Сходимость ряда

[frankenstein]

Сегодня сидел решал ряды, прям косил сидел как траву и тут уткнулся в один и застрял.

$$ \frac{1}{2} + \frac{3}{2^2} + \frac{5}{2^3} ... + \frac{2n-1}{2^n} + ...$$

Ряд сходится, но как найти его сумму? Я думал свести все к общему знаменателю, но это не даст ничего.
Нужна наводка

[ewert]

Естественный способ -- рассмотреть ряд типа $\sum\frac{x^{2n-1}}{...{}^n}$ и продифференцировать. Но это, вполне возможно, запрещено ввиду отсутствия пока ещё степенных рядов вообще и их дифференцирования в частности.

Тогда элементарный способ -- найти, что из себя представляют разности $S_{n+1}-S_n$ и потом найденные разности снова сложить.

[Someone]

Какие у Вас познания? О дифференцировании и интегрировании степенных рядов знаете?

[Brukvalub]

Прибавьте к рассматриваемому ряду ряд

$$ \frac{2}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{2}{2^3} ... + \frac{2}{2^n} + ...$$

[frankenstein]

Someone в сообщении #1203502 писал(а):

Какие у Вас познания? О дифференцировании и интегрировании степенных рядов знаете?

Нет

-- 26.03.2017, 01:27 --

Brukvalub в сообщении #1203503 писал(а):

Прибавьте к рассматриваемому ряду ряд

$$ \frac{2}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{2}{2^3} ... + \frac{2}{2^n} + ...$$

Но ведь это ничего не даст, получится:

$$ \frac{3}{2} + \frac{5}{2^2} + \frac{7}{2^3} ... + \frac{2n+1}{2^n} + ...$$

[Brukvalub]

frankenstein в сообщении #1203509 писал(а):

Но ведь это

почти удвоенная сумма исходного ряда!

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1203512 писал(а):

почти удвоенная сумма исходного ряда!

Тогда считать мы стали дроби,
числители считать

[frankenstein]

Brukvalub в сообщении #1203512 писал(а):

frankenstein в сообщении #1203509 писал(а):

Но ведь это

почти удвоенная сумма исходного ряда!

Обозначим наш ряд:

$$S = \frac{1}{2} + \frac{3}{2^2} + \frac{5}{2^3} + ... + \frac{2n-1}{2^n} + ...$$

$$T = \frac{2}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{2}{2^3} + ... + \frac{2}{2^n} + ...$$

$$S + T = \frac{3}{2} + \frac{5}{2^2} + \frac{7}{2^3} + ... + \frac{2n+1}{2^n} + ...$$

Не знаю законно ли это?
Если вынести $\frac{1}{2}$

$$S = \frac{1}{2} ( 1 + \frac{3}{2} + \frac{5}{2^2} + ... + \frac{2n+1}{2^n} + ... )$$

$$S = \frac{1}{2} ( 1 + S + T ) \Rightarrow S = 1 + T = 1 + 2 = 3$$

Спасибо за подсказку Brukvalub

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Подсказок было более чем достаточно. Видимо, нужно подумать.

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[frankenstein]

ewert в сообщении #1203501 писал(а):

Тогда элементарный способ -- найти, что из себя представляют разности $S_{n+1}-S_n$ и потом найденные разности снова сложить.

Если здесь под $S$ вы имеете ввиду сам ряд. Тогда если сложить разности надо еще первый элемент умножить на $n$ чтобы получилась сумма.
А если $S_n$ это сумма первых $n$ элементов, то разность это просто $n+1$-й элемент ряда.
Этот подход точно работает для данного ряда?

[alcoholist]

frankenstein в сообщении #1203903 писал(а):

тот подход точно работает для данного ряда?

=когда сумма ряда не зависит от порядка суммирования

[sergei1961]

Или преобразование Абеля-но это фактически то, что предложил Brukvalub.

[frankenstein]

Следующий ряд, который не могу найти:

$$ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + ... \frac{1}{n \cdot (n+1)} + ... $$

[iou]

frankenstein, попробуйте явно записать частичную сумму. Например, превратить каждое слагаемое в сумму двух, чтобы в знаменателе не было произведения вида $n(n+1)$.