бесконечномерные векторные пространства

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

ewert писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Определение гамельности в студию!

вопрос не ко мне, т.к. к существу задачи совершенно определённо не относится

А к кому же ещё, если не к Вам? Ведь это Вы первый написали слово "гамельность". И, похоже, Вы тут единственный, кто понимает его смысл.

а по гамбургерскому счёту -- слабО?

Объясните, пожалуйста, чем базисы Гамеля могут помочь в глубоко пхилосопхской проблеме отличить конечномерные пространства от бесконечномерных.

[Профессор Снэйп]

Профессор Снэйп писал(а):

Angel)))) писал(а):

надо доказывать

Вечерком докажу, если никто не опередит. Занят сейчас

Angel)))) писал(а):

а что это за теорема? в каком учебнике об этом говорится?

Добавлено спустя 1 минуту 17 секунд:

хорошо, я подожду

Судя по уровню обсуждения, никому тут это доказательство реально не нужно. Ну да ладно: раз обещал --- напишу.

Теорема. Пусть $F$ --- произвольное поле и $X$ --- бесконечное векторное пространство над $F$, такое что $|X| > |F|$. Тогда алгебраическая размерность $X$ над $F$ равна $|X|$.

Доказательство. Пусть $\mathcal{E} \subseteq X$ --- произвольный базис Гамеля пространства $X$ над полем $F$. По определению базиса Гамеля для любого $x \in X$ существует единственная пара $\langle f_x, D_x \rangle$, такая что

1) $D_x$ --- конечное подмножество $\mathcal{E}$;
2) $f_x$ --- функция из $D_x$ в $F \setminus \{ 0 \}$;
3) $x = \sum_{d \in D_x} f_x(d) d$.

Нетрудно видеть, что отображение $x \mapsto \langle f_x, D_x \rangle$ есть биекция $X$ на множество

$$ M = \{ \langle f,D \rangle : D\text{ --- конечное подмножество }\mathcal{E}\text{ и }f\text{ --- функция из }D\text{ в } F \setminus \{ 0 \} \} $$

Таким образом, $|X| = |M|$. Заметим, что $|\mathcal{E}| \leqslant |X|$ (так как $\mathcal{E} \subseteq X$).

Теперь каждой паре $m = \langle f,D \rangle \in M$ сопоставим конечное подмножество $S_m$ множества $\mathcal{E} \times F$ следующим образом:

$$ S_m = \{ \langle d, f(d) \rangle : d \in D \} $$

Легко видеть, что соответствие $m \mapsto S_m$ есть инъективное отображение множества $M$ в множество $\mathcal{P}_{\mathrm{fin}}(\mathcal{E} \times F)$ всех конечных подмножеств множества $\mathcal{E} \times F$. Отсюда заключаем, что $|M| \leqslant |\mathcal{P}_{\mathrm{fin}}(\mathcal{E} \times F)|$.

Из этого неравенства, равенства $|X| = |M|$ и бесконечности $X$ следует, что множество $\mathcal{P}_{\mathrm{fin}}(\mathcal{E} \times F)$ бесконечно. Но тогда множество $\mathcal{E} \times F$ также бесконечно и $|\mathcal{P}_{\mathrm{fin}}(\mathcal{E} \times F)| = |\mathcal{E} \times \mathcal{F}|$. Из бесконечности декартова произведения $\mathcal{E} \times F$ следует, что хотя бы одно из множеств $\mathcal{E}$, $F$ бесконечно. А это, в свою очередь, влечёт равенство $|\mathcal{E} \times F| = \max \{ |\mathcal{E}|, |F| \}$.

Суммируя вышесказанное, получаем цепочку неравенств

$$ |\mathcal{E}| \leqslant |X| = |M| \leqslant \max \{ |\mathcal{E}|, |F| \} $$

Если предположить, что $\max \{ |\mathcal{E}|, |F| \} = |F|$, то из второго неравенства будем иметь $|X| \leqslant |F|$, что невозможно по условию теоремы. Значит, $\max \{ |\mathcal{E}|, |F| \} = |\mathcal{E}|$, $|\mathcal{E}| \leqslant |X| \leqslant |\mathcal{E}|$ и, по теореме Кантора-Бернштейна, $|X| = |\mathcal{E}|$. Что и требовалось доказать. $\qed$

В каких конкретно учебниках можно найти доказательство этой теоремы, я не знаю. Но наверняка во многих. Всё-таки теорема провозглашает факт хорошо известный и часто используемый в алгебре.

Добавлено спустя 2 минуты 51 секунду:

ewert писал(а):

а по гамбургерскому счёту -- слабО?

Объясните, пожалуйста, чем базисы Гамеля могут помочь в глубоко пхилосопхской проблеме отличить конечномерные пространства от бесконечномерных.

Это не ко мне,а к пхилосопосам. И желательно куда-нибудь подальше: в Гамбург, например. Давидюки ныне там собираются.

[Angel))))]

спасибо вам огромное!!!

[Профессор Снэйп]

Angel)))) писал(а):

спасибо вам огромное!!!

Пожалуйста

Надеюсь, Вы разберётесь в доказательстве теоремы, а не будете тупо скатывать её с экрана для того, чтобы потом показать своему преподу. Ибо в таком случае получится, что я оказал Вам воистину медвежью услугу.

[Jnrty]

Jnrty:

Angel)))), предупреждение за дублирование темы. Дубль удаляю.

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

Судя по уровню обсуждения, никому тут это доказательство реально не нужно. Ну да ладно: раз обещал --- напишу.

только зачем так долго? задачка-то вполне конечномерная. Ну эт я о своём, извините.

[Angel))))]

конечно!!!

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

только зачем так долго? задачка-то вполне конечномерная. Ну эт я о своём, извините.

