Поперечное движение в СТО.

[С.Мальцев]

В учебном пособии А.Н.Матвеева («Механика и теория относительности», изд. 3, М. 2003, § 18, стр. 125-126) обнаружил нечто странное:

Оказывается в СТО Эйнштейна ускорение в поперечном направлении (с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО) падает не в $\gamma_v^2$, а всего лишь в $\gamma_v$ раз?! В моём представлении, такое падение ускорения должно привести к нарушению принципа относительности. Поскольку в формулу ускорения $s=\frac{at^2}2$ время $t$ входит в квадрате ($a=\frac{2s}{t^2}$), то вполне очевидно, что при замедлении времени в $\gamma_v$ раз (при неизменном в поперечном направлении) расстоянии $s$, ускорение $a$ должно падать в $\gamma_v^2$ раз.

Если ускорение в поперечном направлении падает всего в $\gamma_v$ раз при увеличенном в $\gamma_v$ раз времени наблюдения, то тогда поперечная скорость $w=at$ должна оставаться неизменной, т.к. $\gamma_v$ в данной формуле сокращаются (компенсируют друг друга). А это противоречит релятивистскому закону сложения скоростей, что в свою очередь приводит к нарушению принципа относительности.

Помогите, пожалуйста, разобраться – либо это ошибка в учебнике, либо это у меня превратное представление о законах кинематики СТО?


P.S. Поясню - у меня речь идёт о небольших «классических» ускорениях до скорости $w\ll c$.

[Munin]

С.Мальцев в сообщении #1199436 писал(а):

Оказывается в СТО Эйнштейна ускорение в поперечном направлении (с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО) падает не в $\gamma_v^2$, а всего лишь в $\gamma_v$ раз?!

Так оно и в продольном направлении падает не в $\gamma_v^2$, а в $\gamma_v^3$ раз.

С.Мальцев в сообщении #1199436 писал(а):

В моём представлении, такое падение ускорения должно привести к нарушению принципа относительности.

Ваше представление основано на ошибках и неизлечимой тупости (вас многие и много раз пытались вылечить, безрезультатно).
А не на расчётах.

Поэтому "ваше представление" можно игнорировать.

С.Мальцев в сообщении #1199436 писал(а):

Помогите, пожалуйста, разобраться – либо это ошибка в учебнике, либо это у меня превратное представление о законах кинематики СТО?

У вас превратное.

[warlock66613]

С.Мальцев в сообщении #1199436 писал(а):

формулу ускорения $s=\frac{at^2}2$

Если ускорение зависит от скорости, то эта формула — по очевидным причинам — непригодна.

[С.Мальцев]

Munin в сообщении #1199454 писал(а):

Так оно и в продольном направлении падает не в $\gamma_v^2$, а в $\gamma_v^3$ раз.

Так оно и совершенно верно – помимо замедления времени ещё и сокращённое в $\gamma_v$ раз расстояние (минус $vt$, естественно). Отсюда и гамма в кубе. К продольному ускорению как раз никаких вопросов не возникает.

Munin в сообщении #1199454 писал(а):

Ваше представление основано на ошибках

Ладно, попробую решить задачу.

Пусть космический корабль (КК) движется относительно лабораторной ИСО со скоростью $v=0{,}866$ (при $c=1$) с коэффициентом сокращений $k=0,5$ и, соответственно, $\gamma_v=2$. Изначально пробное тело покоится относительно КК. Затем пробное тело ускоряется в поперечном направлении относительно курса КК с постоянным ускорением $a$. За время $t'=1\,s$ по часам космонавта тело проходит расстояние $s=5\,m$, набрав при этом скорость $w=10\,m/s$.

