Плоские электрические волны

[StaticZero]

А что, правда, что при произвольной форме плоского электрического импульса нет равенств $(\mathbf E \cdot \mathbf B) = 0$, и даже $[\mathbf E \times \mathbf B] \sim \mathbf s$?

Я так понимаю, что поскольку уравнения для электрического и магнитного поля имеют вид

$$ \square \, \mathbf E = 0, \qquad \square \, \mathbf B = 0, $$

$$ \operatorname{div} \mathbf E = 0, \qquad \operatorname{div} \mathbf B = 0, $$

то тогда решения будут одинаковы

$$ \mathbf E = \mathbf E_1 \left( \dfrac{ct}{\sqrt{\varepsilon \mu}} - (\mathbf s \cdot \mathbf r) \right) + \mathbf E_2 \left( \dfrac{ct}{\sqrt{\varepsilon \mu}} + (\mathbf s \cdot \mathbf r) \right), $$

$$ \mathbf B = \mathbf B_1 \left( \dfrac{ct}{\sqrt{\varepsilon \mu}} - (\mathbf s \cdot \mathbf r) \right) + \mathbf B_2 \left( \dfrac{ct}{\sqrt{\varepsilon \mu}} + (\mathbf s \cdot \mathbf r) \right) $$

причём я лишь могу доказать, что $\dfrac{\partial (\mathbf E \cdot \mathbf B)}{\partial t} = 0$, $\operatorname{rot} [\mathbf E \times \mathbf B] = 0$, и $\dfrac{\partial [\mathbf E \times \mathbf B]}{\partial t} = 0$, но не более.

[Red_Herring]

Для системы Максвелла

$$\left\{\begin{aligned} &\mathbf{E}_t=\nabla \times \mathbf{H},\\ &\mathbf{H}_t=-\nabla \times \mathbf{E},\\ &\nabla\cdot \mathbf{E}=\nabla \cdot \mathbf{H}=0 \end{aligned}\right.$$

следующие законы сохранения:

$$\partial_t \bigl(\frac{1}{2}(\mathbf{E}^2+ \mathbf{H}^2)\bigr)+\nabla \cdot \bigl(\mathbf{E}\times \mathbf{H}\bigr)=0;$$

где $\mathbf{P}=\mathbf{E}\times \mathbf{H}$ вектор Пойнтинга. Т.е. это вектор в общем случае имеет физический смысл потока энергии (или импульс, с точностью до множителя).

Более того, если $\mathbf{P}=(P_1,P_2,P_3)$, то

$$\partial_t P_k +\sum_j \partial_{x_j} \bigl(\frac{1}{2}(\mathbf{E}^2+\mathbf{H}^2)\delta_{jk} - \mathbf{E}_j\mathbf{E}_k -\mathbf{H}_j\mathbf{H}_k \bigr)=0.$$

Т.е. тензор $\bigl(\frac{1}{2}(\mathbf{E}^2+\mathbf{H}^2)\delta_{jk} - \mathbf{E}_j\mathbf{E}_k -\mathbf{H}_j\mathbf{H}_k \bigr)$ в общем случае имеет физический смысл потока импульса.

[StaticZero]

Red_Herring в сообщении #1203829 писал(а):

Т.е. это вектор в общем случае имеет физический смысл потока энергии

Я тут просто не могу из системы Максвелла найти что-то, что запрещает вектору Пойнтинга быть нулём, например, в случае, когда электрический и магнитный векторы друг другу параллельны. Из уравнений для роторов это как-то должно следовать, но я пока не могу найти способ это обнаружить.

[Red_Herring]

StaticZero в сообщении #1203923 писал(а):

Я тут просто не могу из системы Максвелла найти что-то, что запрещает вектору Пойнтинга быть нулём

Разумеется, вектор Пойнтинга может быть 0, или обращаться в 0 в отдельных точках.

Однако для монохроматической волне, т.е. $\mathbf{E}=\mathbf{e}e^{i(ct\omega -\mathbf{k}\cdot\mathbf{r})}, \mathbf{H}=\mathbf{h}e^{i(ct\omega -\mathbf{k}\cdot\mathbf{r})}$, уравнения М. дают, что с точностью то постоянных множителей $\mathbf{e}=\mathbf{k}\times \mathbf{h}, \mathbf{h}=-\mathbf{k}\times \mathbf{e}$, откуда следует их перпендикулярность

[StaticZero]

Red_Herring в сообщении #1203931 писал(а):

Разумеется, вектор Пойнтинга может быть 0, или обращаться в 0 в отдельных точках.

Осознать это было непросто. Спасибо, уважаемый Red_Herring.

Тема ещё нужна. Я пока пытаюсь узнать всё про плоские волны, вопросы будут непременно появляться.

[Munin]

Если волна плоскополяризованная, то есть имеет вид

Red_Herring в сообщении #1203931 писал(а):

$\mathbf{E}=\mathbf{e}e^{i(ct\omega -\mathbf{k}\cdot\mathbf{r})}, \mathbf{H}=\mathbf{h}e^{i(ct\omega -\mathbf{k}\cdot\mathbf{r})}$

где вектор $\mathbf{e}$ действительный, то вектор Пойнтинга обращается в нуль два раза за период, и дважды возрастает до максимального значения. То есть, колеблется с частотой вдвое больше частоты самой волны. Колеблется вокруг среднего значения по синусоиде. Это всё аналогично мощности в цепи переменного тока.

Интересно, что при этом и плотность энергии поля в пространстве будет иметь такую же форму, то есть "слоистую". И "слои" будут двигаться со скоростью света. Разделённые нулевыми плоскостями, так что можно однозначно сказать, какая энергия откуда пришла, не перемешиваясь, - такое обычно невозможно :-)

Если волна циркулярно поляризована, то есть, $\mathbf{e}=\mathbf{e}_1+i\mathbf{e}_2$ с действительной и мнимой компонентами, равными по величине и отстоящими в пространстве на $90^\circ,$ то вектор Пойнтинга будет всё время постоянный.