Вопрос № 2. Производная и средняя скорость: продолжениеКак и прежде, назовем средней скоростью изменения функции на отрезке
![$[a, b]$ $[a, b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/4/bd4455e79810acc06e3d31c60fb8bfb282.png)
величину
![$\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/3/94364703f6d54851537ba99ba26cebc582.png)
.
В прошлый раз мы доказали такое утверждение. Пусть функция
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
дифференцируема во внутренней точке своей области определения
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
. Рассмотрим последовательность
![$\{a\}$ $\{a\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/e/c3e2cf59ab52ddb82646528b31dc523a82.png)
, сходящуюся к
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
, и последовательность
![$\{b\}$ $\{b\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/1/3f119c53287d45650d843885ff6ee11582.png)
, сходящуюся к
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
, причем для любого
![$i$ $i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/a/77a3b857d53fb44e33b53e4c8b68351a82.png)
верно
![$a_i < c < b_i$ $a_i < c < b_i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/e/38ed1df689c802f117514e5f596c769982.png)
. Тогда последовательность
![$\{v\}$ $\{v\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/9/679f047ee9870038423efd67e00b8e5182.png)
, где
![$v_i$ $v_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/7/9f7365802167fff585175c1750674d4282.png)
есть средняя скорость изменения функции на участке
![$[a_i, b_i]$ $[a_i, b_i]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/0/620589dfeb9a91d651911f6ae0d97bb482.png)
, сходится к
![$f^\prime(c)$ $f^\prime(c)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/8/b58511edb8150357d08e67c2b3add8ad82.png)
.
Теперь хочется доказать обратное утверждение и тем самым установить, что производная есть в точности предел средней скорости. А именно, пусть
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
- внутренняя точка области определения функции. Пусть для любых последовательностей
![$\{a\}$ $\{a\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/e/c3e2cf59ab52ddb82646528b31dc523a82.png)
и
![$\{b\}$ $\{b\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/1/3f119c53287d45650d843885ff6ee11582.png)
сходящихся к
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
, причем для любого
![$i$ $i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/a/77a3b857d53fb44e33b53e4c8b68351a82.png)
верно
![$a_i < c < b_i$ $a_i < c < b_i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/e/38ed1df689c802f117514e5f596c769982.png)
, последовательность
![$\{v\}$ $\{v\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/9/679f047ee9870038423efd67e00b8e5182.png)
, где
![$v_i$ $v_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/7/9f7365802167fff585175c1750674d4282.png)
есть средняя скорость изменения функции на участке
![$[a_i, b_i]$ $[a_i, b_i]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/0/620589dfeb9a91d651911f6ae0d97bb482.png)
, сходится к числу
![$\gamma$ $\gamma$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/c/11c596de17c342edeed29f489aa4b27482.png)
. Доказать, что тогда функция дифференцируема в точке
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
, причем
![$f^\prime(c) = \gamma$ $f^\prime(c) = \gamma$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/a/0da94155760d6e18a715b590dd9f3cba82.png)
.
Пытаюсь доказать. Возьмем произвольную последовательность
![$\{d\}$ $\{d\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/3/853c3f2c7afa66184e2bb55def007da882.png)
, сходящуюся к
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
, но не содержащую его. Требуется доказать, что
![$\lim_{n \to \infty} \frac{f(d) - f(c)}{d - c} = \gamma$ $\lim_{n \to \infty} \frac{f(d) - f(c)}{d - c} = \gamma$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/2/032f48282cf8f5f4047471ec6975e2a182.png)
. Может встретиться три ситуации:
1)
![$\{d\}$ $\{d\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/3/853c3f2c7afa66184e2bb55def007da882.png)
сходится к
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
слева
2)
![$\{d\}$ $\{d\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/3/853c3f2c7afa66184e2bb55def007da882.png)
сходится к
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
справа
3)
![$\{d\}$ $\{d\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/3/853c3f2c7afa66184e2bb55def007da882.png)
можно разбить на две на две подпоследовательности -
![$\{d_1\}$ $\{d_1\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/7/3872a64f38a720d5137729ac6d17732f82.png)
, сходящуюся к
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
слева, и
![$\{d_2\}$ $\{d_2\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/3/3e32d9ddf3ab7708a73a71251feac5ef82.png)
, сходящуюся к
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
справа.
