Так оно и в продольном направлении падает не в

, а в

раз.
Так оно и совершенно верно – помимо замедления времени ещё и сокращённое в

раз расстояние (минус

, естественно). Отсюда и гамма в кубе. К продольному ускорению как раз никаких вопросов не возникает.
Ваше представление основано на ошибках
Ладно, попробую решить задачу.
Пусть космический корабль (КК) движется относительно лабораторной ИСО со скоростью

(при

) с коэффициентом сокращений

и, соответственно,

. Изначально пробное тело покоится относительно КК. Затем пробное тело ускоряется в поперечном направлении относительно курса КК с постоянным ускорением

. За время

по часам космонавта тело проходит расстояние

, набрав при этом скорость

.
Находим ускорение тела с точки зрения космонавта:

либо от

:

Теперь рассмотрим ту же ситуацию с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО. Расстояние

в поперечном направлении остаётся неизменным, а вот показания часов в лабораторной ИСО в

раз больше показаний часов космонавта

. Т.е. те же 5 метров изначально покоившееся тело при постоянном ускорении прошло за 2 секунды по синхронно идущим часам лабораторной ИСО. Получаем:

откуда получаем поперечную скорость

с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО:

Получаем совершенно верный результат – согласно релятивистскому закону сложения скоростей, поперечная скорость

с точки зрения наблюдателей лабораторной ИСО действительно должна упасть в

раз, т.е. в данном случае – вдвое. В чём ошибка?
формулу ускорения
Если ускорение зависит от скорости, то эта формула — по очевидным причинам — непригодна.
Это ещё почему? Что нам мешает отмерять те же 5 метров в лабораторной ИСО (в поперечном направлении относительно курса КК) и ускорять пробное тело из такого расчёта, чтобы оно прошло эту дистанцию за те же 2 секунды с постоянным ускорением? Разве тела в указанном направлении не будут двигаться синхронно?