2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 диффуры
Сообщение19.05.2008, 19:58 
Аватара пользователя
Есть два диф. уравнения $y''=0$ и $y''+qy=0$. Вот их решения соответственно:
$C_1t+C_2$ и $$C_1\exp^{q^{1/2}t}+C_2\exp^{-q^{1/2}t}$$.

Вопросы:

1. Почему при $q=0$ решение второго не равно решению первого?
2. Линейно независимые решния у второй функции $exp^{q^{1/2}t}$ и $exp^{-q^{1/2}t}$, а какие у первой?

 
 
 
 Re: диффуры
Сообщение19.05.2008, 20:09 
Аватара пользователя
Spook писал(а):
1. Почему при $q=0$ решение второго не равно решению первого?

Ну, так получилось :)
Вы же не удивляетесь, например, что первообразная функции $x^a$, где a <> -1, равна $x^{a+1}/(a+1)$, а первообразная функции $x^a$ при a = -1 равна $\ln|x|$, что не получить подстановкой a=-1 в первую формулу?

Spook писал(а):
2. Линейно независимые решния у второй функции $exp^{q^{1/2}t}$ и $exp^{-q^{1/2}t}$, а какие у первой?

1 и t.

 
 
 
 
Сообщение19.05.2008, 20:17 
Аватара пользователя
Да, касательно второго вопроса все ясно. По поводу первого немного неубедительно, мы просто определили так при разных $a$ вот и все, неоднозначности нет.

 
 
 
 
Сообщение19.05.2008, 20:44 
Можно предельным переходом:
$$
C_1\cos (q^{1/2}t)+C_2q^{-1/2}\sin (q^{1/2}t).
$$

 
 
 
 
Сообщение19.05.2008, 21:14 
Аватара пользователя
тогда получается просто $C_1$

 
 
 
 Re: диффуры
Сообщение19.05.2008, 22:25 
Spook писал(а):
Есть два диф. уравнения $y''=0$ и $y''+qy=0$. Вот их решения соответственно:
$C_1t+C_2$ и $$C_1\exp^{q^{1/2}t}+C_2\exp^{-q^{1/2}t}$$.

Вопросы:

1. Почему при $q=0$ решение второго не равно решению первого?

Если серьёзнее. Потому, что вторая сумма получено в предположении, что корни характеристического уравнения различны, а при предельном переходе к нулю оно нарушается.

Кстати, занятно, что вопрос вовсе не бессмысленный. Если программировать решение при всех значениях параметра, то действительно около нуля возникают проблемы с численной устойчивостью (за счёт погрешностей округления).

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group