Находим ускорение тела с точки зрения космонавта:

$a=\frac{2s}{t'^2}=\frac{2\cdot 5}1=10\,m/s^2$

либо от $w=at$:

$a=\frac w{t'}=\frac{10}1=10\,m/s^2$

Теперь рассмотрим ту же ситуацию с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО. Расстояние $s=5\,m$ в поперечном направлении остаётся неизменным, а вот показания часов в лабораторной ИСО в $\gamma_v$ раз больше показаний часов космонавта $t=\gamma_v t'=2\cdot 1=2\,s$. Т.е. те же 5 метров изначально покоившееся тело при постоянном ускорении прошло за 2 секунды по синхронно идущим часам лабораторной ИСО. Получаем:

$a'=\frac{2s}{t^2}=\frac{2\cdot 5}4=2{,}5\,m/s^2$

откуда получаем поперечную скорость $w'=a't$ с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО:

$w'=a't=2{,}5\cdot 2=5\,m/s$

Получаем совершенно верный результат – согласно релятивистскому закону сложения скоростей, поперечная скорость $w$ с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО действительно должна упасть в $\gamma_v$ раз, т.е. в данном случае – вдвое. В чём ошибка?

warlock66613 в сообщении #1199467 писал(а):

С.Мальцев в сообщении #1199436 писал(а):

формулу ускорения $s=\frac{at^2}2$

Если ускорение зависит от скорости, то эта формула — по очевидным причинам — непригодна.

Это ещё почему? Что нам мешает отмерять те же 5 метров в лабораторной ИСО (в поперечном направлении относительно курса КК) и ускорять пробное тело из такого расчёта, чтобы оно прошло эту дистанцию за те же 2 секунды с постоянным ускорением? Разве тела в указанном направлении не будут двигаться синхронно?

[Slav-27]

С.Мальцев в сообщении #1199530 писал(а):

$a'=\frac{2s}{t^2}$

Эта формула работает, когда ускорение постоянно, а начальная скорость 0. Но в "лабораторной" системе отсчёта скорость уже не 0 (поскольку продольная компонента не 0).

-- 12.03.2017, 19:48 --

К тому же пробное тело там движется уже не в поперечном (по отношению к скорости корабля) направлении, а частично и в продольном, так что $s$ при бусте меняется. Поперечное расстояние между 2 точками не меняется, например, если они неподвижны в старой системе отсчёта. Но у нас тут совсем не то: положение одной и другой точки измеряются в разные моменты времени. Так что $s$ и не должно сохраниться.

[warlock66613]

С.Мальцев, продольные и поперечные компоненты ускорения умножаются на $\gamma$ в некоторой степени при переходе из СО, где скорость была равна нулю. А если скорость в исходной системе нулю не равна, то преобразование сильно сложнее.

[С.Мальцев]

Slav-27 в сообщении #1199541 писал(а):

пробное тело там движется уже не в поперечном (по отношению к скорости корабля) направлении, а частично и в продольном

Пусть ускорение пробного тела в поперечном направлении начинается в момент совпадения начал координат лабораторной ИСО, космического корабля и пробного тела. В момент времени $t=2$ коодината КК по оси $x$ составляет $x=0{,}866\cdot 2=1{,}732$. Вы полагаете, что в этот же момент времени $t=2$ координата пробного тела по оси $x$ должна отличаться от указанной координаты КК?

warlock66613 в сообщении #1199545 писал(а):

С.Мальцев, продольные и поперечные компоненты ускорения умножаются на $\gamma$ в некоторой степени при переходе из СО, где скорость была равна нулю. А если скорость в исходной системе нулю не равна, то преобразование сильно сложнее.

А Вы, часом, не усложняете сверх необходимого?

[warlock66613]

С.Мальцев в сообщении #1199564 писал(а):

А Вы, часом, не усложняете сверх необходимого?

Нет. В формуле для преобразования ускорения присутствуют две скорости: скорость СО и скорость тела. Только если скорость тела равна нулю или скорости СО — то есть когда в одной из двух СО скорость тела равна нулю — получается формула для преобразования ускорения, не содержащая скорости тела.

