бесконечномерные векторные пространства

[Профессор Снэйп]

RIP писал(а):

Вы просто заменили утверждение эквивалентным: $|A\times A|=|A|$ для бесконечного множества $A$. Разве это очевидно?

Ну... утверждение о том, что $|A \times A| = |A|$ для любого бесконечного $A$, конечно же, не очевидно. Но мне казалось, что оно входит во все стандартные курсы матлогики. У нас так первокурсникам даже доказывают, что оно эквивалентно аксиоме выбора (относительно ZF). Может, в каком-то слабом, сокращённом курсе его и не станут доказывать, но сообщать о том, что этот факт доказуем в ZFC, просто обязаны.

Кстати, если $A$ счётно или континуально, то утверждение становится очевидным.

RIP писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Там ещё использовался другой факт, который чуть менее тривиален: $|\mathcal{P}_{\mathrm{fin}}(X)| = |X|$, если $X$ бесконечно. Но он тоже просто доказывается.

Разве он не следует из предыдущего факта?

Всё следует из равенства $|A \times A| = |A|$. Но во втором случае цепочка рассуждений, показывающих, как заявленное утверждение следует оттуда, будет значительно длиннее.

RIP писал(а):

Видите ли, "нельзя впихнуть невпихуемое". Ну нельзя всё уместить в одном курсе. Да и не нужна в курсе матана слишком продвинутая теория множеств.

А при чём здесь матан? Вообще-то кардинальная арифметика подробно изучается в курсе матлогики.

[RIP]

У нас теория множеств по сути была только в курсе матана. Что-то было и в курсе матлогики, но кардинальной арифметики, по-моему, не было вообще ни в одном из курсов (я самостоятельно просвещался по книжкам). Хотя матлогику я помню очень слабо (точнее, совсем не помню), поэтому могу и ошибаться (программу курса и какие-то шпоры можно найти по адресу http://dmvn.mexmat.ru/logic.php?section=2 , лектор Успенский).
А то, что из этого факта всё остальное тривиально следует, даже я понимаю.

Добавлено спустя 3 минуты 22 секунды:

Профессор Снэйп писал(а):

Кстати, если $A$ счётно или континуально, то утверждение становится очевидным.

Тут я согласен, но к чему Вы это сказали?

[Профессор Снэйп]

Да,я посмотрел программу. У вас пытаются впихнуть в один семестр то, что у нас идёт три семестра (1 семестр теории алгоритмов + 2 семестра матлогики). Естественно, что многого просто нет. Да и строгость страдает: наверняка, многие доказательсства даются лишь схематично, а многое остаётся вообще без доказательства (в частности, теорема компактности, если я правильно понял).

RIP писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Кстати, если $A$ счётно или континуально, то утверждение становится очевидным.

Тут я согласен, но к чему Вы это сказали?

Ну, здесь же у нас все мощности не больше континуума. Так что в рамках задачи, обсуждаемой в этой теме, факт $|A \times A| = |A|$ можно принимать без проблем (по крайней мере, в предположении континуум-гипотезы, можно ли без неё --- надо внимательно посмотреть).

[Попов А.В.]

Мне кажется несколько странным, что то, что на первый взгляд кажется задачей по алгебре, в действительности является упражнением по теории множеств.
Задача стала бы гораздо более содержательной (с точки зрения алгебры), если бы рассматривалось не поле комплесных чисел, а например алгебраическое замыкание $ \bar Q $ поля рациональных чисел.