neo66 писал(а):
Почему отрезок
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
не является объединением счетного числа
непустых замкнутых непересекающихся подмножеств?
Типа, дырки между ними будут... Не слишком заботясь о строгости я рассуждаю так:
пусть

последовательность замкнутых подмножеств
посколько они непусты и дизъюнктны, то
![$G_n \subset [0,1]$ $G_n \subset [0,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/6/cb67c5f8ff06c6ddb6e5875901d8740982.png)
для каждого

(включение строгое).
Т.к. множества на отрезке, то их можно упорядочить:

если
Причем

и

будут принадлежать соотв. множествам (они замкнутые, а значит, содержат свои предельные точки) и неравенство будет строгое (иначе бы множества не были дизъюнктны).
Таким образом, между двумя соседними замкнутыми множествами обязательно будет "дырка" - некое открытое мн-во.