2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 ... 27  След.
 
 Re: Задача из Mathlinks!
Сообщение19.04.2008, 04:32 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5702
RIP писал(а):
bobo писал(а):
P.S. Многочлен $P(x)=(2x^2-1)^3+\frac12$ удовлетворяет условию задачи.

Да и вообще многочлен $P(x)=(2x^2-1)^{2k+1}+\frac12$ для любого $k$ подойдет. Из линейной независимости функций $\sin(x)$ и $\cos(x)$ над $\mathbb{R}$ сразу следует, что $P(t)=Q(t^2)$ для некоторого полинома $Q$, причем $P(\sin(x))+P(\cos(x))=Q(z)+Q(1-z)$ для $z=\sin(x)^2$. Пример выше показывает, что $P(x)$ всегда можно взять степени $2(2k+1)$. Также понятно, что степень $P$ не может быть $4k$ (а степень $Q$ соответственно $2k$) при $k>0$, так как в этом случае коэффициент при $z^{2k}$ в $Q(z)+Q(1-z)$ будет ненулевым, а значит $Q(z)+Q(1-z)\ne 1.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.04.2008, 04:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3823
Да там на самом деле легко написать общий вид всех многочленов, удовлетворяющих тождеству.

P.S. Прикольно, удалил своё сообщение ради интереса, но надпись
кто-то меленько писал(а):
Последний раз редактировалось: maxal (Сб Апр 19, 2008 05:36:07), всего редактировалось 1 раз

осталась. :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.04.2008, 14:09 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
Не могу доказать симметрические неравенства :? :
1. $(a/b+b/c+c/a)^2>=9(a^2+b^2+c^2)/(ab+bc+ca)$ .
2. Если $x^2_1 + ... + x^2_6 = 6, x_1 + ... + x_6 = 0$, то $x_1...x_6<=1/2$.
3. Если $x_1 ,x_2 ,x_3>=0 x_1 +x_2 +x_3 <=1/2$, то $(1-x_1 )(1-x_2 )(1-x_3 )<=1/2$.
4. Если $a,b,c>0, 1/(a^2+1)+1/(b^2+1)+1/(c^2+1)=2$, то $ab+bc+ca<=3/2$.
5. Набор чисел $a,b,c$ совпадает с набором $a^4-2b^2,b^4-2c^2,c^4-2a^2$, причем $a+b+c=-3$. Найти $a,b,c$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.04.2008, 15:33 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Sonic86 писал(а):
Не могу доказать симметрические неравенства :? :
1. $(a/b+b/c+c/a)^2>=9(a^2+b^2+c^2)/(ab+bc+ca)$ .

Оно вообще-то циклическое. :wink:
$$\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2(ab+ac+bc)\geq9(a^2+b^2+c^2)\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow\sum_{cyc}\left(\frac{a^3}{b}+\frac{a^3c}{b^2}+\frac{a^2c}{b}+\frac{2a^2b}{c}+2ab-7a^2\right)\geq0,$$ которое верно по AM-GM.
Sonic86 писал(а):
4. Если $a,b,c>0, 1/(a^2+1)+1/(b^2+1)+1/(c^2+1)=2$, то $ab+bc+ca<=3/2$.

Посмотрите здесь:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... p?t=103762

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.04.2008, 16:44 


30/03/08
196
St.Peterburg
Sonic86 писал(а):
Не могу доказать симметрические неравенства :? :
13. Если $x_1 ,x_2 ,x_3>=0 x_1 +x_2 +x_3 <=1/2$, то $(1-x_1 )(1-x_2 )(1-x_3 )\geq {1/2}$.

( в задаче по всей видимости требуется определить минимум)
Очевидно ,что минимум левой части будет при : $x_1+x_2+x_3 = {1/2}$.
$Min((1-x_1 )(1-x_2 ))$ при $x_1 +x_2 = const$ будет при : $x_1 = 0  , x_2 =const$
Поэтому $Min((1-x_1 )(1-x_2 )(1-x_3 ))$.будет достигаться при : $x_1 =0 , x_2 =0,x_3=1/2$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.05.2008, 05:48 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Оказывается при положительных $$a,$$ $$b$$ и $$c$$ верно и следующее неравенство:
$$\left(\frac {a}{b} + \frac {b}{c} + \frac {c}{a}\right)^2\ge\frac {12(a^{2} + b^{2} + c^{2})}{ab + bc + ca} - 3.$$ :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.05.2008, 11:52 


03/02/07
254
Киев
1. Пусть $f(x)=x^2+ax+b$ имеет 2 различных корня. Может ли такое быть, что $f(f(x))$ имеет 3 корня, а $f(f(f(x)))$ - 7 ?
2. Доказать, что существует бесконечно много составных $n$, для которых $3^{n-1}-2^{n-1}$ делится на $n$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.05.2008, 13:05 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Trius писал(а):
1. Пусть $f(x)=x^2+ax+b$ имеет 2 различных корня. Может ли такое быть, что $f(f(x))$ имеет 3 корня, а $f(f(f(x)))$ - 7 ?
2. Доказать, что существует бесконечно много составных $n$, для которых $3^{n-1}-2^{n-1}$ делится на $n$

