2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Сходимость ряда
Сообщение25.03.2017, 22:09 


10/05/13
251
Сегодня сидел решал ряды, прям косил сидел как траву и тут уткнулся в один и застрял.
$$ \frac{1}{2} + \frac{3}{2^2} + \frac{5}{2^3} ... + \frac{2n-1}{2^n} + ...$$
Ряд сходится, но как найти его сумму? Я думал свести все к общему знаменателю, но это не даст ничего.
Нужна наводка

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение25.03.2017, 22:53 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Естественный способ -- рассмотреть ряд типа $\sum\frac{x^{2n-1}}{...{}^n}$ и продифференцировать. Но это, вполне возможно, запрещено ввиду отсутствия пока ещё степенных рядов вообще и их дифференцирования в частности.

Тогда элементарный способ -- найти, что из себя представляют разности $S_{n+1}-S_n$ и потом найденные разности снова сложить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение25.03.2017, 22:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17999
Москва
Какие у Вас познания? О дифференцировании и интегрировании степенных рядов знаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение25.03.2017, 22:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Прибавьте к рассматриваемому ряду ряд
$$ \frac{2}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{2}{2^3} ... + \frac{2}{2^n} + ...$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение25.03.2017, 23:25 


10/05/13
251
Someone в сообщении #1203502 писал(а):
Какие у Вас познания? О дифференцировании и интегрировании степенных рядов знаете?

Нет

-- 26.03.2017, 01:27 --

Brukvalub в сообщении #1203503 писал(а):
Прибавьте к рассматриваемому ряду ряд
$$ \frac{2}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{2}{2^3} ... + \frac{2}{2^n} + ...$$

Но ведь это ничего не даст, получится:
$$ \frac{3}{2} + \frac{5}{2^2} + \frac{7}{2^3} ... + \frac{2n+1}{2^n} + ...$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение25.03.2017, 23:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
frankenstein в сообщении #1203509 писал(а):
Но ведь это
почти удвоенная сумма исходного ряда!

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение26.03.2017, 00:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10078

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1203512 писал(а):
почти удвоенная сумма исходного ряда!

Тогда считать мы стали дроби,
числители считать
:D

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение26.03.2017, 00:14 


10/05/13
251
Brukvalub в сообщении #1203512 писал(а):
frankenstein в сообщении #1203509 писал(а):
Но ведь это
почти удвоенная сумма исходного ряда!

Обозначим наш ряд:
$$S = \frac{1}{2} + \frac{3}{2^2} + \frac{5}{2^3} + ... + \frac{2n-1}{2^n} + ...$$
$$T = \frac{2}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{2}{2^3} + ... + \frac{2}{2^n} + ...$$
$$S + T = \frac{3}{2} + \frac{5}{2^2} + \frac{7}{2^3} + ... + \frac{2n+1}{2^n} + ...$$
Не знаю законно ли это? :D
Если вынести $\frac{1}{2}$
$$S = \frac{1}{2} ( 1 + \frac{3}{2} + \frac{5}{2^2} + ... + \frac{2n+1}{2^n} + ... )$$
$$S = \frac{1}{2} ( 1 + S + T ) \Rightarrow S = 1 + T = 1 + 2 = 3$$

Спасибо за подсказку Brukvalub

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение26.03.2017, 00:17 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Подсказок было более чем достаточно. Видимо, нужно подумать.

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение27.03.2017, 13:24 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение27.03.2017, 13:36 


10/05/13
251
ewert в сообщении #1203501 писал(а):
Тогда элементарный способ -- найти, что из себя представляют разности $S_{n+1}-S_n$ и потом найденные разности снова сложить.

Если здесь под $S$ вы имеете ввиду сам ряд. Тогда если сложить разности надо еще первый элемент умножить на $n$ чтобы получилась сумма.
А если $S_n$ это сумма первых $n$ элементов, то разность это просто $n+1$-й элемент ряда.
Этот подход точно работает для данного ряда? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение27.03.2017, 16:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
frankenstein в сообщении #1203903 писал(а):
тот подход точно работает для данного ряда?

=когда сумма ряда не зависит от порядка суммирования

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение27.03.2017, 17:30 


25/08/11

1074
Или преобразование Абеля-но это фактически то, что предложил Brukvalub.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение27.03.2017, 19:36 


10/05/13
251
Следующий ряд, который не могу найти:
$$
\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + ... \frac{1}{n \cdot (n+1)} + ...   
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение27.03.2017, 19:41 
Аватара пользователя


04/10/15
291
frankenstein, попробуйте явно записать частичную сумму. Например, превратить каждое слагаемое в сумму двух, чтобы в знаменателе не было произведения вида $n(n+1)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 40 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group