Плоские электрические волны

[StaticZero]

Пусть есть уравнение д'Аламбера в веществе

$$ \square \ \mathbf E = 0, $$

где

$$ \square = \dfrac{\varepsilon \mu}{c^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} -\dfrac{\partial^2}{\partial x^2} - \dfrac{\partial^2}{\partial y^2} - \dfrac{\partial^2}{\partial z^2}, $$

и условие того, что в рассматриваемом веществе нет ни поляризационных зарядов, ни свободных:

$$ \operatorname{div} \mathbf E = 0. $$

Будем искать решение в виде плоской волны, где фазовые плоскости ортогональны оси $z$ и в которых электрический вектор постоянен: $\mathbf E(x, y, z_0, t_0) = \operatorname{const}$ для произвольных $x, y$ и фиксированных $z_0$ и $t_0$. Из последнего соотношения

$$ \begin{cases} \mathrm d E_x = \dfrac{\partial E_x}{\partial x} \mathrm dx + \dfrac{\partial E_x}{\partial y} \mathrm dy = 0, \\ \mathrm d E_y = \dfrac{\partial E_y}{\partial x} \mathrm dx + \dfrac{\partial E_y}{\partial y} \mathrm dy = 0, \\ \mathrm d E_z = \dfrac{\partial E_z}{\partial x} \mathrm dx + \dfrac{\partial E_z}{\partial y} \mathrm dy = 0, \end{cases} $$

где равенство нулю тождественное, откуда

$$ \dfrac{\partial \mathbf E}{\partial x} = \dfrac{\partial \mathbf E}{\partial y} = 0. $$

Из уравнения для дивергенции ещё найдём $\dfrac{\partial E_z}{\partial z} = 0$ как следствие сказанного выше. То есть, получается, что для $z$-компоненты уравнение д'Аламбера будет

$$ \dfrac{\varepsilon \mu}{c^2}\dfrac{\partial^2 E_z}{\partial t^2} - \Delta E_z = 0, $$

причём $\Delta E_z = \dfrac{\partial^2 E_z}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 E_z}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 E_z}{\partial z^2} = 0$, откуда я получаю вот что:

$$ \dfrac{\partial^2 E_z}{\partial t^2} = 0, $$

в то время как для остальных двух компонент член, содержащий $\partial/\partial z$ не пропадает, и уравнения как положено волновые:

$$ \begin{align*} \dfrac{\varepsilon \mu}{c^2}\dfrac{\partial^2 E_x}{\partial t^2} - \dfrac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} = 0,\\ \dfrac{\varepsilon \mu}{c^2}\dfrac{\partial^2 E_y}{\partial t^2} - \dfrac{\partial^2 E_y}{\partial z^2} = 0. \end{align*} $$

То, что член пропал, это хорошо? Если да, то выходит, что по времени $E_z$ не более, чем линейная функция: $E_z(\ldots, t) = at + b$. Коэффициент $a = 0$ потому, что волна должна существовать в любой момент времени и оставаться конечной по амплитуде, а почему $b$ должно быть равно нулю? Или вовсе не должно?

У меня такое ощущение складывается, что уровень понимания уравнений, которые я пишу, обратно пропорционален количеству уже написанных уравнений.

[amon]

StaticZero,
А давайте напишем частное решение, удовлетворяющее всем Вашим условиям. Например, такое:

$$ \begin{align} E_y&=E_z=0\\ E_x&=\exp(i(kz-\omega t))\\ k^2&=\frac{\varepsilon\mu}{c^2}\omega^2 \end{align} $$

и, мне кажется, что Вы сами найдете, где дырка.

[StaticZero]

Выписал почти все использованные равенства:

$$ \operatorname{div} \mathbf E = 0. $$

$$ \begin{cases} \square \ E_x = \dfrac{\varepsilon \mu}{c^2} (-i \omega)^2 - (ik)^2 = - \dfrac{k^2 c^2}{\varepsilon \mu} \dfrac{\varepsilon \mu}{c^2} + k^2 = 0, \\ \square \ E_y = \square \ E_z = 0. \end{cases} $$

$$ \mathbf E(x, y, z_0, t_0) = \begin{pmatrix} \exp(i k z_0) \exp(- i \omega t_0) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \operatorname{const}. $$

$$ \dfrac{\partial \mathbf E}{\partial x} = \dfrac{\partial \mathbf E}{\partial y} = 0. $$

$$ \dfrac{\partial E_z}{\partial z} = 0. $$

Противоречий не вижу...

[amon]

А, так это Вы условие поперечности пытаетесь получить. Извиняюсь, не врубился. Так любое постоянное во всем пространстве поле удовлетворяет всему на свете. Поэтому $E_z=\operatorname{const}$ можно добавлять к любому решению, также как $E_x=\operatorname{const}$ итд. Так что формально все правильно, только очень вычурно. Из начальных данных можно сразу написать, что все $E$ есть функции от $kz\pm\omega t$, откуда сразу все получится.

[Red_Herring]

Если решение в виде плоской волны, с фазовыми плоскостями, перпендикулярными $z$, то решение зависит только от $t,z$. Но тогда $E_z$ в силу условия на дивергенцию, не зависит и от $z$, а тогда и от $t$, т.е. постоянно, a $E_x,E_y$ решения одномерного волнового уравнения.

[Munin]

StaticZero в сообщении #1203526 писал(а):

выходит, что по времени $E_z$ не более, чем линейная функция: $E_z(\ldots, t) = at + b$. Коэффициент $a = 0$ потому, что волна должна существовать в любой момент времени и оставаться конечной по амплитуде, а почему $b$ должно быть равно нулю? Или вовсе не должно?

Не должно. Это просто слагаемое, по которому бежит волна.