[С.Мальцев]

warlock66613 в сообщении #1199566 писал(а):

В формуле для преобразования ускорения присутствуют две скорости: скорость СО и скорость тела. Только если скорость тела равна нулю или скорости СО — то есть когда в одной из двух СО скорость тела равна нулю — получается формула для преобразования ускорения, не содержащая скорости тела.

Само собой разумеется – формулы преобразований, как правило (за исключением инвариантных величин), должны содержать коэффициент, содержащий скорость сопутствующей ИСО. О чём, собственно и речь – либо $a'=a\sqrt{1-v^2}$ (поперечное ускорение падает в $\gamma_v$ раз) согласно учебнику, либо $a'=a(1-v^2)$ (поперечное ускорение падает в $\gamma_v^2$ раз), получая верные расчёты. Насколько мне известно, физические законы должны оставаться неизменными для каждой из ИСО. Только переменные необходимо подставлять с соответствующими коэффициентами, тогда в итоге получаем верные формулы преобразований для «классических» величин.

[Slav-27]

С.Мальцев в сообщении #1199564 писал(а):

Пусть ускорение пробного тела в поперечном направлении начинается в момент совпадения начал координат лабораторной ИСО, космического корабля и пробного тела. В момент времени $t=2$ коодината КК по оси $x$ составляет $x=0{,}866\cdot 2=1{,}732$. Вы полагаете, что в этот же момент времени $t=2$ координата пробного тела по оси $x$ должна отличаться от указанной координаты КК?

С.Мальцев в сообщении #1199530 писал(а):

Изначально пробное тело покоится относительно КК. Затем пробное тело ускоряется в поперечном направлении относительно курса КК с постоянным ускорением $a$.

В поперечном направлении в системе отсчёта корабля? Тогда ответ на ваш вопрос "нет"

[warlock66613]

С.Мальцев в сообщении #1199585 писал(а):

скорость сопутствующей ИСО

Да, именно сопутствующей. Если тело движется с ускорением, то скорость сопутствующей ИСО меняется, соответственно ускорение по крайней мере в одной из двух ИСО — ИСО КК и лабораторной ИСО — также меняется, соответственно формула $s=\frac{at^2}2$ оказывается в этой ИСО непригодной.

-- 12.03.2017, 21:50 --

С.Мальцев в сообщении #1199585 писал(а):

Насколько мне известно, физические законы должны оставаться неизменными для каждой из ИСО.

Да, но именно законы, а не их математическая запись. Только специально для этой цели придуманная форма записи физических законов, в которую "встроены" законы СТО, одинакова в любой ИСО.

С.Мальцев в сообщении #1199585 писал(а):

Только переменные необходимо подставлять с соответствующими коэффициентами

Это в простейших случаях. В общем случае изменение законов куда более сложное. (Элементарное рассуждение: взяв закон с "переменной с соответствующим коэффициентом" и проинтегрировав его, мы получим другой закон, вообще говоря, совершенно отличный от того, который мы получили бы в результате интегрирования закона без "коэффициента", ведь этот самый коэффициент за знак интегрирования вынести нельзя.)

-- 12.03.2017, 22:06 --

(Замечание в сторону / мысли в слух)

Sicker в сообщении #756236 писал(а):

вы имеете ввду собственное ускорение?-или обычное Ньютоновское

С.Мальцев в сообщении #1199585 писал(а):

Только переменные необходимо подставлять с соответствующими коэффициентами

Похоже, есть такой миф, что релятивистская механика сводится к замене "ньютоновских" механических величин на "эйнштейновские", подправленные по сравнению с ньютоновскими коэффициентами (гаммой в разных степенях), при которой законы для подправленных величин сохраняют исходную, нерелятивистскую форму.

