lim_{x \to 0} \dfrac{g(x)}{f(x)} = 0 $$

Что еще мне надо знать о свойствах $o$, чтобы уразуметь, что $o(b-c)=o(b-a)$?

[kp9r4d]

$\frac{f(b)-f(c)}{b-c}=f'(c) + o(1)$, $o(1)$ - это простой очень объект, это просто какая-то последовательность стремящаяся к нулю, при $n \to \infty$, если вам неуютно, то давайте запишем $\frac{f(b)-f(c)}{b-c}=f'(c) + \alpha_n$ где $\lim_{n \to \infty} \alpha_n = 0$.
Соответственно $\frac{f(c) - f(a)}{c-a} = f'(c) + \beta_n$, где $\lim_{n \to \infty} \beta_n = 0$.
Подставим теперь в ваши равенства

$$(f'(c) + \alpha_n)\frac{b-c}{b-a} + (f'(c) + \beta_n)\frac{c-a}{b-a}$$

теперь раскройте скобки, помня, что $\frac{b-c}{b-a}$ может, конечно, предела не иметь, но важно, что это ограниченная последовательность, потому как $|b-c| < |b-a|$ по вашему условию, а значит $|\frac{b-c}{b-a}| < 1$. А затем нужно вспомнить, что последовательность стремящаяся к нулю умноженная на ограниченную даст последовательность стремящуюся к нулю.

[Mikhail_K]

Anton_Peplov в сообщении #1205695 писал(а):

Что еще мне надо знать о свойствах $o$, чтобы уразуметь, что $o(b-c)=o(b-a)$?

Да ничего больше не нужно.
Если $\frac{g}{b-c}\to 0$, то $\frac{g}{b-a}\to 0$ тем более в силу $b-a\geq b-c\geq 0$.
Какого бы знака ни было $g$.

Равенство $o(b-c)=o(b-a)$ тут понимается только в одну сторону: т.е. если $g=o(b-c)$, то $g=o(b-a)$. Этого достаточно.

[iifat]

Теорему Лагранжа ещё стоит, имхо, посмотреть. При каких-то там условиях, кои никогда не помнил, $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)$, где $\xi$ — некая внутренняя точка отрезка.

[Mikhail_K]

iifat в сообщении #1205749 писал(а):

Теорему Лагранжа ещё стоит, имхо, посмотреть. При каких-то там условиях, кои никогда не помнил, $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)$, где $\xi$ — некая внутренняя точка отрезка.

Нет, там требуется как минимум дифференцируемость на целом промежутке. А чтобы её применить в данной ситуации - наверное, ещё и непрерывная дифференцируемость потребуется.
А Anton_Peplov предполагает дифференцируемость только в одной точке.

[slavav]

А если вот так? Введём среднюю скорость роста функции $f$: $v(a, b) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
Потребуем $a < c < b$. Тогда:

$f(b) - f(a) = f(b) - f(c) + f(c) - f(a)$

$(b - a)v(a, b) = (b - c)v(c, b) + (c - a)v(a, c)$

$v(a, b) = \frac{b - c}{b - a}v(c, b) + \frac{c - a}{b - a}v(a, c)$

Обозначим $\alpha = \frac{b - c}{b - a}$. Тогда:

$v(a, b) = \alpha v(c, b) + (1 - \alpha)v(a, c), 0<\alpha<1$.

Тогда:

$$$\begin{cases} v(c, b)<v(a,b)<v(a,c),&\text{если $v(c, b)<v(a,c)$;}\\ v(c, b)>v(a,b)>v(a,c),&\text{если $v(c, b)>v(a,c)$;}\\ v(c, b)=v(a,b)=v(a,c),&\text{если $v(c, b)=v(a,c)$.} \end{cases}$$$

В одну строку: $\min\{v(c, b),v(a,c)\}\leqslant v(a,b) \leqslant \max\{v(c, b),v(a,c)\}$ (1)

Найдём предел для $\min$:

