Наивные вопросы о производной

[Anton_Peplov]

Dan B-Yallay в сообщении #1209907 писал(а):

По-моему вторая цитата перечеркивает все надежды на доказательство желаемого первого утверждения.

Ха, а ведь верно. Это же контрпример к основному утверждению. Возьмем функцию

$$f(x) = \begin{cases} 0,&\text{если $x\ne c$;}\\ 1,&\text{если $x=c$} \end{cases}$$

Для нее средняя скорость изменения на любом отрезке, для которого точка $c$ внутренняя, равна нулю, однако же в точке $c$ разрыв. Получается, что производную все-таки нельзя определять как предел средней скорости по такому отрезку. Интуиция, воспитанная непрерывными функциями, подводит.

-- 16.04.2017, 18:16 --

Munin в сообщении #1209909 писал(а):

А почему вы углублённые вопросы задаёте в темах "наивные вопросы"?

Да бросьте, какие они углубленные. Вполне наивные. До углубленных мне расти и расти.

[Munin]

При первом чтении начального учебника - таких вопросов в таких формулировках не возникает.

[Anton_Peplov]

Слово "наивные" скорее отражает мое субъективное ощущение, что я озираюсь по сторонам, хлопаю варежкой и пытаюсь понять, что происходит, чем какое-то объективное качество этих вопросов. Не надо пытаться приписать точный смысл этому литературному обороту. Ну и не будем развивать оффтоп в ПРР, у меня, думаю, в этой теме будет еще немало вопросов.

[slavav]

Anton_Peplov, к утверждению о средней скорости нужно добавить непрерывность $f$ в точке $c$. Тогда можно доказывать что производная существует и равна пределу средних скоростей.

[Anton_Peplov]

Да, это я уже понял.

[ewert]

Я когда-то доказывал наличие дифференцируемости (при условии непрерывности в точке $c$) примерно так.

$$\frac{f(b_k)-f(c)}{b_k-c}=\frac{f(b_k)-f(a_k)+(f(a_k)-f(c))}{b_k-a_k+(a_k-c)}=\frac{f(b_k)-f(a_k)}{b_k-a_k}\,\cdot\,\frac{b_k-a_k}{b_k-c}+\frac{f(a_k)-f(c)}{b_k-c}.$$

Для произвольной $b_k\to c+0$ подберём такую $a_k\to c-0$, что в последнем выражении третья дробь стремится к нулю (этого можно добиться в силу непрерывности в точке $c$), а вторая -- к единице (это вообще банальность). Тогда получится, что для этой пары последовательностей

$$\lim\limits_{k\to\infty}\frac{f(b_k)-f(c)}{b_k-c}=1\cdot\lim\limits_{k\to\infty}\frac{f(b_k)-f(a_k)}{b_k-a_k}+0.$$

Устранимость разрыва (если он есть) меня не интересовала, но эта устранимость довольно очевидна. Если нет предела, например, слева, то по некоторой последовательности $a_k\to c-0$ будет $|f(a_{2k+1})-f(a_{2k})|>\varepsilon$. И при этом для любой $b_k\to c+0$ выполняется $f(b_{2k})-f(a_{2k})\to0$. Но тогда $\left|\frac{f(b_{2k})-f(a_{2k+1})}{b_{2k}-a_{2k+1}}\right|\to\infty$.