Математически мы к любому решению можем прибавить любое решение. Например, к любому электростатическому полю мы можем прибавить решение уравнения Лапласа - гармоническое поле, неограниченно растущее на бесконечности или константу. Уменьшают этот произвол граничными условиями, и их аналогами (условия на бесконечности, условия постоянства, периодичности, различные симметрии, нормировки). Но вот, в данном случае уменьшили не до конца. Одно число осталось (это, в принципе, немного). Можно было бы наложить ещё какое-то условие, но трудно придумать осмысленное. Может быть, $\langle E_z\rangle=0.$

Физически, это означает, что волны бегут как в пустом пространстве, так и в каком-то наложенном внешнем поле. Например, мы можем взять плоский конденсатор, и в нём пустить волну. Никто же не запрещает? Конечно, нас интересует сама волна, поэтому увидев в решении постоянное слагаемое, мы можем его выкинуть просто со словами "нам это не интересно". Но других поводов избавиться от него - нет. Связано это с тем, что такое поле на волну никак не влияет, электромагнитное поле подчиняется принципу суперпозиции, уравнения электродинамики линейны. (В квантовом случае в сильных полях нелинейны, но это отдельная история.)

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1203657 писал(а):

Может быть, $\langle E_z\rangle=0$.

Вот у одномерного волнового уравнения есть решение $f(z-ct)$, где $f$ имеет разные пределы на $\pm\infty $. Где здесь постоянный фон и где бегущая волна?

[realeugene]

StaticZero в сообщении #1203526 писал(а):

Будем искать решение в виде плоской волны, где фазовые плоскости

Вы всё ещё не наложили никаких условий на форму этой плоской волны, хоть и упомянули про "фазовые плоскости". Эта плоская волна всё ещё может иметь любую форму как функция времени. Обычно после этого раскладывают волну по частотам при помощи преобразования Фурье во временной области, и решают уравнения для одной гармонической волны. Тогда "постоянный фон" исчезнет сам собой.

[Munin]

realeugene в сообщении #1203709 писал(а):

Тогда "постоянный фон" исчезнет сам собой.

Разумеется, не сам собой.

Red_Herring
Да, вы правы, но мне кажется, в частном случае $E_z$ моё условие провозгласить можно. В физике часто так делается: высасывают из пальца чего хочется, и под это подводятся  размахивания руками  обоснования. Разумеется, в жизни я бы посоветовал семь раз подумать, но тут задача учебная, и первым делом надо понять, как вообще устроены волны, так что от обрезков и стружек можно отмахнуться.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1203724 писал(а):

частном случае $E_z$ моё условие провозгласить можно

А зачем? В этом частном случае $E_z$ просто постоянно.

[StaticZero]

realeugene в сообщении #1203709 писал(а):

Вы всё ещё не наложили никаких условий на форму этой плоской волны

Ну, я предполагаю произвольный электрический импульс $f(z, t)$.

Рассмотрел сейчас случай произвольного направления, задающегося вектором $\mathbf s$, $s = 1$. Получил, что электрическое поле будет иметь вид

$$ \mathbf E(\mathbf r, t) = \mathbf E_1 \left(\dfrac{ct}{\sqrt{\varepsilon \mu}} + (\mathbf s \cdot \mathbf r) \right) + \mathbf E_2 \left(\dfrac{ct}{\sqrt{\varepsilon \mu}} - (\mathbf s \cdot \mathbf r) \right), $$

фазовые плоскости задаются уравнением $(\mathbf s \cdot \mathbf r) = \operatorname{const}$.

Теперь я хочу получить плоские монохроматические волны. Пусть они будут распространяться в одну сторону. Я должен написать что-то вроде

$$ \mathbf E = \mathbf E_0 \cos \left((\mathbf s \cdot \mathbf r) - \dfrac{ct}{\sqrt{\varepsilon \mu}} + \varphi \right). $$

Вопрос такой: а может, правильно

$$ \begin{pmatrix} E_{0x} \cos (\ldots + \varphi_1) \\ E_{0y} \cos (\ldots + \varphi_2) \\ E_{0z} \cos (\ldots + \varphi_3), \end{pmatrix} $$

ведь иначе у меня не получаются всякие разные поляризации. Вопрос второй: про поляризацию речь ведут, когда $\mathbf E$ шатается в фазовой плоскости, то есть тогда у вектора $\mathbf E$ есть три независимые гармонические составляющие, а у меня должно быть их лишь две. Как тут разобраться честным образом?

[DimaM]

StaticZero в сообщении #1203733 писал(а):

Вопрос второй: про поляризацию речь ведут, когда $\mathbf E$ шатается в фазовой плоскости, то есть тогда у вектора $\mathbf E$ есть три независимые гармонические составляющие, а у меня должно быть их лишь две.

Если выбрать одну из координатных осей перпендикулярно плоскости постоянной фазы, останется две. Собственно, если не выбирать, их тоже две, только более сложно выраженных.

[StaticZero]

DimaM в сообщении #1203735 писал(а):

Если выбрать одну из координатных осей перпендикулярно плоскости постоянной фазы, останется две.

Да, а из исходной системы координат уравнение, привязывающее третью компоненту, можно получить? Я подозреваю, что этим уравнением могло бы стать то, что проекция электрического вектора на $\mathbf s$ должна быть постоянной, но что-то гложет меня сомнение.

[DimaM]

StaticZero в сообщении #1203736 писал(а):

Да, а из исходной системы координат уравнение, привязывающее третью компоненту, можно получить?

Конечно.

StaticZero в сообщении #1203736 писал(а):

Я подозреваю, что этим уравнением могло бы стать то, что проекция электрического вектора на $\mathbf s$ должна быть постоянной

Для чистой волны - нулевой.

[Munin]

Red_Herring
Спасибо, вы меня прогнали из этой темы.