[С.Мальцев]

warlock66613 в сообщении #1199590 писал(а):

Если тело движется с ускорением, то скорость сопутствующей ИСО меняется, соответственно ускорение по крайней мере в одной из двух ИСО — ИСО КК и лабораторной ИСО — также меняется

Специально в стартовом посте сразу же отметил:

С.Мальцев в сообщении #1199436 писал(а):

P.S. Поясню - у меня речь идёт о небольших «классических» ускорениях до скорости $w\ll c$.

Вы полагаете, что изменение скорости пробного тела $\pm 10\,m/s$ или $\pm 3{,}(3)\cdot 10^{-8}$ к скорости $v=0{,}866$ при $c=1$ может сколь-нибудь значимо повлиять на величину коэффициента $k=\sqrt{1-v^2}$?

warlock66613 в сообщении #1199590 писал(а):

С.Мальцев в сообщении #1199585 писал(а):

скорость сопутствующей ИСО

Да, именно сопутствующей. Если тело движется с ускорением, то скорость сопутствующей ИСО меняется, соответственно ускорение по крайней мере в одной из двух ИСО — ИСО КК и лабораторной ИСО — также меняется

Под сопутствующей ускоряемому телу ИСО имеется в виду ИСО КК, относительно которой пробное тело и начинает ускоряться.

warlock66613 в сообщении #1199590 писал(а):

С.Мальцев в сообщении #1199585 писал(а):

Насколько мне известно, физические законы должны оставаться неизменными для каждой из ИСО.

Да, но именно законы, а не их математическая запись. Только специально для этой цели придуманная форма записи физических законов, в которую "встроены" законы СТО, одинакова в любой ИСО.

Вы предлагаете выводить специальные релятивистские формулы для пренебрежимо малых (с точки зрения релятивизма) вышеупомянутых «классических» скорости $w$ и ускорения $a$?

warlock66613 в сообщении #1199590 писал(а):

С.Мальцев в сообщении #1199585 писал(а):

Только переменные необходимо подставлять с соответствующими коэффициентами

Это в простейших случаях.

Так это и есть самый простейший случай. Куда уж проще?

[warlock66613]

С.Мальцев в сообщении #1199638 писал(а):

Вы полагаете, что изменение скорости пробного тела $\pm 10\,m/s$ или $\pm 3{,}(3)\cdot 10^{-8}$ к скорости $v=0{,}866$ при $c=1$ может сколь-нибудь значимо повлиять на величину коэффициента $k=\sqrt{1-v^2}$?

Да, я так полагаю. За счёт того, что то, что вы считаете "поперечной компонентой" то, что на самом деле является смесью продольной и попереной компонент, вы и получаете $\gamma^2$ как смесь $\gamma$ и $\gamma^3$. (Это навскидку, без подробных разбирательств.)

[Munin]

В теме «О теме С.Мальцева про поперечное движение в СТО»
участником Slav-27 было показано, что расчёты С.Мальцев-а правильные, а в учебнике Матвеева ошибка.

Приношу С.Мальцев-у свои извинения.

[rustot]

$\frac{\vec{F}}{m} = \frac{d}{dt}(\gamma\vec{v}) = \hat{v}\frac{d}{dt}(\gamma v) + \gamma v \frac{d}{dt}\hat{v} = \gamma^3 (\hat{v}\frac{d}{dt}v) + \gamma (v \frac{d}{dt}\hat{v}) = \gamma^3\vec{a}_\parallel + \gamma\vec{a}_\bot$

$\vec{F}_\parallel = m\gamma^3 \vec{a}_\parallel$
$\vec{F}_\bot = m\gamma \vec{a}_\bot$

Если "поперечной" считать силу, направленную перпендикулярно скорости именно в той ИСО, относительно которой эта скорости измерена, то все-таки $\gamma$. А в той ИСО относительно которой скорость нулевая, отсчитывать перпендикуляр к нулевому вектору как то некрасиво.

ps. А, пардон, невнимательно читал, речь не о поперечной силе а о преобразовании ускорения из ИСО в ИСО.