Сходимость ряда

[dima_1985]

Надо так наверно так $x=\frac{1}{2}$. Тогда $\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{i}{2^{i-1}}=$\sum\limits_{i=1}^{n}ix^{i-1}$. Интегрируем получаем сумма равняется $\frac{x}{1+x}$. Теперь дифференцируем $\frac{1}{1-x}+\frac{x}{(1-x)^2}$. Вместо $x$ подставим $\frac{1}{2}$. Получим 3.Правильно?Только я не понял

ewert в сообщении #1204476 писал(а):

Потому что надо не первую сумму дифференцировать, а вторую. И не по "ай!", а по двойке.

.Эта сумма равняется 1? Геометрическая прогрессия.

[frankenstein]

ewert в сообщении #1204489 писал(а):

Someone в сообщении #1204266 писал(а):

После преобразования попробуйте вычесть исходный ряд, на что-нибудь умноженный, чтобы члены посокращались.

Само по себе предложение, естественно, правильно; но вот реализовано, на мой вкус, не очень разумно. В левой части -- сама требуемая сумма, в правой -- выйдет она же, но в удвоенном варианте и с разными множителями типа $q$ в какой-то степени, плюс-минус лишние/дополнительные слагаемые. После наведения порядка получится тривиальное линейное уравнение для искомой суммы. И не надо ничего гадать с вычитанием.

Я чет запутался, надо умножить искомый ряд на что-то хорошее и прибавить что-то хорошее, чтобы все это преобразовалось в тривиальное линейное уравнение?

[ewert]

dima_1985 в сообщении #1204504 писал(а):

Надо так наверно так $x=\frac{1}{2}$. Тогда $\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{i}{2^{i-1}}=$\sum\limits_{i=1}^{n}ix^{i-1}$.

Ну примерно так.Только дифференцировать надо, интегрирование же -- излишне.

dima_1985 в сообщении #1204504 писал(а):

Только я не понял

Да всё Вы поняли. Во всяком случае, ключевую идею. Только затвердили её нетвёрдо:

dima_1985 в сообщении #1204504 писал(а):

Эта сумма равняется 1?

-- при чём тут единичка/двойка-то, если Вы уже заменили всё на икс?...

-- Ср мар 29, 2017 00:30:11 --

frankenstein в сообщении #1204511 писал(а):

надо умножить искомый ряд на что-то хорошее и прибавить что-то хорошее, чтобы все это преобразовалось в тривиальное линейное уравнение?

Нет, это совершенно ненужный пафос. Глянув на правую часть (после умножения на косинус и преобразования произведений в суммы) -- Вы мгновенно увидите там практически те же суммы, что и слева, только с нюансами. Вычлените нюансы справа и перегоните полученные "чистые" суммы влево, вот и всё.

[frankenstein]

Что у нас слева стоит?
Я сейчас считаю так, слева стоит исходный ряд:

$$ q \sin \alpha + q^2 \sin 2 \alpha + ... + q^n \sin n \alpha + ... $$

Справа

$$ q \sin \alpha \cos \alpha + q^2 \sin 2\alpha \cos \alpha + q^3 \sin 3\alpha \cos \alpha + ... + q^n \sin n\alpha \cos \alpha + ... $$

Как тут разложить слагаемые на суммы? Ничего в голову не приходит

[ewert]

(Оффтоп)

(хм. Я всё время забываю, что мы живём во времена ЕГЭ. Но ведь даже и в эти времена школьников дрессируют не только на теоремы сложения -- типа там косинус/синус суммы-разности -- но и на обратные теоремы: преобразование произведения в сумму-разность. Насколько я помню, задачки такого типа в ЕГЭ до сих пор ходовые, пусть и в части Ю. Так что добросовестные учителя и на них до сих пор должны надрессировывать.)

[frankenstein]

получилось так:

$$ \frac{1}{2} q \sin 2 \alpha + \frac{1}{2} q^2 \sin \alpha + \frac{1}{2} q^2 \sin 3 \alpha + \frac{1}{2}q^3 \sin 2 \alpha + \frac{1}{2} q^3 \sin 4 \alpha + ... + \frac{1}{2} q^n \sin (n-1) \alpha + \frac{1}{2} q^n \sin (n+1) \alpha + ... $$

-- 29.03.2017, 02:06 --

Я что-то жестко зависаю

[ewert]

Ну вроде да. А теперь объедините отдельно все чётные (по порядку) слагаемые и все нечётные.