$\lim\limits_{n\to\infty}^{}\min\{v(c, b_n),v(a_n,c)\} = \min\{\lim\limits_{n\to\infty}^{}v(c, b_n),\lim\limits_{n\to\infty}^{}v(a_n,c)\}=\min\{f'(c),f'(c)\} = f'(c)$

Перeйдём к пределу в (1):

$f'(c)\leqslant \lim\limits_{n\to\infty}^{}v(a_n,b_n) \leqslant f'(c)$

[Anton_Peplov]

Дорогие друзья, спасибо, пока советов вполне достаточно. Я разберусь с этим завтра, когда у меня включится мозг. Очень устал за день.

[Anton_Peplov]

Вопрос № 1 закрыт, всем спасибо.

Я воспользовался подробной подсказкой kp9r4d. Подход slavav мне тоже понравился, но детально выкладки я не воспроизводил.

[ewert]

Anton_Peplov в сообщении #1205922 писал(а):

Подход slavav мне тоже понравился, но детально выкладки я не воспроизводил.

Там дело не в деталях, а в принципиальном подходе. Тот факт, что или $\frac{f(c)-f(c-\varepsilon_k)}{\varepsilon_k}\leqslant\frac{f(c+\delta_k)-f(c-\varepsilon_k)}{\varepsilon_k+\delta_k}\leqslant\frac{f(c+\delta_k)-f(c)}{\delta_k}$, или наоборот (средний наклон на участке зажат средними наклонами для его левой и его правой частей) -- геометрически очевиден, и аналитически его обосновывать имеет смысл разве что при уж очень страстном желании. В любом случае получается $\frac{f(c+\delta_k)-f(c-\varepsilon_k)}{\varepsilon_k+\delta_k}=\theta_k\cdot\frac{f(c)-f(c-\varepsilon_k)}{\varepsilon_k}+(1-\theta_k)\frac{f(c+\delta_k)-f(c)}{\delta_k}$, где $\theta_k\in[0;1]$ а чему именно $\theta_k$ равна -- уж и неважно. Дальше, если неохота о-маленьких, то попросту $\frac{f(c)-f(c-\varepsilon_k)}{\varepsilon_k}=f'(c)+\alpha_k$ и $\frac{f(c+\delta_k)-f(c)}{\delta_k}=f'(c)+\beta_k$, где $\alpha_k,\;\beta_k\to0$, вот и всё.

Кстати, есть смысл доказывать более сильное утверждение: что дифференцируемость в точке $c$ равносильна существованию двойного предела $\lim\limits_{\varepsilon,\delta\to+0}\frac{f(c+\delta)-f(c-\varepsilon)}{\varepsilon+\delta}$ (правда, при дополнительном предположении, что функция в этой точке непрерывна).

[Anton_Peplov]

Вопрос № 2. Производная и средняя скорость: продолжение

Как и прежде, назовем средней скоростью изменения функции на отрезке $[a, b]$ величину $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$.

В прошлый раз мы доказали такое утверждение. Пусть функция $f$ дифференцируема во внутренней точке своей области определения $c$. Рассмотрим последовательность $\{a\}$, сходящуюся к $c$, и последовательность $\{b\}$, сходящуюся к $c$, причем для любого $i$ верно $a_i < c < b_i$. Тогда последовательность $\{v\}$, где $v_i$ есть средняя скорость изменения функции на участке $[a_i, b_i]$, сходится к $f^\prime(c)$.

Теперь хочется доказать обратное утверждение и тем самым установить, что производная есть в точности предел средней скорости. А именно, пусть $c$ - внутренняя точка области определения функции. Пусть для любых последовательностей $\{a\}$ и $\{b\}$ сходящихся к $c$, причем для любого $i$ верно $a_i < c < b_i$, последовательность $\{v\}$, где $v_i$ есть средняя скорость изменения функции на участке $[a_i, b_i]$, сходится к числу $\gamma$. Доказать, что тогда функция дифференцируема в точке $c$, причем $f^\prime(c) = \gamma$.

