Составление уравнения движения точки

[Aiyyaa]

Помогите пожалуйста составить уравнение движения точки. Имеется механизм

Здесь $l=0.8$ , $r=0.2$, $AM=0.1$, угол $\alpha$ равен 30 градусов, $\varphi=3 \pi t$. Нужно составить уравнение движения точки $M$ на этом механизме. Для того чтобы это сделать, нужно спроецировать точку $M$ на оси $ oX $ и $oY$, и тогда длины этих проекций, выраженные через угол $\varphi$ и будут задавать движение точки $M$, то есть движение будет задано координатным способом. Но у меня не получается выразить проекции этой точки на оси чтобы они зависели от $\varphi$, помогите пожалуйста их выразить .

[EXE]

Хорошо, а координаты точки В Вам удаётся выразить?

[Aiyyaa]

уравнение движения точки $\mathbf{B}$, то есть проекции на оси $Ox$ и $Oy$. То есть нужно выразить отрезки $BB_x$ и $BB_y$ через угол $\varphi$.

Отрезок $BB_x$ можно выразить как сумму отрезков $BK$, который находится из прямоугольного треугольника $BCK$, и равен $BK=CK \tg30 =0.11$, и отрезка $CS=\varphi \sin30$. То есть $BB_x=BK+CS=0.11+\cos30$?
И аналогично $BB_y=CK+OS=0.2+\sin30$?
Уравнение движения точки $B$ правильно выражено? И чтобы выразить движение точки $M$ нужно также проекции точки $M$ рассматривать каждый как сумму двух отрезков, одного, который зависит от угла $\varphi$ и второго отрезка? Будет ли этот второй отрезок, то есть расстояние от точки $M$ до например в случае проекции на ось $Ox$ проекция на $CD$ являться постоянной величиной ?

[EXE]

Теперь, похоже, понятно, что именно вызвало у Вас затруднения – это псевдонестандартное расположение точки М. Ну, теперь-то совсем очевидно и просто, хотя задача решается большим числом вариантов.
Если мы находим точку А, что легко после точки В, то точка М получается автоматически,
потому что её координаты имеют линейную связь с координатами точек А и В: $0.9\cdot A+0.1\cdot B$

[EXE]

Не уследил, что $ AB=0,8$, и принял за 1. Тогда небольшая коррекция:
$M=0.875\cdot A+0.125\cdot B$. Это по известной формуле $(1-t)\cdot A+t\cdot B$, то есть, когда $t=0$, то $M$ будет равно $A$, а когда $t=1$, то $B$ ($t$ изменяется от 0 до 1).

[arseniiv]

А мне показалось, $|AM|$ фиксировано, тогда как $|AB|$ может меняться, и потому $M = tA + (1-t)B$ не имеет места.

[Ber7]

Длина звена AB должна быть фиксированной.Иначе появится вторая степень свободы.

[EXE]

arseniiv в сообщении #1201635 писал(а):

А мне показалось, $|AM|$ фиксировано, тогда как $|AB|$ может меняться, и потому $M = tA + (1-t)B$ не имеет места.

Координаты точки А однозначно вычисляются через точку В (прямоугольный треугольник). В противном случае, как заметил Ber7, у нас появляется дополнительная степень свободы, что в учебных задачах не рассматривается, да и для данного механизма особого смысла не содержит.

Кстати, в соседней ‘’убитой” теме ( topic94991.html ) предложен весьма простой способ решения любых подобных задач.

[arseniiv]

Понятно.