[Someone]

Ну вот и поищите там суммы, похожие на первоначальные. Может быть, там будут лишние множители, может быть, какого-то члена будет не хватать… ewert дело говорит, так проще разобраться. Хотя я в своё время очень быстро догадался, на что надо домножить, чтобы почти всё посокращалось. А Вы ещё и "телескопическую" сумму пожелали…

Да, и обозначение для первоначальной суммы нужно ввести:

$$S=q\sin\alpha+q^2\sin 2\alpha+q^3\sin 3\alpha+q^4\sin 4\alpha+\ldots+q^n\sin n\alpha+\ldots$$

А то уравнение не получится.

[frankenstein]

Someone
Я не хотел настаивать на определенном методе, мне главное решить и понять.
Желательно проще метод
Но, раз уж на это пошло, я теперь обязан, решить всеми методами, которые вы предложили)

-- 29.03.2017, 02:47 --

Перегруппировал, сначала четные идут, потом нечетные

$$ S \cdot \cos \alpha = \frac{1}{2} q^2 \sin \alpha + \frac{1}{2}q^3 \sin 2 \alpha + ... + \frac{1}{2} q^n \sin (n-1) \alpha + ... $$

$$ + \frac{1}{2} q \sin 2 \alpha + \frac{1}{2} q^2 \sin 3 \alpha + \frac{1}{2} q^3 \sin 4 \alpha + ... + \frac{1}{2} q^n \sin (n+1) \alpha + ... $$

-- 29.03.2017, 02:52 --

Так, если вынести в первой "группе" $\frac{1}{2}q$ в скобках останется $S$
А во второй если вынести $\frac{1}{2q}$ в скобках будет $S - q \sin \alpha$

-- 29.03.2017, 02:57 --

Получаем уравнение:

$$ S \cos \alpha = S q^2 + S - q \sin \alpha $$

Из него получаем, что

$$ S = \frac{q \sin \alpha}{q^2 - 2q \cos \alpha + 1} $$

-- 29.03.2017, 02:58 --

Сверю ответ...

-- 29.03.2017, 03:01 --

Ура, сошелся! ewert, Someone вы очень крутые!

-- 29.03.2017, 03:10 --

Попробую решить второй ряд...

-- 29.03.2017, 03:11 --

$$ q \cos \alpha + q^2 \cos 2 \alpha + ... + q^n \cos n \alpha + ... $$

-- 29.03.2017, 03:33 --

$$ S = q \cos \alpha + q^2 \cos 2 \alpha + ... + q^n \cos n \alpha + ... $$

$$ S \cos \alpha = q \cos \alpha \cos \alpha + q^2 \cos 2 \alpha \cos \alpha + ... + q^n \cos n \alpha \cos \alpha + ... $$

$$ 2 S \cos \alpha = q(1 + \cos 2 \alpha) + q^2(\cos \alpha + \cos 3 \alpha) + ... + q^n(\cos (n-1) \alpha + \cos (n+1) \alpha) + ... $$

Раскроем скобки и сгруппируем четные и нечетные слагаемые

$$ 2 S \cos \alpha = q + q^2 \cos \alpha + q^3 \cos 2 \alpha + ... + q^n \cos (n-1) \alpha + ... $$

$$ + q \cos 2 \alpha + q^2 \cos 3 \alpha + q^3 \cos 2 \alpha + ... + q^n \cos (n+1) \alpha + ... $$

$$ 2S \cos \alpha = q + qS + \frac{1}{q}(S - q \cos \alpha) \Rightarrow S = \frac{q \cos \alpha - q^2}{1 - 2 q \cos \alpha + q^2} $$

[Lia]

frankenstein
Предупреждение за нарушение правил: систематическое размещение задач с отсутствующими попытками решения.

Тема разделена.
Текущая закрыта. Продолжение в «Ряд-6»

-- 29.03.2017, 04:38 --

Настоятельная просьба не собирать ползадачника в одной теме.