1. По видимому речь идёт о различных корнях.
Пусть $x_1,x_2$ корни $f(x)=(x-x_1)(x-x_2)$, введём $g(x)=f(x+c)-c,c=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-a}{2}$. Тогда $f(x)=g(x-c)+c, f^{(k)}(x)=g(f^{(k-1)}(x)-c)+c=g(g(f^{(k-2)}(x)-c))+c=...=g^{(k)}(x-c)+c$
Поэтому, количество корней $f^{(k)}(x)=0$ есть количество корней $g^{(k)}(x)=-c$.
Вычислим $g(x)=x^2-D-c, g(g(x))=(x^2-D-c)^2-D-c,...$, т.е. все $g^{(k)}(x)$ являются чётными функциями и поэтому кратный корень должен быть нулём.
Вычисляя свободные члены $g(g(x))+c,g(g(g(x)))+c$ и приравняв их нулю получаем, $D>0,D+c>0,(D+c)^2=D,c^2=D$. Отсюда получается $D=4,c=-2$, т.е. $g(x)=x^2-2$, вводя $x=2cosy$ получаем $g(g(x))=2cos(2y),..,.g^{(k)}(x)=2cos(2^{k-1}y)$ действительно получаем единственный такой многочлен, соответственно $f(x)=(x+2)^2-4=x^2+4x$.
2. Очевидно n=p решение для любого простого р.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.05.2008, 15:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3823
Trius писал(а):
2. Доказать, что существует бесконечно много составных $n$, для которых $3^{n-1}-2^{n-1}$ делится на $n$

Было.

Добавлено спустя 8 минут 16 секунд:

Trius писал(а):
1. Пусть $f(x)=x^2+ax+b$ имеет 2 различных корня. Может ли такое быть, что $f(f(x))$ имеет 3 корня, а $f(f(f(x)))$ - 7 ?

Если корни $f(f(x))$ равны $x_1,x_2,x_3$, то уравнение $f(f(f(x)))=0$ равносильно совокупности
$$\left[\begin{aligned}f(x)&=x_1,\\f(x)&=x_2,\\f(x)&=x_3,\end{aligned}\right.$$
поэтому имеет не более 6 корней. 2 различных корня здесь вообще не по делу (Upd. хотя в противном случае из тех же соображений получаем, что $f(f(x))$ не может иметь 3 корня).

Upd. P.S.Насколько я помню, эта задача с какой-то зональной олимпиады, в которой я участвовал (я тогда ещё подумал, что задача не олимпиадная ни разу), и авторское решение было какое-то излишне мудрёное.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.05.2008, 16:05 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Всё правильно RIP. Я что то перемудрил.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.05.2008, 23:30 


28/12/05
160
Найдите всех натуральных решений уравнение
$13^{n+1}-14^n=2001$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.05.2008, 09:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Сперва мне показалось, что задача сводится к небольшому тупому перебору. Ан нет (там положительных членов - аж за тридцать). Она сводится разве что к небольшому тупому перебору по модулю 2001. Ну или по модулям 3 и 23.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.05.2008, 10:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5486
Нов-ск
student писал(а):
Найдите всех натуральных решений уравнение
$13^{n+1}-14^n=2001$
$13^3(13^{n-2}-1)=14^2(14^{n-2}-1)$, откуда $n=2+338k$ и ничего не подходит кроме $n=2$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.05.2008, 18:10 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
TOTAL писал(а):
student писал(а):
Найдите всех натуральных решений уравнение
$13^{n+1}-14^n=2001$
$13^3(13^{n-2}-1)=14^2(14^{n-2}-1)$, откуда $n=2+338k$ и ничего не подходит кроме $n=2$


А откуда, кстати, берётся число $338 = 2 \cdot 13^2$? Из

$$
14^{n-2} - 1 = 13\left(1 + 14 + \ldots + 14^{n-3}\right)
$$

следует, что $n-2$ должно делиться на $13$. А из

$$
13^{n-2} - 1 = 12\left(1 + 13 + \ldots + 13^{n-3}\right)
$$

следует, что число $n-2$ должно быть чётным (сумма в скобках должна делиться на $7$). Так что делимость $n-2$ на $26$ вижу. А на $338$ не вижу :oops:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.05.2008, 22:48 


03/02/07
254
Киев
Можно ли из степеней двойки выбрать геометрическую прогресию так, чтоб ее сума была равна $ 10^8$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 401 ]  На страницу Пред.  1 ... 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 ... 27  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group