Итак, если мы докажем, что для произвольной последовательности
![$\{x\}$ $\{x\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/f/80f85fea158e9e8fc4a826f56087b28d82.png)
, сходящейся к
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
слева или справа, верно
![$\lim_{n \to \infty} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} = \gamma$ $\lim_{n \to \infty} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} = \gamma$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/0/be00885ed21c5a9178878840e09cfc4d82.png)
, мы докажем утверждение теоремы.
Все значительно упростилось бы, если бы верным оказалось такое утверждение: «Пусть для любых последовательностей
![$\{a\}$ $\{a\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/e/c3e2cf59ab52ddb82646528b31dc523a82.png)
и
![$\{b\}$ $\{b\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/1/3f119c53287d45650d843885ff6ee11582.png)
сходящихся к
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
, причем для любого
![$i$ $i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/a/77a3b857d53fb44e33b53e4c8b68351a82.png)
верно
![$a_i < c < b_i$ $a_i < c < b_i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/e/38ed1df689c802f117514e5f596c769982.png)
, последовательность
![$\{v\}$ $\{v\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/9/679f047ee9870038423efd67e00b8e5182.png)
, где
![$v_i$ $v_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/7/9f7365802167fff585175c1750674d4282.png)
есть средняя скорость изменения функции на участке
![$[a_i, b_i]$ $[a_i, b_i]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/0/620589dfeb9a91d651911f6ae0d97bb482.png)
, сходится к числу
![$\gamma$ $\gamma$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/c/11c596de17c342edeed29f489aa4b27482.png)
. Тогда для любых последовательностей
![$\{a\}$ $\{a\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/e/c3e2cf59ab52ddb82646528b31dc523a82.png)
и
![$\{b\}$ $\{b\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/1/3f119c53287d45650d843885ff6ee11582.png)
сходящихся к
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
, причем для любого
![$i$ $i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/a/77a3b857d53fb44e33b53e4c8b68351a82.png)
верно
![$a_i \leqslant c \leqslant b_i$ $a_i \leqslant c \leqslant b_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/6/8067469bc8c978cdc18f31d805b90bed82.png)
, но
![$b_i$ $b_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/a/d3aa71141bc89a24937c86ec1d350a7c82.png)
и
![$a_i$ $a_i$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/e/65ed4b231dcf18a70bae40e50d48c9c082.png)
никогда не равны
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
одновременно, последовательность
![$\{v\}$ $\{v\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/9/679f047ee9870038423efd67e00b8e5182.png)
, где
![$v_i$ $v_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/7/9f7365802167fff585175c1750674d4282.png)
есть средняя скорость изменения функции на участке
![$[a_i, b_i]$ $[a_i, b_i]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/0/620589dfeb9a91d651911f6ae0d97bb482.png)
, сходится к тому же самому числу
![$\gamma$ $\gamma$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/c/11c596de17c342edeed29f489aa4b27482.png)
». Будь это утверждение верным, мы бы просто применили его к последовательности
![$\{x\}$ $\{x\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/f/80f85fea158e9e8fc4a826f56087b28d82.png)
, взяв в качестве парной стационарную последовательность
![$\{c\}$ $\{c\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/4/5/54503bfb2865a3ed5bb8f924c557ab2282.png)
. Но, увы, такое утверждение неверно - пример дается функцией с устранимым разрывом в точке
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
. Выносить же в условие непрерывность функции не хочется, ибо цель и состоит в том, чтобы доказать, что существования конечного предела у средней скорости достаточно для дифференцируемости, не говоря про непрерывность.
В общем, я снова прошу меня пнуть.