Пытаюсь доказать. Возьмем произвольную последовательность $\{d\}$, сходящуюся к $c$, но не содержащую его. Требуется доказать, что $\lim_{n \to \infty} \frac{f(d) - f(c)}{d - c} = \gamma$. Может встретиться три ситуации:
1) $\{d\}$ сходится к $c$ слева
2) $\{d\}$ сходится к $c$ справа
3) $\{d\}$ можно разбить на две на две подпоследовательности - $\{d_1\}$, сходящуюся к $c$ слева, и $\{d_2\}$, сходящуюся к $c$ справа.
Итак, если мы докажем, что для произвольной последовательности $\{x\}$, сходящейся к $c$ слева или справа, верно $\lim_{n \to \infty} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} = \gamma$, мы докажем утверждение теоремы.

Все значительно упростилось бы, если бы верным оказалось такое утверждение: «Пусть для любых последовательностей $\{a\}$ и $\{b\}$ сходящихся к $c$, причем для любого $i$ верно $a_i < c < b_i$, последовательность $\{v\}$, где $v_i$ есть средняя скорость изменения функции на участке $[a_i, b_i]$, сходится к числу $\gamma$. Тогда для любых последовательностей $\{a\}$ и $\{b\}$ сходящихся к $c$, причем для любого $i$ верно $a_i \leqslant c \leqslant b_i$, но $b_i$ и $a_i$ никогда не равны $c$ одновременно, последовательность $\{v\}$, где $v_i$ есть средняя скорость изменения функции на участке $[a_i, b_i]$, сходится к тому же самому числу $\gamma$». Будь это утверждение верным, мы бы просто применили его к последовательности $\{x\}$, взяв в качестве парной стационарную последовательность $\{c\}$. Но, увы, такое утверждение неверно - пример дается функцией с устранимым разрывом в точке $c$. Выносить же в условие непрерывность функции не хочется, ибо цель и состоит в том, чтобы доказать, что существования конечного предела у средней скорости достаточно для дифференцируемости, не говоря про непрерывность.

В общем, я снова прошу меня пнуть.

[Padawan]

Anton_Peplov в сообщении #1209904 писал(а):

Пусть для любых последовательностей $\{a\}$ и $\{b\}$ сходящихся к $c$, причем для любого $i$ верно $a_i < c < b_i$, последовательность $\{v\}$, где $v_i$ есть средняя скорость изменения функции на участке $[a_i, b_i]$, сходится к числу $\gamma$. Доказать, что тогда функция дифференцируема в точке $c$, причем $f^\prime(c) = \gamma$.

Anton_Peplov в сообщении #1209904 писал(а):

Но, увы, такое утверждение неверно - пример дается функцией с устранимым разрывом в точке $c$.

Можно доказать, что при таких условия функция имеет предел в точке $c$, и если её доопределить по непрерывности, то доопределённая функция будет дифференцируема в этой точке.

[Dan B-Yallay]

Anton_Peplov в сообщении #1209904 писал(а):

Теперь хочется доказать обратное утверждение и тем самым установить, что производная есть в точности предел средней скорости. А именно, пусть $c$ - внутренняя точка области определения функции. Пусть для любых последовательностей $\{a\}$ и $\{b\}$ сходящихся к $c$, причем для любого $i$ верно $a_i < c < b_i$, последовательность $\{v\}$, где $v_i$ есть средняя скорость изменения функции на участке $[a_i, b_i]$, сходится к числу $\gamma$. Доказать, что тогда функция дифференцируема в точке $c$, причем $f^\prime(c) = \gamma$.

Anton_Peplov в сообщении #1209904 писал(а):

Но, увы, такое утверждение неверно - пример дается функцией с устранимым разрывом в точке $c$.

По-моему вторая цитата перечеркивает все надежды на доказательство желаемого первого утверждения.

-- Вс апр 16, 2017 09:00:31 --

О, опоздал.

[Munin]

Anton_Peplov
А почему вы углублённые вопросы задаёте в темах "наивные вопросы"?