Пролетело..

[DimaM]

Эксцентриситет орбиты в системе тяжелого тела выражается через момент импульса $L=mv_0R$ и энергию $E=mv_0^2/2$ ($m$ - масса песчинки)

$$\varepsilon=\sqrt{\dfrac{EL^2}{G^2M^2m^3}+1}.$$

Далее, угол поворота скорости на гиперболе $\cos\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1}{\varepsilon}$.
Изменение скорости песчинки (оно же конечная скорость в исходной системе) $v=2v_0\sin\dfrac{\theta}{2}$.
Как-то так.

[dovlato]

Предполагаю вот что:
При тех же параметрах - массе, прицельном расстоянии и скорости - эффект остаётся неизменным для любого тела вращения,
при условии, что вектор его скорости параллелен оси симметрии, прицельное расстояние измеряется до оси, тела не соприкасаются.

[DimaM]

dovlato в сообщении #1202218 писал(а):

При тех же параметрах - массе, прицельном расстоянии и скорости - эффект остаётся неизменным для любого тела вращения,
при условии, что вектор его скорости параллелен оси симметрии, прицельное расстояние измеряется до оси, тела не соприкасаются.

Эт вряд ли. Возьмем тело вращения в виде гантели с очень длинной тонкой легкой перемычкой и грузами на концах. Такое тело будет действовать на песчинку гораздо слабее, чем шар той же массы.

[mihiv]

dovlato в сообщении #1202218 писал(а):

Предполагаю вот что:
При тех же параметрах - массе, прицельном расстоянии и скорости - эффект остаётся неизменным для любого тела вращения,
при условии, что вектор его скорости параллелен оси симметрии, прицельное расстояние измеряется до оси, тела не соприкасаются.

Похожий метод используют при изучении возмущающего действия планет в солнечной системе. Действие планеты заменяют действием массивного кольца, полученного равномерным распределением массы планеты по ее орбите.

[dovlato]

mihiv, я как-то задумывался и о вращающихся телах. Только надо, чтобы вращение было очень быстрым .. но тут, видимо, отдельная тема - что значит "очень быстро".

[DimaM]

dovlato в сообщении #1202381 писал(а):

я как-то задумывался и о вращающихся телах. Только надо, чтобы вращение было очень быстрым .. но тут, видимо, отдельная тема - что значит "очень быстро".

В классике, вроде, вращение не влияет.

[dovlato]

DimaM, мы же говорим о быстро пролетающем теле. Перемычка может быть хоть вообще невесомой; но каждая тяжёлая масса на её концах пролетит мимо песчинки, и добавит песчинке определённую долю импульса в направлении, перпендикулярном траектории тела.
О вращении: пусть тело вращается, а песчинка находится где-нибудь неподалёку. Тогда усреднённое воздействие гравит. поля вращающегося тела на песчинку асимптотически такое же, как и у тяжёлого кольца, помещённого вместо тела на окружность, по которой оно пробегает.

[DimaM]

dovlato в сообщении #1202390 писал(а):

Перемычка может быть хоть вообще невесомой; но каждая тяжёлая масса на концах пролетит мимо песчинки, и добавит песчинке определённую долю импульса в направлении, перпендикулярном траектории тела.

А эти массы очень далеко (перемычка очень длинная), поэтому добавят гораздо меньше, чем пролетающий шар.
Ну или можно представить тело вращения в виде очень длинного тонкого стержня. Такое тело будет притягивать гораздо слабее, чем шар той же массы.

[dovlato]

Никто и не спорит, что вытянутое тело "тянет" гораздо слабее. Но. Оно, при заданной $v_0$, и пролетать мимо песчинки будет гораздо дольше (!).
Как следствие, суммарный импульс гравитационной силы остаётся тем же самым.

[DimaM]

dovlato в сообщении #1202397 писал(а):

Оно, при заданной $v_0$, и пролетать мимо песчинки будет гораздо дольше (!).

С чего бы это?
Вытянуто в поперечном направлении.

[dovlato]

В поперечном не может. Во первых, тогда изменилось бы прицельное расстояние.
Во вторых - это тело вращения, ось которого параллельна вектору скорости.

[DimaM]

dovlato в сообщении #1202515 писал(а):

В поперечном не может. Во первых, тогда изменилось бы прицельное расстояние.

С чего бы?

dovlato в сообщении #1202515 писал(а):

Во вторых - это тело вращения, ось которого параллельна вектору скорости.

Это другое дело.
Но все равно: представим тело вращения в виде двух далеко разнесенных шаров. Первый шар придает песчинке скорость, и можно так подобрать параметры, что песчинка врежется во второй шар (или пройдет очень близко от него), и полетит в сторону, противоположную начальному отклонению.

[dovlato]

Разумеется, в принципе это всё возможно. Оттого и оговорка у меня: столкновений нет. То есть рассматривается тот случай, когда тело уже промчалось, а песчинка только-только начала двигаться. Оказывается, здесь асимптотика вдруг упрощается до школьного (ну, или почти) уровня. Очевидно, тут возможно семейство подобных более-менее решаемых задач, когда траектория тела какая-нибудь, например, замкнутая, но "хорошая" для счёта.

[DimaM]

dovlato в сообщении #1202577 писал(а):

То есть рассматривается тот случай, когда тело уже промчалось, а песчинка только-только начала двигаться.

Ну тогда в первом приближении считаем тело шаром .

[dovlato]

Так вот я думаю, что вполне достаточно быть ему телом вращения - любой формы. И при данной массе и прицельном расстоянии эффект будет ровно таким же.