[Aiyyaa]

координаты точки $A$ это проекции этой точки на оси $oX$ и $oY$,
то есть проекция на ось $oX$:
$AA_x=0.2\sin \varphi+0.4+0.11=0.2\sin \varphi+0.51$;
и проекция на ось $oY$ $AA_y=0$, поскольку расстояние от точки $A$ до $oY$ равно 0.
то есть:
$BB_x=0.11+0.2\sin\varphi$
$BB_y=0.2+0.2\cos\varphi$
$AA_x=0.2\sin \varphi+0.51$
$AA_y=0$

EXE в сообщении #1201585 писал(а):

$M=0.875\cdot A+0.125\cdot B$

то есть координаты точки $M$ будут
$MM_x=0.875(0.2\sin \varphi+0.51)+0.125(0.2\sin \varphi+0.11)=0.2\sin \varphi+0.46$
$MM_y=0.125(0.2+0.2\cos\varphi)=0.025+0.025\cos\varphi$
Правильно выражены уравнения движения точки $M$?
и например в случае, если $OC$ заходит на ось $oY$, то $AB$ ползёт вверх из-за ползуна в точке $A$, и тогда расстояние например от точки $A$ до прямой, на которой лежит $CD$, будет уже больше 0.51, и в этом случае эти уравнения точки всё-равно будут правильными?

EXE в сообщении #1201585 писал(а):

Это по известной формуле $(1-t)\cdot A+t\cdot B$

Откуда эта формула?

[arseniiv]

По логике вещей она из аффинной геометрии, но вводится она легко независимо от того, куда её правильнее отнести: любая точка прямой $AB$, очевидно, имеет вид $X = A + t\overrightarrow{AB}$, притом отображение между точками и значениями $t\in\mathbb R$ взаимно однозначное. Понятно, что $A$ лежит по ту же сторону на прямой от $A$, что и $B$, и что длина

$$|AX| = |\overrightarrow{AX}| \equiv |X-A| = |t\overrightarrow{AB}| = t|AB|.$$

Так что если нам нужна такая точка $X$ отрезка $AB$, что $|AX|/|AB| = t$, то $X = A + t\overrightarrow{AB}$. А это то же самое что

$$A + t(B - A) = A - tA + tB = (1-t)A + tB.$$

[Ber7]

Aiyyaa
1.ААх найдена неверно.Вертикальный катет в прямоугольном треугольнике равен не 0.4,а
$\sqrt{l^2-BBy^2}$
2.В ваших расчетах ось Х почему-то направлена вертикально, а ось У горизонтально.

[Aiyyaa]

то есть $AA_x=BB_x+\sqrt{0.6+0.04\cos^2\varphi+0.08\cos \varphi}=0.11+0.2\sin\varphi$+\sqrt{0.6+0.04\cos^2\varphi+0.08\cos \varphi}$? Правильно?
и тогда уравнения движения точки M:
$MM_x=0.875(0.11+0.2\sin\varphi+\sqrt{0.6+0.04\cos^2\varphi+0.08\cos \varphi})+0.125(0.2\sin \varphi+0.11)=0.2\sin \varphi+0.11+0.875\sqrt{0.6+0.04\cos^2\varphi+0.08\cos \varphi}$
$MM_y=0.125(0.2+0.2\cos\varphi)=0.025+0.025\cos\varphi$ ?

Ber7 в сообщении #1202020 писал(а):

В ваших расчетах ось Х почему-то направлена вертикально, а ось У горизонтально.

Почему? Вы имеете в виду что $MM_x$ задаёт движение точки по оси $oY$, а $MM_y$ по оси $oX$ и нужно обозначать уравнение движения относительно оси $oY$ как $MM_y$ и наоборот?

[Батороев]

Aiyyaa в сообщении #1201341 писал(а):

Уравнение движения точки $B$ правильно выражено?

$OCDO_1$ - параллелограммный механизм, $BCD$ - жесткий треугольник, следовательно, все точки этого треугольника вращаются, как и т. $C$, но относительно других центров. Поэтому зная закон движения точки $C$, достаточно добавить к нему координаты соответствующего центра.

Скорость т. $A$ можно определить, исходя из соображений того, что проекция ее скорости и проекция скорости т. $B$ на ось $AB$ равны (стержень нерастяжимый). Используя вышеуказанные соображения, можно найти и скорость т. $M$.

[Ber7]

Решение и анимация