Действительно о своём. Помимо "размерности базиса" и "гамельности" ещё один термин появился: "вполне конечномерные задачи". Это, наверное, что-то из вычметодов или из диффуров

Если знать формулировку теоремы, то задача сразу становится фактически устной. А теорема сама по себе весьма полезна и любой грамотный математик обязан её знать. Хотя, конечно же, доказательство бесконечности базиса в данном, конкретном случае чуть проще, чем доказательство общего утверждения, содержащегося в теореме.

[RIP]

Профессор Снэйп писал(а):

Если знать формулировку теоремы, то задача сразу становится фактически устной.

Да задача и так устная, даже если не знать общей формулировки. В задаче ведь используется очень частный случай, который тривиален до безобразия (а также во время безобразия и после него). Нужно просто догадаться использовать мощностные соображения.

Добавлено спустя 6 минут 58 секунд:

Хотя нет, поторопился. Данный частный случай отнюдь не тривиален, но, с другой стороны, нас ведь не интересует мощность базиса — нам достаточно только его бесконечности.

[Профессор Снэйп]

RIP писал(а):

Нужно просто догадаться использовать мощностные соображения.

Да кто же спорит?

RIP писал(а):

Хотя нет, поторопился. Данный частный случай отнюдь не тривиален...

Тривиален, тривиален...

Пусть $\mathbb{R}$ имеет размерность $n < \infty$ над $\mathbb{Q}$. Тогда $\mathbb{R}$ изоморфно $\mathbb{Q}^n$. Однако этого не может быть, поскольку множества $\mathbb{R}$ и $\mathbb{Q}^n$ имеют разные мощности.

[RIP]

Профессор Снэйп писал(а):

RIP писал(а):

Нужно просто догадаться использовать мощностные соображения.

Да кто же спорит?

Я просто к тому, что здесь всё-таки раздел "Помогите решить / разобраться", поэтому использование тяжёлой артиллерии вряд ли целесообразно, если вполне можно обделаться малой кровью. Кстати, в Вашем доказательстве используется весьма нетривиальный факт ($|A\times B|=\max\{|A|;|B|\}$ для непустых $A,B$ с $\max\{|A|;|B|\}=\infty$ (не очень уверен в корректности такой записи)), который не входит в стандартный курс (у нас такого не было).

Профессор Снэйп писал(а):

RIP писал(а):

Хотя нет, поторопился. Данный частный случай отнюдь не тривиален...

Тривиален, тривиален...

Мне он таким не кажется. Конечно, несчётность базиса очевидна, но почему его мощность не может быть меньше, чем континуум?

[lofar]

Утверждение теоремы можно немного уточнить.

Пусть $X$ --- векторное пространство c базисом $\mathcal E$ над полем $F$, тогда

$$ |X|=\left\{ \begin{array}{ll} |F|^{|\mathcal E|}, & \mbox{\em если } |\mathcal E| < \aleph_0\\ |F|\cdot|\mathcal E|, & \mbox{\em если } |\mathcal E| \geqslant \aleph_0. \end{array} $$

[bot]

ewert писал(а):

при чём тут Гамель?

Вот здесь я бы поддержал ewertа
Пространство называется конечномерным, если существует конечный базис и бесконечномерным, если такового не существует. Тут и речи нет об определении, что такое базис бесконечномерного пространства, где кто-то там путался.
Присутствие мерности в слове бесконечномерное, само по себе ещё не даёт основание считать, что существует бесконечный базис - это как раз и ведёт к базису Гамеля. Кстати, я только здесь и узнал, чьё имя носит тот базис, который нам на 1-м курсе строили по трансфинитной индукции.

Добавлено спустя 5 минут 30 секунд:

Нет, кажется вру - не строили, а упражнение давали.

[Профессор Снэйп]

RIP писал(а):

Кстати, в Вашем доказательстве используется весьма нетривиальный факт ($|A\times B|=\max\{|A|;|B|\}$ для непустых $A,B$ с $\max\{|A|;|B|\}=\infty$

Это-то как раз тривиально.

Пусть $|A| \geqslant |B| > 0$ и $A$ бесконечно. Тогда $|A| = |A \times A| \geqslant |A \times B| \geqslant |A|$.

Там ещё использовался другой факт, который чуть менее тривиален: $|\mathcal{P}_{\mathrm{fin}}(X)| = |X|$, если $X$ бесконечно. Но он тоже просто доказывается.

RIP писал(а):

...который не входит в стандартный курс (у нас такого не было).

Вероятно, вам читали довольно слабый курс

[RIP]

Профессор Снэйп писал(а):

RIP писал(а):

Кстати, в Вашем доказательстве используется весьма нетривиальный факт ($|A\times B|=\max\{|A|;|B|\}$ для непустых $A,B$ с $\max\{|A|;|B|\}=\infty$

Это-то как раз тривиально.

Пусть $|A| \geqslant |B| > 0$ и $A$ бесконечно. Тогда $|A| = |A \times A| \geqslant |A \times B| \geqslant |A|$.

Вы просто заменили утверждение эквивалентным: $|A\times A|=|A|$ для бесконечного множества $A$. Разве это очевидно?

Профессор Снэйп писал(а):

Там ещё использовался другой факт, который чуть менее тривиален: $|\mathcal{P}_{\mathrm{fin}}(X)| = |X|$, если $X$ бесконечно. Но он тоже просто доказывается.

Разве он не следует из предыдущего факта?

Профессор Снэйп писал(а):

RIP писал(а):

...который не входит в стандартный курс (у нас такого не было).

Вероятно, вам читали довольно слабый курс

Видите ли, "нельзя впихнуть невпихуемое". Ну нельзя всё уместить в одном курсе. Да и не нужна в курсе матана слишком продвинутая теория множеств.