бесконечномерные векторные пространства

[ewert]

Brukvalub писал(а):

ewert писал(а):

ну хорошо, допустим, попутал. Объясните, ради бога, что такое размерность базиса Гамеля.

Так в той ссылке. которую я вам давал, когда вы в первый раз запутались в базисах, есть ответ и на этот ваш вопрос. На всякий случай, повторяю ссылку: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D1%81

Да, там написано:

Цитата:

базис Га́меля (англ. Hamel basis) — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации

Цитата:

Мощность базиса не зависит от выбора базисных векторов и называется размерностью пространства (обозначается dimV).

Цитата:

Линейное пространство называют конечномерным, если оно имеет конечный базис, и бесконечномерным, если оно не имеет конечного базиса.

Осталось только всё это прочитать .

[Профессор Снэйп]

Я фигею. Зачем все разделы форума засорять одним и тем же.

Вот здесь уже ответил.

Профессор Снэйп писал(а):

Если $F$ --- поле, а $X$ --- бесконечное векторное пространство над $F$, мощность которого больше, чем мощность $F$, то размерность $X$ (алгебраическая) равна мощности $X$. Теорема такая есть

Здесь у нас $\mathbb{Q}$ счётно, а $\mathbb{C}$ континуально, так что размерность равна континууму. Ну а континуум, само собой, бесконечная мощность

Теорему надо доказывать?

P. S. Непонятно, что эта тема в "дискуссионных" делает. В "помогите решить/разобраться" ей самое место.

[Angel))))]

надо доказывать

[Brukvalub]

Профессор Снэйп писал(а):

Я фигею. Зачем все разделы форума засорять одним и тем же.

А если "товарищ не понимает", то что прикажете делать?

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

ну хорошо, допустим, попутал. Объясните, ради бога, что такое размерность базиса Гамеля.

"Размерность" базиса Гамеля --- это какая-то чушь. Размерность бывает у пространства, а не у базиса. И равна эта размерность количеству элементов базиса.

Есть много разных размерностей: алгебраическая (количество элементов базиса Гамеля), гильбертова (количество элементов гильбертова базиса), ещё какие-то (количества элементов каких-то другиз базисов). Алгебраическая размерность есть у любого векторного пространства над любым полем, остальные --- только если пространство снабжено дополнительной топологической структурой (в частности, для того, чтобы говорить о какой-то размерности, отличной от алгебраической, поле, над которым рассматривается пространство, должно быть $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$). Тут у нас по условию пространство над $\mathbb{Q}$, так что размерность --- только алгебраическая и никакая иная.

Добавлено спустя 59 секунд:

Angel)))) писал(а):

надо доказывать

Вечерком докажу, если никто не опередит. Занят сейчас

[Angel))))]

а что это за теорема? в каком учебнике об этом говорится?

Добавлено спустя 1 минуту 17 секунд:

хорошо, я подожду

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

Если $F$ --- поле, а $X$ --- бесконечное векторное пространство над $F$, мощность которого больше, чем мощность $F$, то размерность $X$ (алгебраическая) равна мощности $X$. Теорема такая есть

Здесь у нас $\mathbb{Q}$ счётно, а $\mathbb{C}$

Ну зачем же теоремы -- задачка-то на базовые понятия. Возможно, я действительно доказательство сформулировал слишком легкомысленно и там надо ещё повозиться с обоснованием. Тогда так.

Нам ведь надо построить последовательность элементов (например, вида $(a_n+i\cdot0)$, в которой каждый конечный набор линейно независим, да? Ну так строим его по индукции. Если первые несколько чисел уже выбраны, то рассматриваем все их линейные комбинации с рациональными коэффициентами. И берём в качестве нового любое ненулевое число, не описываемое этими комбинациями. Это всегда возможно, т.к. мн-во таких комбинаций счётно, а мн-во вещественных чисел вообще -- нет.

[Angel))))]

так это аддитивная группа является бесконечномерным векторным пространством или нет?!

[ewert]

Angel)))) писал(а):

так это аддитивная группа является бесконечномерным векторным пространством или нет?!

раз Ваше начальство приказало, что является -- то является, иначе низачот

Добавлено спустя 2 минуты 40 секунд:

Профессор Снэйп писал(а):

"Размерность" базиса Гамеля --- это какая-то чушь. Размерность бывает у пространства, а не у базиса. И равна эта размерность количеству элементов базиса.

да это всем ежам понятно. Удивительно другое: когда противопоставление конечномерности и бесконечномерности каким-то загадочным способом связывается с гамельностью.

[Angel))))]

так значит является, а почему является?!

[ewert]

ну вы вникните хоть в чей-нибудь ответ

[Angel))))]

ладно

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

да это всем ежам понятно. Удивительно другое: когда противопоставление конечномерности и бесконечномерности каким-то загадочным способом связывается с гамельностью.

Час от часу не легче. Сначала размерность базиса, теперь какая-то "гамельность".

Определение гамельности в студию!

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

Определение гамельности в студию!

вопрос не ко мне, т.к. к существу задачи совершенно определённо не относится

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Определение гамельности в студию!

вопрос не ко мне, т.к. к существу задачи совершенно определённо не относится

А к кому же ещё, если не к Вам? Ведь это Вы первый написали слово "гамельность". И, похоже, Вы тут единственный, кто понимает его смысл.