Интеграл (Разбоки по поводу int 1/x = ln|x| + C )

[Brukvalub]

Она является обобщенной первообразной, то есть она непрерывна на невырожденном промежутке, и всюду, за исключением конечного числа точек, имеет на этом промежутке производную, совпадающую с исходной функцией. Этого хватит, чтобы использовать ее в ф-ле Ньютона-Лейбница.

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

Ещё вопрос по терминологии: можно ли говорить, что функция $F(x) = |x|$ является первообразной функции

$$ \mathrm{sgn}(x) = \begin{cases} -1, &x<0; \\ 0, &x=0; \\ 1, &x>0. \end{cases} $$

Безусловно, можно. В тех точках, где понятие первообразной вообще имеет смысл -- т.е. кроме нуля.

Ну а в обобщённом смысле -- можно абсолютно.

[Профессор Снэйп]

Очень хочется подкорректировать определение и сказать, что такая вещь, как первообразная, определяется не для функций самих по себе, а для пар вида $(f,D)$, где $D$ --- область, содержащаяся в области определения функции $f$. Жаль, что это сильно противоречит традиции.

[Brukvalub]

Кстати, неплохая идея! Беда только в том, что от этой правильной, но зауми начнет страдать понимание курсов математики теми студентами , в специальностях которых нет развитой системы формальных определений. Это Вам с Вашей матлогикой, бибиками Тьюринга и т.д. нетрудно оперировать абстрактными определениями, а каково будет биологам и географам?

[ewert]

Дык. Концепция обобщённых производных вроде как именно такую связку и предполагает.

[bot]

Профессор Снэйп писал(а):

Очень хочется подкорректировать определение

Зачем? Открываю то, что оказалось под рукой (для "геграфов" пойдёт) и читаю

Кудрявцев писал(а):

Функция $F$ называется первообразной функции $f$ на промежутке...

А некоторые здесь предлагают вместо промежутка рассматривать любое множество, в том числе и несвязное. А как тогда они понимают теорему о совпадении двух первообразных с точностью до постоянного слагаемого? Что в таком случае представляет собой неопределённый интеграл, если не множество всех первообразных? Выходит - действительно крючочек такой. А зачем он нужен и как им пользоваться? Основное предназначение первообразных - это всё-таки использование её в формуле Ньютона-Лейбница.
Вот возьмёт "географ" за основу предлагаемое псевдоопределение и начнёт считать интегралы:
$\int\limits_{-1}^1 \frac{dx}{x}=0, \ \ \int\limits_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt[3]{x}}=0$
Он ведь даже и не заметит, что в одном случае сосчитано главное значение по Коши, а в другом - несобственный интеграл.

Добавлено спустя 1 минуту 10 секунд:

ewert писал(а):

Дык. Концепция обобщённых производных вроде как именно такую связку и предполагает.

А может быть не стоит переходить к обобщённой первообразной, если нет ясности в определении обычной?

[modz]

Ндааа, ну вы здесь и развели демогогию! Хотел просто узнать правильно или нет, а в общем то ничего и не понял, а понял лишь то что я не написал модуль и константу. В решение которое я сдавал перподу и то и другое присутствовало. В этой теме эти нюансы просто не написал.

[ewert]

ну, может, она просто зевнула. Такое тоже бывает.

[modz]

Вот и я про тоже. Вроде решение то верно, и не упростить уже никак

Добавлено спустя 1 час 49 минут 37 секунд:

А вот еще один забраковала. Может и решение верно, но в конце может быть что то можно упростить, хотя по моему от этого мало толку
$\int(x^2-3x)ln(x)dx$
Ответ получился:
$ln(x)(\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2})-\frac{x^3}{9}+\frac{3x^2}{4}+C$
Проверьте если кому не лень

[Echo-Off]

modz писал(а):

Проверьте если кому не лень

Правильно; правда, опять забыли модуль под логарифмом.

[Профессор Снэйп]

modz писал(а):

Хотел просто узнать правильно или нет, а в общем то ничего и не понял, а понял лишь то что я не написал модуль и константу. В решение которое я сдавал перподу и то и другое присутствовало.

Не, ну Вы интересный человек. Показали нам не то, что показывали преподу, а потом спрашиваете, почему препод ругается. А откуда мы можем знать, что именно Вы ему показывали, если не с Ваших слов.

[modz]

Я же не буду выкладывать полностью решение, и потом она проверяла только по ответам. А они как вы сказали правильны

[Профессор Снэйп]

modz писал(а):

Я же не буду выкладывать полностью решение, и потом она проверяла только по ответам. А они как вы сказали правильны

Нет, не правильны. Правильный ответ с модулями, а у Вас без модулей.

[modz]

Ну это не является полностью неправильном решением, как минимум +-

[Профессор Снэйп]

modz писал(а):

Ну это не является полностью неправильном решением, как минимум +-

Это уже от преподавателя зависит. Я бы, например, за такое решение $\mp$ поставил, а не $\pm$.