диффуры

[Spook]

Есть два диф. уравнения $y''=0$ и $y''+qy=0$. Вот их решения соответственно:
$C_1t+C_2$ и

$$C_1\exp^{q^{1/2}t}+C_2\exp^{-q^{1/2}t}$$

.

Вопросы:

1. Почему при $q=0$ решение второго не равно решению первого?
2. Линейно независимые решния у второй функции $exp^{q^{1/2}t}$ и $exp^{-q^{1/2}t}$, а какие у первой?

[worm2]

Spook писал(а):

1. Почему при $q=0$ решение второго не равно решению первого?

Ну, так получилось
Вы же не удивляетесь, например, что первообразная функции $x^a$, где a <> -1, равна $x^{a+1}/(a+1)$, а первообразная функции $x^a$ при a = -1 равна $\ln|x|$, что не получить подстановкой a=-1 в первую формулу?

Spook писал(а):

2. Линейно независимые решния у второй функции $exp^{q^{1/2}t}$ и $exp^{-q^{1/2}t}$, а какие у первой?

1 и t.

[Spook]

Да, касательно второго вопроса все ясно. По поводу первого немного неубедительно, мы просто определили так при разных $a$ вот и все, неоднозначности нет.

[Gafield]

Можно предельным переходом:

$$ C_1\cos (q^{1/2}t)+C_2q^{-1/2}\sin (q^{1/2}t). $$

[Spook]

тогда получается просто $C_1$

[ewert]

Spook писал(а):

Есть два диф. уравнения $y''=0$ и $y''+qy=0$. Вот их решения соответственно:
$C_1t+C_2$ и

$$C_1\exp^{q^{1/2}t}+C_2\exp^{-q^{1/2}t}$$

.

Вопросы:

1. Почему при $q=0$ решение второго не равно решению первого?

Если серьёзнее. Потому, что вторая сумма получено в предположении, что корни характеристического уравнения различны, а при предельном переходе к нулю оно нарушается.

Кстати, занятно, что вопрос вовсе не бессмысленный. Если программировать решение при всех значениях параметра, то действительно около нуля возникают проблемы с численной устойчивостью (за счёт погрешностей округления).