2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Покрытие отрезка счетным числом непересек. замкнутых множ-в
Сообщение17.05.2008, 11:17 
Почему отрезок $[0,1]$ не является объединением счетного числа непустых замкнутых непересекающихся подмножеств?

 
 
 
 
Сообщение17.05.2008, 11:49 
Аватара пользователя
Думаю это следует из того, что между двумя различными точками отрезка найдется еще континуум точек и того, что замкнутые множества содержат свои предельные точки.

 
 
 
 Re: Покрытие отрезка
Сообщение17.05.2008, 11:50 
neo66 писал(а):
Почему отрезок $[0,1]$ не является объединением счетного числа непустых замкнутых непересекающихся подмножеств?


Типа, дырки между ними будут... Не слишком заботясь о строгости я рассуждаю так:

пусть $(G_n)_{n \in \mathbb{N}}$ последовательность замкнутых подмножеств $[0,1]$
посколько они непусты и дизъюнктны, то $G_n \subset [0,1]$ для каждого $n$ (включение строгое).

Т.к. множества на отрезке, то их можно упорядочить: $G_i < G_k$ если $sup(G_i) < inf(G_k) $
Причем $inf$ и $sup$ будут принадлежать соотв. множествам (они замкнутые, а значит, содержат свои предельные точки) и неравенство будет строгое (иначе бы множества не были дизъюнктны).

Таким образом, между двумя соседними замкнутыми множествами обязательно будет "дырка" - некое открытое мн-во.

 
 
 
 Re: Покрытие отрезка
Сообщение17.05.2008, 12:09 
finanzmaster писал(а):
Т.к. множества на отрезке, то их можно упорядочить: $G_i < G_k$ если $sup(G_i) < inf(G_k) $


Это не порядок. :o
Пример:
$G_1 = [0,\frac{1}{ 7}] \cup [\frac{4}{ 7},\frac{5}{ 7}] $
$G_2 = [\frac{2}{ 7},\frac{3}{ 7}] \cup [\frac{6}{ 7},1] $

 
 
 
 Re: Покрытие отрезка
Сообщение17.05.2008, 12:14 
Аватара пользователя
neo66 писал(а):
Почему отрезок $[0,1]$ не является объединением счетного числа непустых замкнутых непересекающихся подмножеств?
А он является.

 
 
 
 Re: Покрытие отрезка
Сообщение17.05.2008, 12:17 
neo66 писал(а):
finanzmaster писал(а):
Т.к. множества на отрезке, то их можно упорядочить: $G_i < G_k$ если $sup(G_i) < inf(G_k) $


Это не порядок. :o
Пример:
$G_1 = [0,\frac{1}{ 7}] \cup [\frac{4}{ 7},\frac{5}{ 7}] $
$G_2 = [\frac{2}{ 7},\frac{3}{ 7}] \cup [\frac{6}{ 7},1] $

Да, поторопился я - неверно обобщил простейший случай (когда $G_n$ - замкнутые интервалы)
Попробую поправить рассуждение:
порядок зададим так:
$G_i < G_k$ если $sup(G_i) < \bold{sup}(G_k) $
Зафиксируем $G_i$ и возьмем произвольное $G_k$, такое что $G_i < G_k$ Тогда найдется такое $\varepsilon > 0$, что
$\left( sup(G_i), sup(G_i) +\varepsilon)$ не содержит ни одной точки ни из $G_i$, ни из $G_k$
(иначе $sup(G_i)$ была бы предельной точкой $G_k$ и принадлежала бы ему)

 
 
 
 Re: Покрытие отрезка
Сообщение17.05.2008, 12:20 
TOTAL писал(а):
neo66 писал(а):
Почему отрезок $[0,1]$ не является объединением счетного числа непустых замкнутых непересекающихся подмножеств?
А он является.

Вы это серьезно? А пример можете привести?

 
 
 
 Re: Покрытие отрезка
Сообщение17.05.2008, 12:23 
Аватара пользователя
neo66 писал(а):
TOTAL писал(а):
neo66 писал(а):
Почему отрезок $[0,1]$ не является объединением счетного числа непустых замкнутых непересекающихся подмножеств?
А он является.

Вы это серьезно? А пример можете привести?
А я до одного досчитал и мне хватит. :D

 
 
 
 
Сообщение17.05.2008, 12:28 
TOTAL писал(а):
А я до одного досчитал и мне хватит.


Счетное множество, по определению, бесконечно.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1% ... 0%B2%D0%BE

 
 
 
 
Сообщение17.05.2008, 18:25 
Аватара пользователя
neo66 писал(а):
TOTAL писал(а):
А я до одного досчитал и мне хватит.


Счетное множество, по определению, бесконечно.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1% ... 0%B2%D0%BE


Зато множество, состоящее из одного элемента, конечно :)

 
 
 
 
Сообщение17.05.2008, 19:10 
Аватара пользователя
По-моему, эта задача решается так: пусть $\{I_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ - счётное множество отрезков. Тогда $\cup\limits_n \partial I_n$ - замкнутое множество, которое есть счётное объединение точек. Точка - нигде не плотное множество, получаем противоречие с теоремой Бэра.

 
 
 
 
Сообщение17.05.2008, 19:36 
Аватара пользователя
Echo-Off писал(а):
По-моему, эта задача решается так: пусть $\{I_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ - счётное множество отрезков. Тогда $\cup\limits_n \partial I_n$ - замкнутое множество, которое есть счётное объединение точек. Точка - нигде не плотное множество, получаем противоречие с теоремой Бэра.


$\partial I_n$ --- что что такое: граница $I_n$ или нечто другое?

Если да, то с чего Вы взяли, будто она не более чем счётна. Пусть, например, $I_n$ --- это канторовское совершенное множество. Тогда множество $\partial I_n = I_n$ континуально.

И вообще: TOTAL ведь уже заметил, что утверждение, которое просят доказать в задаче, просто-напросто неверно. Я с ним согласен.

 
 
 
 
Сообщение17.05.2008, 20:40 
Профессор Снэйп писал(а):
И вообще: TOTAL ведь уже заметил, что утверждение, которое просят доказать в задаче, просто-напросто неверно. Я с ним согласен.

Я, наверное, чего-то недогоняю. Если утверждение неверно, приведите контрпример.
PS: На всякий случай еще раз повторю: непустых, непересекающихся замкнутых множеств, которых столько-же, сколько натуральных чисел.

 
 
 
 
Сообщение17.05.2008, 20:56 
$\cup\limits_n \partial I_n$ и $\partial \cup\limits_n I_n$ -- все-таки разные вещи. Граница отрезка - это два его конца. Счетное объединение двухэлементных множеств счетно. А вот граница объединения отрезков - это действительно может быть фиг знает что, но мы вроде бы про это и не говорим.

Добавлено спустя 1 минуту 18 секунд:

Ну да, вроде бы так обычно и решается.

 
 
 
 
Сообщение17.05.2008, 21:02 
Аватара пользователя
Да, прошу прощения. Действительно, плохо прочитал условие (решил, что семейство может состоять из одного элемента).

Добавлено спустя 1 минуту 31 секунду:

AD писал(а):
$\cup\limits_n \partial I_n$ и $\partial \cup\limits_n I_n$ -- все-таки разные вещи. Граница отрезка - это два его конца.


О каких концах идёт речь, я не понимаю? Замкнутое подмножество отрезка $[0,1]$ не обязано быть отрезком.

 
 
 [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group