Покрытие отрезка счетным числом непересек. замкнутых множ-в

[neo66]

Почему отрезок $[0,1]$ не является объединением счетного числа непустых замкнутых непересекающихся подмножеств?

[Spook]

Думаю это следует из того, что между двумя различными точками отрезка найдется еще континуум точек и того, что замкнутые множества содержат свои предельные точки.

[finanzmaster]

neo66 писал(а):

Почему отрезок $[0,1]$ не является объединением счетного числа непустых замкнутых непересекающихся подмножеств?

Типа, дырки между ними будут... Не слишком заботясь о строгости я рассуждаю так:

пусть $(G_n)_{n \in \mathbb{N}}$ последовательность замкнутых подмножеств $[0,1]$
посколько они непусты и дизъюнктны, то $G_n \subset [0,1]$ для каждого $n$ (включение строгое).

Т.к. множества на отрезке, то их можно упорядочить: $G_i < G_k$ если $sup(G_i) < inf(G_k) $
Причем $inf$ и $sup$ будут принадлежать соотв. множествам (они замкнутые, а значит, содержат свои предельные точки) и неравенство будет строгое (иначе бы множества не были дизъюнктны).

Таким образом, между двумя соседними замкнутыми множествами обязательно будет "дырка" - некое открытое мн-во.

[neo66]

finanzmaster писал(а):

Т.к. множества на отрезке, то их можно упорядочить: $G_i < G_k$ если $sup(G_i) < inf(G_k) $

Это не порядок.
Пример:
$G_1 = [0,\frac{1}{ 7}] \cup [\frac{4}{ 7},\frac{5}{ 7}] $
$G_2 = [\frac{2}{ 7},\frac{3}{ 7}] \cup [\frac{6}{ 7},1] $

[TOTAL]

neo66 писал(а):

Почему отрезок $[0,1]$ не является объединением счетного числа непустых замкнутых непересекающихся подмножеств?

А он является.

[finanzmaster]

neo66 писал(а):

finanzmaster писал(а):

Т.к. множества на отрезке, то их можно упорядочить: $G_i < G_k$ если $sup(G_i) < inf(G_k) $

Это не порядок.
Пример:
$G_1 = [0,\frac{1}{ 7}] \cup [\frac{4}{ 7},\frac{5}{ 7}] $
$G_2 = [\frac{2}{ 7},\frac{3}{ 7}] \cup [\frac{6}{ 7},1] $

Да, поторопился я - неверно обобщил простейший случай (когда $G_n$ - замкнутые интервалы)
Попробую поправить рассуждение:
порядок зададим так:
$G_i < G_k$ если $sup(G_i) < \bold{sup}(G_k) $
Зафиксируем $G_i$ и возьмем произвольное $G_k$, такое что $G_i < G_k$ Тогда найдется такое $\varepsilon > 0$, что
$\left( sup(G_i), sup(G_i) +\varepsilon)$ не содержит ни одной точки ни из $G_i$, ни из $G_k$
(иначе $sup(G_i)$ была бы предельной точкой $G_k$ и принадлежала бы ему)

[neo66]

TOTAL писал(а):

neo66 писал(а):

Почему отрезок $[0,1]$ не является объединением счетного числа непустых замкнутых непересекающихся подмножеств?

А он является.

Вы это серьезно? А пример можете привести?

[TOTAL]

neo66 писал(а):

TOTAL писал(а):

neo66 писал(а):

Почему отрезок $[0,1]$ не является объединением счетного числа непустых замкнутых непересекающихся подмножеств?

А он является.

Вы это серьезно? А пример можете привести?

А я до одного досчитал и мне хватит.

[neo66]

TOTAL писал(а):

А я до одного досчитал и мне хватит.

Счетное множество, по определению, бесконечно.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1% ... 0%B2%D0%BE

[Профессор Снэйп]

neo66 писал(а):

TOTAL писал(а):

А я до одного досчитал и мне хватит.

Счетное множество, по определению, бесконечно.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1% ... 0%B2%D0%BE

Зато множество, состоящее из одного элемента, конечно

[Echo-Off]

По-моему, эта задача решается так: пусть $\{I_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ - счётное множество отрезков. Тогда $\cup\limits_n \partial I_n$ - замкнутое множество, которое есть счётное объединение точек. Точка - нигде не плотное множество, получаем противоречие с теоремой Бэра.

[Профессор Снэйп]

Echo-Off писал(а):

По-моему, эта задача решается так: пусть $\{I_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ - счётное множество отрезков. Тогда $\cup\limits_n \partial I_n$ - замкнутое множество, которое есть счётное объединение точек. Точка - нигде не плотное множество, получаем противоречие с теоремой Бэра.

$\partial I_n$ --- что что такое: граница $I_n$ или нечто другое?

Если да, то с чего Вы взяли, будто она не более чем счётна. Пусть, например, $I_n$ --- это канторовское совершенное множество. Тогда множество $\partial I_n = I_n$ континуально.

И вообще: TOTAL ведь уже заметил, что утверждение, которое просят доказать в задаче, просто-напросто неверно. Я с ним согласен.

[neo66]

Профессор Снэйп писал(а):

И вообще: TOTAL ведь уже заметил, что утверждение, которое просят доказать в задаче, просто-напросто неверно. Я с ним согласен.

Я, наверное, чего-то недогоняю. Если утверждение неверно, приведите контрпример.
PS: На всякий случай еще раз повторю: непустых, непересекающихся замкнутых множеств, которых столько-же, сколько натуральных чисел.

[AD]

$\cup\limits_n \partial I_n$ и $\partial \cup\limits_n I_n$ -- все-таки разные вещи. Граница отрезка - это два его конца. Счетное объединение двухэлементных множеств счетно. А вот граница объединения отрезков - это действительно может быть фиг знает что, но мы вроде бы про это и не говорим.

Добавлено спустя 1 минуту 18 секунд:

Ну да, вроде бы так обычно и решается.

[Профессор Снэйп]

Да, прошу прощения. Действительно, плохо прочитал условие (решил, что семейство может состоять из одного элемента).

Добавлено спустя 1 минуту 31 секунду:

AD писал(а):

$\cup\limits_n \partial I_n$ и $\partial \cup\limits_n I_n$ -- все-таки разные вещи. Граница отрезка - это два его конца.

О каких концах идёт речь, я не понимаю? Замкнутое подмножество отрезка $[0,1]$ не обязано быть отрезком.